Calculating robustness indices of distributedcomputer systems.pdf Современные средства вычислительной индустрии суть системы массовогообслуживания, работающие с информационными заданиями. Следовательно, ана-лиз эффективности функционирования вычислительных систем (ВС) должен бытьоснован на математическом аппарате теории массового обслуживания [1 - 9].1. Математическая модель функционирования ВСЛюбая распределенная вычислительная система [1, 2] может быть представле-на композицией N связных элементарных машин (ЭМ). Пусть все ЭМ системыоднородны, каждая из них в любой момент времени [t[0,) может находитьсяв одном из двух несовместных состояний: работоспособном или отказа; связьмежду ЭМ будем считать абсолютно надежной.Время безотказной работы ЭМ является случайной величиной, пусть оно под-чиняется экспоненциальному закону распределения, ƒ - интенсивность отказов. Вслучае отказа элементарная машина восстанавливается одним из m ≤ N восста-навливающих устройств (ВУ). Время восстановления каждой ЭМ подчиняетсятакже экспоненциальному закону, ƒ - интенсивность восстановления отказавшихЭМ одним ВУ. В любой момент времени t каждое из ВУ может восстанавливатьне более одной ЭМ. Требуется проанализировать работоспособность ВС.При анализе современных вычислительных систем наиболее востребованы по-казатели живучести, выражаемые через математические ожидания числа исправ-ных ресурсов и другие моменты случайных величин.Пусть также Mi(t) - среднее число ЭМ вычислительной системы, находящихсяв состоянии отказа в момент времени t ≥ 0, при условии, что в начальный моментвремени их было i, Mi (0) = i , iE0N ={0, 1, ...,N}.Обозначим через Pk (i,t) вероятность того, что в момент времени t[0,)ВС имеет k ЭМ в состоянии отказа, 0kEN . В указанных выше условиях функ-ционирование ВС может быть описано процессом «рождения и гибели» [5, 6], тоесть для вероятностей Pk (i,t) будет справедлива система линейных дифференци-альных уравненийk( , ) (k k ) k ( , ) k 1 k 1( , ) k 1 k 1( , )d P i t P i t P i t P i tdt = − ƒ + ƒ + ƒ − − + ƒ + + , (1)1Pr(i,t) 0, r E− EN 1, t [0, )=   − ∪ +  с начальными условиямиPi (i, 0) =1, Pk (i, 0) = 0, ik, i,kE0N (2)и условием нормировки0( , ) 1NkkP i t=ƒ = ;ƒk и ƒk - интенсивности, выражаемые через ƒ и ƒ.Считаем, что восстановительные операции в вычислительной системе осущест-вляют m однородных устройств (ВУ), 1mEN . «Природа» этих ВУ может бытьпроизвольной: это либо специальные аппараты, либо микропрограммные устройст-ва, либо программы, либо композиции из отмеченных средств [1]. Производитель-ность восстанавливающей системы определяется и числом m, и интенсивностью ƒ.Будем исследовать потенциальные возможности ВС, положив в системе (1)ƒk =(N−k)ƒ , mƒk= ƒk⋅ƒ , {, ,, .mkk k mm k m 5 ч:M D=Nƒ/(ƒ+ƒ) Nƒ/(ƒ+ƒ) =104⋅10−3/(1+10−3) 104⋅10−3/(1+10−3)≈103,16 .Исследования показывают, что при скрупулезном анализе эффективностифункционирования современных ВС требуется учитывать дисперсию числа отка-завших ЭМ.Случай 2. Восстанавливающая система имеет невысокую производитель-ность. Следовательно, в этом случае при длительной эксплуатации ВС все восста-навливающие устройства будут заняты. Как следует из предельных теорем теориивосстановления [8, 10], параметр Nƒ −mƒ > 0 можно принять за интенсивностьвходящего потока требований, а за ƒ - интенсивность обслуживания требований.Если учесть, что современные ВС являются большемасштабными (характери-зуются массовым параллелизмом и числом N ЭМ не менее 104−106), то отказыЭМ можно считать независимыми, а N   .Таким образом, имеем систему массового обслуживания с бесконечным чис-лом приборов обслуживания, входящим потоком требований Nƒ −mƒ и интен-сивностью обслуживания ƒ .Тогда можно положить в системе (1)ƒk = k ⋅ƒ , ƒk =Nƒ −mƒ , kE0. (8)Используя введенную производящую функцию и учитывая (8), мы можем сис-тему (1) свести к следующему уравнению в частных производных:F(i, z, t) (1z) F(i, z, t) (N m)(1 z)F(i, z, t),t z − ƒ − = − ƒ − ƒ − а из последнего уравнения получить систему уравнений( 2 ) ( 2 )( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2( ) ( ).i ii i i i i i id M t M t N mdtd D t M t M t D t M t M N m M tdt⎧ + ƒ ⋅ = ƒ − ƒ ⎪⎨⎪+ − + ƒ + − = ƒ−ƒ⎩(9)Решение системы (9) имеет вид2( ) ,( ) .tit tiM t N m i N m eD t N m i N m e i e−ƒ−ƒ − ƒƒ − ƒ ƒ − ƒ ⎧ ⎛ ⎞ = + − ⋅ ⎜ ⎟ ⎪⎪ƒ ⎝ ƒ ⎠⎨⎪⎩⎪ = ƒƒ− ƒ+⎝⎛⎜ − ƒƒ− ƒ ⎠⎞⎟⋅ − ⋅(10)Если i≥m, то решение (10) удовлетворяет условию низкой производительно-сти восстанавливающей системы и является точным. Если i≤m при длительнойэксплуатации ВС (постулируя, что первое событие произойдет при t > 0 ), то ре-шение (11) можно считать «асимптотически» точным [4, 9, 10].Например, при i = 0 получаемM0(t) Nƒ −mƒ (1 e−ƒt)= −ƒ, D0(t) Nƒ −mƒ (1 e−ƒt )= −ƒ.Для стационарного режима функционирования ВС имеемlim i ( )M Mt N m⋅ ƒ − ⋅ƒ= =t ƒ, lim i ( )D Dt N m⋅ ƒ − ⋅ ƒ= =t ƒ. (11)Следует заметить, что если в модели функционирования ВС используютсяпростейшие потоки, то все вероятностные характеристики для стационарного ре-жима, как следует из условия эргодичности, будут независимы от начальных ус-ловий (что и подтверждается формулами (7) и (11)), а результирующие потоки,являющиеся линейной комбинацией исходных, также будут простейшими [5, 8].Скорость вхождения распределенной ВС в стационарный режим функциони-рования при использовании низкопроизводительной восстанавливающей системыиллюстрирует рис. 2.0 20000 40000 60000 80000 t, ч51015M4(t) F1(t)f1(t)f2(t)F2(t)Рис. 2. Среднее число неисправных машин в ВСс низкопроизводительной системой восстановленияМатематическое ожидание M4(t) рассчитано для ƒ = 10−4ч−1, ƒ = 1 ч−1 ,m = 1 . Кривые F2(t)=M4(t)+ƒ(t) , f2(t) =M4(t) соответствуют N = 104 , а кри-вые F1(t)=M4(t)+ƒ(t) , f1(t) =M4(t) - значению N =104+16 , ƒ(t) = D4(t) .Видно, что в этом случае ВС медленно входит в стационарный режим ( t ≈ 6⋅104 ч),и влияние дисперсии на M4(t) не столь существенно, чем при наличии высоко-производительной восстанавливающей системы (рис. 1).ЗаключениеРассмотрены математические модели функционирования восстанавливаемыхраспределенных вычислительных систем. Предложенный подход к анализу живу-чести ВС хорошо согласуется с континуальным подходом [1, 2]. Расчетные фор-мулы позволяют повысить точность анализа живучести вычислительных систем.Полученные результаты применимы в инженерной практике большемасштабныхраспределенных вычислительных систем.

Скачать электронную версию публикации