The restrictive dynamic model of the inertial market of one goods with the optimal delivery of goods to the market in conditions of delay.pdf 1. Постановка задачиРассмотрим рынок одного товара, функционирующий в дискретном времениtN = {0,1,2,...}. Пусть P(t) - цена товара в момент времени t, QO(t) - остаток не-проданного товара на этот момент времени, QZ(t - ƒ) - объём товара, заказываемо-го в момент времени t - ƒ для поставки на рынок к моменту t (стратегия поставок).Предполагается, что заказанный товар поступает на рынок с запаздыванием на ƒединиц времени. Спрос на товар при цене P(t) обозначим через QD(t). Пусть в мо-мент t дискретного времени спрос на товар имеет вид простейшей линейной зави-симости:D ( ) ( )Q t =Qm −aP t, (1)где Qm > 0 и a > 0 - заданные константы.Пусть Q(t) - объём товара, предлагаемого к продаже в момент времени t.Представим Q(t) в виде суммы остатка товара в объеме QO(t) от продаж на преды-дущем интервале дискретного времени (и перешедшего на рынок в момент t) итовара в объеме QZ(t - ƒ), заказанного продавцом в момент времени t - ƒ (с учётомзапаздывания поставки) для поставки его на рынок к моменту времени t:Q(t)=QO(t)+QZ(t−ƒ) .Обозначим объём продаж на интервале t дискретного времени через QS(t).Очевидно,QS(t)=min(QD(t),QO (t)+QZ (t− ƒ)). (2)Остатки товара удовлетворяют рекуррентному соотношениюQO(t+1)=QO(t)+QZ (t−ƒ)−QS(t). (3)Пусть J(t) - прибыль продавца на t-м интервале дискретного времени, равнаяразности между выручкой от продажи товара и затратами на его приобретение ихранение. Если P1 - цена закупки товара (на оптовом рынке или у производителя),P2 - цена хранения единицы товара, не проданного на предыдущем интерваледискретного времени, то прибыль продавца в момент времени t составит величину( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))21 2 12J t =QSt P t −QZt − ƒ P −QO t P − R P t −P t− . (4)Последнее слагаемое (с коэффициентом R > 0) выражает «штрафные санкции»за изменение цены товара и определяет инерционность рынка - за резкое повы-шение цены могут последовать санкции законодательного характера, за резкоеснижение цены - «санкции» конкурентов, выражающиеся в нанесении ущербапродавцу в размере, эквивалентном этой штрафной функции.Возникает вопрос, какое значение примет цена товара P(t) в момент времени t,если на предыдущем (t - 1)-м шаге она равнялась P(t - 1), и какую величинуQZ(t−ƒ) дополнительной поставки товара на рынок должен произвести продавец,чтобы прибыль продавца при заданной линии спроса на t-м интервале дискретно-го времени была максимальной:( )( ), ( )supP t QZ tJ t−ƒ . (5)Заметим, что в такой постановке для описания динамики рынка не требуетсязнания линии предложения (в отличие от классической модели Вальраса - Мар-шалла [1]), что уже использовалось нами в моделях рынка с субоптимальнымистратегиями поставки товара на рынок [2].При решении поставленной оптимизационной задачи автоматически получа-ются значения и цены товара P(t), и объёмов продаж QS(t), и остатков непродан-ного товара QO(t), и прибыли продавца J(t) для каждого текущего момента дис-кретного времени t. При этом, естественно, должны выполняться ограничения навеличину возможной цены товара P(t):P1 < Pmin < P(t) < Pmax = Qm/a (6)и на величину дополнительного заказа товара QZ(t - ƒ) ≥ 0.2. Условно-оптимальная цена товараПусть объем поставки товара на рынок в момент времени t есть Q(t). Найдемоптимальную (обеспечивающую максимум прибыли продавца (4)) цену P(t) това-ра при фиксированном значении Q(t):( )( )| ( )maxP t Q tJ t  .При решении этой задачи, учитывая ее рестриктивный в силу соотношения (2)характер, очевидно, следует выделить области, соответствующие дефициту това-ра на рынке (область 1, в которой Q(t) < QD(t)), затовариванию рынка (область 2, вкоторой Q(t) > QD(t)) и балансу спроса и предложения (область 3, область дина-мического равновесия, в которой Q(t) = QD(t)). Подробно эти области рассмотре-ны нами в работе [3], поэтому здесь мы приведём только основные результаты.1) В области товарного дефицита Q(t) < QD(t) и в соответствии с соотноше-нием (2) имеем QS(t) = Q(t), так что( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( ))( ) ( )21 1 2|1 sup2OP t Q tJ t =Q t P t −Q t P +Q t P −P − R P t −P t −  . (7)Это квадратичная функция переменной P(t), выпуклая вверх. Её максимумдостигается в точке( ) ( ) 1 ( ) (1) ( )P t P t Q t P tR= − + = . (8)Как видим, P(1)(t) растет с ростом Q(t) по линейному закону. Выражение (8)справедливо не при любом Q(t), а лишь при Q(t), удовлетворяющем условиюQ(t) < QD(t) принадлежности к области 1. Это условие с учетом (1) и (8) имеет вид[3]Q(t) R(Qm aP(t 1)) Q(1) (t)a R− −< =+. (9)Таким образом, в области 1 P(t) линейно растёт с ростом Q(t) от значения(1) ( ) ( ) ( )P t|Q t =0=Pt−1до значения( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 11 1max1| tmQ t QP t Q RPt P t= a R+ −= =+,причем условие принадлежности Q(t) к области 1 выражается неравенством (9).2) В области затоваривания рынка Q(t) > QD(t) и в соответствии с выраже-нием (2) имеем QS(t) = QD(t), так что с учетом (1)( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( ))( ) ( )21 1 2|1 sup2OmP t Q tJ t = Q −aP t P t −Q t P+Q t P−P −R P t −P t−  . (10)Это квадратичная выпуклая вверх функция переменной P(t). Её максимум дос-тигается в точке( ) ( 1) (2) ( )2P t Qm RPt P ta R+ −= =+. (11)Как видим, P(2)(t) не зависит от Q(t) (остается постоянной при любом Q(t) вэтой области). Выражение (11) справедливо лишь при условии, что Q(t) > QD(t),то есть при условии [3]( ) ( ( 1)) (2) ( )2Q t R Qm aP t aQm Q ta R− − +> =+. (12)Последнее неравенство определяет условие принадлежности Q(t) к области 2.Причём Q(2)(t) > Q(1)(t). Действительно, используя выражения (3) и (8), получим( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))( )( )22 1 10,2Q t Q t a Qm RP ta R a R+ −− = >+ +что и требовалось доказать.3) В области баланса спроса и предложения (то есть в области динамиче-ского равновесия рынка) Q(t) = QD(t) и в соответствии с выражением (2) имеем,как и в области 2, объем продаж, равный спросу, то есть QS(t) = QD(t), и прибыльJ(t) в виде (10). При этом, однако, Q(t) = Qm - aP(t), откудаP(t) Qm Q(t) P(3) (t)a−= = . (13)Границами области 3 по Q(t) являются точки Q(1)(t) и Q(2)(t):Q(1) (t)≤Q(t)≤Q(2) (t) .Как видно из (13), в этой области P(3)(t) линейно убывает с ростом Q(t) от зна-чения( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 13 1max1| mQ t Q tP t Q RPt P t= a R+ −= =+до значения( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 23 2 1|2mQ t Q tP t Q RPt P t= a R+ −= =+.На рис. 1 в качестве примера изображена зависимость условно-оптимальной(при фиксированном Q(t)) цены P(t) товара при следующих параметрах: Qm = 4,a = 0,4, P1 = 3, R = 50, P(t - 1) = 7. При этом Q(1)(t) = 1,191, Q(2)(t) = 1,213,(1) ( )Pmax t = 7,024 , P(2)(t) = 6,969. Полужирным шрифтом выделены номера зон.P t ( )Q t ( )(1) ( )PmaxtP(2)(t)Q(1)(t) Q(2)(t)Рис. 1. Условно-оптимальная цена товара3. Условно-максимальная прибыль. Оптимальная цена товараи максимальная прибыльНайдем теперь оптимальную цену товара и оптимальный уровень поставкитовара на рынок, обеспечивающие максимальную прибыль продавца, еслиP(t − 1), (1) ( )Pmax t и P(2) удовлетворяют ограничениям (6) на P(t). Решение этой за-дачи проведём по зонам (по зоне 1 - дефицита товара, зоне 2 - затовариваниярынка, зоне 3 - баланса спроса и предложения, то есть динамического рыночногоравновесия).1) В зоне 1: 0 < Q(t) < Q(1)(t). После подстановки P(t) = P(1)(t) в выражение (7)для J(t) имеем( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )( ) ( ) ( )211 1 1 22Jt Q t Pt P Q t QO t P P J tR= + − − + − = .Как видим, J(1)(t) монотонно растет с ростом Q(t) по линейно-квадратичномузакону, достигая максимального значения на границе области при Q(t) = Q(1)(t):( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1)( )1 1max |Q tЕсли остаток товара QO(t) от продаж предыдущего интервала дискретноговремени не превышает величину Q(1)(t), то дополнительный заказ и поставка това-ра на рынок в объеме QZ(t - ƒ) = Q(1)(t) - QO(t) (в частности, QZ(t - ƒ) = 0 приQO(t) = Q(1)(t)) обеспечивает максимум прибыли. Иначе, при QO(t) > Q(1)(t) следуетискать решение задачи оптимизации прибыли в областях 2 или 3.2) В зоне 2: Q(t) > Q(2)(t). После подстановки в J(t) для этой зоны (выражение(10)) P(t) = P(2)(t), не зависящего от Q(t), имеем( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) 2 2 2 2 21 1 2 12OmJt =Q −aP t P t −QtP+Q t P−P −RP t −Pt− =J t .Как видим, J(2)(t) монотонно убывает с ростом Q(t) по линейному закону, такчто достигает в этой зоне наибольшего значения при Q(t) = Q(2)(t):( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2)( )2 2max |Q t Q t J t J t = = .Если QO(t) < Q(2)(t), то дополнительный заказ и поставка товара на рынок вобъеме QZ(t - ƒ) = Q(2)(t) - QO(t) обеспечивает получение этого максимума прибы-ли. Если же QO(t) > Q(2)(t), то QZ(t - ƒ) = 0, и достигается лишь значение прибыли( ) ( ) ( ) ( )2 (2) ( )|Q t QO t max J t J t = < .3) В зоне 3: Q(1)(t) ≤ Q(t) ≤ Q(2)(t). После подстановки P(t) = P(3)(t) в J(t) дляэтой зоны (формула (10)) имеем( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )231 1 2 12J t QtQmQt Qt P QO t P P R QmQt Pt J ta a= − − + − − ⎛⎜ − − − ⎞⎟ =⎝ ⎠.Это выпуклая вверх линейно-квадратичная функция переменной Q(t). Макси-мум J(3)(t) по Q(t) достигается в точке( ) ( ( 1)) ( 1) (3) ( )2Q t R QmaP t a QmaP Q ta R− − + −= =+.Нетрудно показать [3], что Q(1)(t) < Q(3)(t) < Q(2)(t), то есть точка Q(3)(t) макси-мума J(3)(t) лежит в области 3. Максимальное значение прибыли в зоне 3 (приQO(t) < Q(3)(t))( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3)( )3 3max |Q t Q t J t J t = = .Это значение является и глобально максимальным, потенциально возможнымпри QO(t) ≤ Q(3)(t). Если же Q(3)(t) < QО(t) ≤ Q(2)(t), то глобально максимальное зна-чение прибыли не может быть достигнуто, и достигается только условно-максимальное значение (при фиксированном QO(t)) внутри зоны 3, лежащее меж-ду (3) ( )Jmax t и J(2)(t).На рис. 2 для примера, рассмотренного выше, приведен ход условно-опти-мальной прибыли (при фиксированном Q(t) и при QO(t) = 0) с указанием точкиглобального максимума (Q(3)(t) = 1,203, (3) ( )Jmax t = 4,802).Очевидно, глобальный максимум прибыли может быть получен только в томслучае, если объём остатка товара, не проданного на предыдущем интервале вре-мени, не превышает величину оптимального объёма поставки товара на рынок:QO(t) ≤ Q(3)(t). В противном случае прибыль продавца будет меньше максимальновозможной. Причем, если при этом объём остатков товара будет оставаться в зоне3, то есть будет лежать в интервале Q(3)(t) < QO(t) ≤ Q(2)(t), то рынок будет оста-ваться в состоянии динамического равновесия (спрос на товар будет оставатьсяравным предложению, в качестве которого будет выступать остаток товара).И только при QO(t) > Q(2)(t) предложение товара перейдет в зону 2, и начнется за-товаривание рынка.J(t)Q t ( )Q(1)(t) Q(2)(t)(3)Q(2)(t), Jmax(t)Рис. 2. Условно-максимальная прибыль4. Численное моделирование динамики рынка одного товарас оптимальным запаздывающим управлениемРассмотрим модель функционирования рынка одного товара в дискретномвремени t, t  N = {0,1,2,...}. Моделируется ситуация, когда сначала (не менее ƒшагов дискретного времени) рынок находился в состоянии равновесия. Затем внекоторый момент времени t = 0 он выводится из равновесного положения (ценатовара резко меняется, например увеличивается по отношению к равновесномузначению P* = (Qm + aP1) / (2a) [3], то есть P(0) = P0 > P*). После этого рынок по-степенно возвращается в равновесное состояние. Расчёты эволюции состояниярынка с оптимизацией поставок товара на рынок проводились при R = 50; Qm = 4;a = 0,4; T = 300; P0 = 7; P1 = 3; P2 = 0,1; Pmin = P1 + P2; Pmax = Qm/a; P* = 6,5; Q0 = 0;ƒ = 10; 20; 30. Динамика параметров рынка изображена на рис. 3 - 8.На рис. 3 видно, что цена сначала резко падает, а затем по экспоненте плавноподнимается до равновесного значения. Причем резкое падение цены происходитдо момента t = 10 (для ƒ = 10), t = 20 (для ƒ = 20) и t = 30 (для ƒ = 30). Дело в том,что на интервале t  [0,10] ситуация на рынке уже изменилась (в связи с повыше-нием цены товара), спрос упал, но на рынок (в связи с задержкой в поставках то-вара) продолжает поступать товар в объёмах, необходимых для равновесногорынка. Как следствие - затоваривание рынка и скопление излишков товара наскладе (рис. 6). Изменение поведения цены в момент, например, t = 10 (для ƒ = 10)связан с тем, что с этого момента на рынок поступает товар в уже скорректиро-ванных объёмах - продавец сделал заказ товара уже после скачка цены на товар,следовательно, заказывал его в уже меньших объёмах, что предотвращает затова-ривание рынка и стремительное уменьшение цены товара.Заметим, что момент времени изменения поведения цены не обязательно сов-падает с задержкой ƒ. Если в этот момент рынок все еще затоварен, то цена ещенекоторое время будет резко падать (например, если изменить параметр линииспроса a = 0,5). Интересно поведение функции прибыли. На начальном интервалеприбыль падает. Это связано с падением спроса на товар. Но затем идет скачко-образное повышение прибыли, связанное с тем, что продавцу не надо платить запокупку товара, так как размер заказанного товара в этот момент равен нулю (этосвязано с затовариванием рынка).На рис. 9 - 14 отображена динамика основных переменных функционированиярынка при условии, что в момент времени t = 0 рынок был выведен из состоянияравновесия резким падением цены товара (P0 < P*).Расчёты эволюции состояния рынка с оптимизацией поставок товара на рынокпроводились при R = 50; Qm = 4; a = 0,4; T = 300; P0 = 5,5; P1 = 3; P2 = 0,1;Pmin = P1 + P2; Pmax = Qm/a; P* = 6,5; Q0 = 0; ƒ = 10; 20; 30.Проанализируем ситуацию, когда цена товара резко упала. Рынок реагирует наэто резким повышением спроса на товар. На интервале t  [0,10] на рынок посту-пает товар в недостаточных объёмах, что связано с задержкой в поставках товара- на рынок поступает объём товара, который был необходим для рынка в состоя-нии равновесия. Как следствие, излишков товара на складе нет (рис. 12). На рис. 9видно, что так же, как и в предыдущем примере, есть точка изменения характераповедения цены товара. Это изменение также связано с тем, что с этого моментана рынок поступает товар в уже скорректированных объёмах, и происходит по-степенное насыщение рынка.ЗаключениеТаким образом, предлагаемая рестриктивная динамическая математическаямодель рынка одного товара качественно правильно описывает поведение рынка вусловиях запаздывания поставок товара на рынок. Оптимальная стратегия постав-ки товара требует предсказания цены товара и покупательского спроса вперёд навремя запаздывания, что, как это видно из рассмотренных примеров, может бытьсделано с помощью имитационного моделирования поведения рынка.

Скачать электронную версию публикации