About insensibility of stationary distribution of state probabilities of open queueing network with multimode strategies and polytypic demands.pdf Сети массового обслуживания достаточно адекватно описывают функциони-рование многих реальных объектов в области информационно-вычислительных илогистических систем. Аналитические результаты теории сетей массового обслу-живания используются при проектировании новых производственных линий, за-правочных станций, планировании графика работы общественного транспорта ит.д., когда реальных объектов не существует или когда эмпирические данные по-лучить довольно трудно и дорого.При этом большую практическую значимость имеет изучение таких сетей, вкоторых могут обслуживаться требования не одного, а нескольких типов, а самиобслуживающие приборы могут работать с разной производительностью. В рабо-те [1] были введены в рассмотрение сети массового обслуживания с многорежим-ными стратегиями, в узлах которых приборы могут функционировать в различ-ных режимах с более высокой или низкой производительностью. Однако для ука-занных сетей предполагалось, что время пребывания прибора в определенном ре-жиме имеет экспоненциальное распределение. Это условие ограничивало приме-нение полученных результатов на практике, когда прибор может полностью иличастично выходить из строя, требовать ремонта или замены.Сети с разнотипными заявками и многорежимным обслуживанием, когда ко-личество работы по обслуживанию поступающих в узел заявок имеет произволь-ную функцию распределения, были исследованы в [2]. Для указанных сетей былаустановлена инвариантность стационарного распределения вероятностей состоя-ний относительно функционального вида распределения количества работы, не-обходимого для обслуживания требований.Сети с немедленным обслуживанием заявок (дисциплина LCFS PR) и много-режимным обслуживанием, когда количество работы по обслуживанию посту-пающих в узел заявок и количество работы по переключению прибора с одногорежима на другой являются случайными величинами с произвольной функциейраспределения, были исследованы в [3, 4]. Для указанных сетей была установленаинвариантность стационарного распределения вероятностей состояний относи-тельно функционального вида распределения количества работы, необходимогодля обслуживания поступающих заявок и переключения режимов работы обслу-живающих приборов. Данные результаты были получены для случая, когда в сетициркулируют требования одного типа.Однако на практике чаще встречаются сети, в которые поступают требованияразличных типов. Поэтому в настоящей работе были исследованы аналогичныесети с разнотипными заявками, а результаты, полученные в [3], обобщены для не-однородных сетей.1. Постановка задачиРассматривается открытая сеть массового обслуживания, состоящая из N од-нолинейных узлов, в которой циркулируют заявки М типов. Поступающий потокзаявок - простейший с интенсивностью ƒ. Каждая заявка входного потока незави-симо от других заявок с вероятностью p0(l,u) направляется в l-й узел и становитсязаявкой типа u ( 0( , )1 11, ; 1, ; 1N Ml ul ul Nu M p= == = ƒƒ = ). После обслуживания в l-м узлезаявка u-го типа мгновенно и независимо от других заявок с вероятностью p(l,u)(k,v)направляется в k-й узел и становится заявкой типа v, а с вероятностью p(l,u)0 поки-дает сеть (l,k =1,N;u,v=1,M; ( , )( , ) ( , )01 11N Ml u k v l uk vp p= =ƒƒ + = ).В каждом из N узлов находится единственный прибор, который может рабо-тать в rl + 1 режимах: 0, 1, …, rl (l= 1,N). По истечении времени пребывания врежиме прибор переходит в другой режим мгновенно.Дисциплина обслуживания заявок прибором - LCFS PR. Заявка, поступающаяв узел, вытесняет заявку с прибора и начинает обслуживаться, а вытесненная за-явка становится в начало очереди на обслуживание, сдвигая стоящие в ней заявки.При повторном поступлении на прибор заявка продолжает дообслуживаться ос-тавшееся время в режиме, в котором работал прибор на момент указанного по-ступления. Таким образом, поступающая в узел заявка имеет абсолютный при-оритет перед всеми остальными заявками, находящимися в узле. Нумерация зая-вок в очереди на каждый узел осуществляется от конца очереди к прибору.Состояние сети в момент времени t характеризуется вектором x(t) = (x1(t), x2(t),…, xN(t)), где состояние l-го узла в момент времени t есть вектор xl(t) = (xl(t),jl(t))== (xl1(t), xl2(t), …, xl,n(l)(t), jl(t)), xl1(t) - тип заявки, стоящей последней в очереди наобслуживание в l-м узле в момент времени t, xl2(t) - тип заявки, стоящей предпо-следней в очереди на обслуживание в l-м узле в момент времени t и т.д., xl,n(l)-1(t) -тип заявки, стоящей первой в очереди на облуживание в l-м узле в момент време-ни t, xl,n(l)(t) - тип заявки, находящейся на облуживании в l-м узле в момент вре-мени t, jl(t) - номер режима, в котором работает прибор в l-м узле в момент вре-мени t, n(l) - общее количество заявок в l-м узле. Тогда процесс x(t) обладает неболее чем счетным фазовым пространством состояний X = X1 . X2 . … . XN, гдеXl = {(0, jl), (xl1, jl), (xl1, xl2, jl), …: xlk = 1,M , k = 1, 2, …; jl = 0, rl }.В качестве основного режима работы обслуживающего прибора полагаетсярежим работы 0. Переключение происходит только на соседние режимы.Время пребывания в основном (нулевом) режиме работы имеет произвольнуюфункцию распределения (ƒl 0,u

Скачать электронную версию публикации