Investigation of nonmarkov system of mass service with unlimited number of servers and input MMP-flow by the method of sifted flow.pdf Системы массового обслуживания (СМО) с неограниченным числом приборовявляются адекватными математическими моделями реальных систем и процессовв различных предметных областях: экономика, телекоммуникации, сети связии т.д.Исследованию таких систем массового обслуживания посвящены работы [1 -4]. Многочисленные исследования реальных потоков в различных предметныхобластях, в частности телекоммуникационных потоков, а также потоков в эконо-мических системах, выполненные зарубежными и отечественными специалиста-ми, позволили сделать вывод о существенной неадекватности классических моде-лей (пуассоновских, рекуррентных) реальным потокам. Исследователи, занимаю-щиеся потоками, разработали схемы специальных потоков (поток Кокса, рекур-рентный поток фазового типа, марковский модулированный поток (MMP), мар-ковский поток однородных событий (MAP), групповой марковский поток одно-родных событий(BMAP)). В работах Д. Баума [5], Л. Брoера [6] были рассмотре-ны СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов, произвольнымвременем обслуживания и коррелированными входящими потоками: общий МАР-поток (BMAP|GI|) и поток Кокса (COX|GI|).В данной работе проводится исследование системы массового обслуживания снеограниченным числом обслуживающих приборов, на вход которой поступаетММР-поток, функция распределения времени обслуживания произвольная. Ис-следование СМО проводится методом асимптотического анализа в условиях рас-тущего времени обслуживания.1. Математическая модельРассмотрим систему массового обслуживания, на вход которой поступаетмарковский модулированный пуассоновский поток заявок (ММР-поток), задан-ный матрицей инфинитезимальных характеристик Q и диагональной матрицей ƒ,определяемой условными интенсивностями ƒk. Продолжительности обслуживаниязаявок стохастически независимы, одинаково распределены и имеют произволь-ную (не экспоненциальную) функцию распределения B(x). Поступающая заявказанимает любой из свободных приборов. Завершив обслуживание, заявка покида-ет систему (рис. 1).Q, ƒММРB(x)...B(x)Рис. 1. Математическая модель системы массового обслуживанияс неограниченным числом обслуживающих приборовОбозначим i(t) - число занятых приборов в момент времени t; k(t) - цепь Мар-кова, управляющая ММР-потоком.Чтобы исследовать такую систему массового обслуживания, воспользуемсяметодом просеянного потока.Предлагаемый метод позволяет проблему исследования немарковской систе-мы обслуживания с неограниченным числом приборов свести к задаче анализанестационарного марковизируемого потока.2. Метод просеянного потокаПусть на вход системы с неограниченным числом приборов поступает некото-рый поток заявок. На оси времени t отметим (рис. 2) моменты наступления собы-тий этого потока (верхняя ось рисунка).t1=0tРис. 2. Схематическая модель применения метода просеянного потокаВыделим некоторый момент времени t1. Не нарушая общности, можно счи-тать, что t1= 0. Будем полагать, что заявка входящего потока, поступившая в сис-тему в момент времени t < t1=0, с вероятностьюS(t) =1−B(t1 −t) =1−B(−t) (1)формирует событие просеянного потока, а с вероятностью 1-S(t) не рассматрива-ется.Очевидно, что заявки, не попавшие в просеянный поток, завершат обслужива-ние и покинут систему до момента t1, в то время как все заявки просеянного пото-ка в момент t1 будут находиться в системе, занимая её приборы.Обозначим n(t) - число событий просеянного потока, наступивших до моментавремени t. Если в некоторый начальный момент времени t0 < t1 система обслужи-вания свободна, то есть в ней нет обслуживаемых заявок, то для момента времениt1 выполняется равенствоi(t1) = n(t1), (2)то есть число i(t1) приборов, занятых в рассматриваемой системе обслуживания,равно числу n(t1) событий просеянного потока, наступивших до момента времени t1.Полагая входящий поток стационарным, для определения стационарных ха-рактеристик случайного процесса i(t1), будем рассматривать условие t0 = −x0, гдеx0 - такое значение аргумента x функции распределения B(x), что B(x0)=1. В част-ности, возможно x0 = . Следовательно, S(t)=0 при всех t ≤ t0, поэтому при выпол-нении условия t ≤ t0 не наступают события в просеянном потоке.Равенство (2) является основным для дальнейших исследований, так как про-блему исследования немарковизируемой системы обслуживания с неограничен-ным числом приборов сводят к задаче анализа просеянного нестационарного по-тока, определяемого процессом n(t). Найдя характеристики этого случайного про-цесса в произвольный момент времени t, где t0 ≤ t ≤ t1, положим t = t1, тогда, в силуравенства (2), его характеристики совпадают с характеристиками величины i(t1).3. Исследование системы ММР | GI | ∞ методом просеянного потокаДля распределения вероятностейP(k,n,t)=P{k(t)=k,n(t)=n}запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k , , k , 1, , , kP k n tP k n t S t P k n t S t P n t qt ƒƒ= −ƒ + ƒ − + ƒ ƒ .Начальное условие для решения P(k,n,t) в момент времени t0 запишем в виде( ) { ( ) 0, , , 0,0, 0,P k n t R k если nесли n==>где R(k) - стационарное распределение вероятностей значений цепи Маркова k(t).Составим систему уравнений определяющих характеристические функции( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) }0, , jun , , jun tnH k u t e P k n t R k M e k t k==ƒ = = ,где j = −1 - мнимая единица. Получим следующее уравнение:( , , ) ( ) ( )( ) ( ), , ju 1 , ,k kH k u tH k u t S t e H u t qt ƒƒ= ƒ − + ƒ ƒ ,H(k,u,t0)= R(k).Обозначив вектор-строкуH(u,t) ={H(1,u,t),H(2,u,t),

Скачать электронную версию публикации