Simulation statistical modelingof the market of one goods with the optimal deterministic strategy of the delivery ofgoods under condition of stochastic demand.pdf 1. Постановка задачиВ работе [1] рынок одного товара, функционирующий в условиях запаздыва-ния поставок товара на рынок, рассматривался как детерминированная инерцион-ная нелинейная управляемая динамическая система, подчиняющаяся ограничени-ям типа неравенств. Получено точное решение задачи оптимального управленияпоставкой товара на рынок при детерминированном спросе на товар в указанныхусловиях. Было показано, что оптимальная стратегия поставки товара на рынокможет быть реализована с помощью детерминированной математической модели,позволяющей точно прогнозировать состояние рынка вперёд на время запаздыва-ния. Проведено имитационное моделирование инерционного рынка одного товарапри оптимальном управлении поставкой товара на рынок в условиях запаздыва-ния поставок. В работе [2] описывается математическая модель рынка одного то-вара, в которую включено влияние флуктуаций покупательского спроса на пере-менные, описывающие функционирование рынка в условиях запаздывания по-ставки товара на рынок при той же детерминированной (но уже не оптимальной)стратегии поставки товара. В настоящей работе проводится статистическое ими-тационное моделирование рынка с флуктуирующим покупательским спросом иисследуются его статистические характеристики.Рассмотрим модель рынка одного товара, функционирующую в дискретномвремени t = 0,1,2,... . Пусть P(t) - цена товара в момент времени t, QO(t) - остатоктовара на рынке. Стратегия заказа товара определяется переменной QZ(t - ƒ) -объём товара, заказываемого в момент времени t - ƒ для поставки на рынок в мо-мент t (предполагается запаздывание ƒ в поставках товара). Пусть в момент t дис-кретного времени спрос QD(t) на товар при цене P(t) имеет вид простейшей ли-нейной зависимости с аддитивным членом ƒ(t), характеризующим случайныефлуктуации спроса:D ( ) ( ) ( )Q t =Qm −aP t +ƒ t, (1)где Qm > 0 и a > 0 - заданные константы.Будем считать, что ƒ(t) - стационарный некоррелированный случайный про-цесс с нулевым средним значением и произвольным стандартным отклонением ƒ.Неотрицательность спроса обеспечим нелинейной рестриктивной зависимостьюспроса от цены при любом значении ƒ путём усечения процесса ƒ(t):( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) { , если 0,0, если 0.D m mmQ t Q aPt t QQ aaPPtt tt− +ƒ − +ƒ >=− +ƒ ≤ (2)Объём товара Q(t), предлагаемого к продаже в момент времени t, складывает-ся из остатка товара в объёме QO(t) и товара в объёме QZ(t - ƒ), заказанного про-давцом в момент времени t - ƒ (с учётом запаздывания поставки) для поставки егона рынок к моменту времени t:Q(t)=QO(t)+QZ(t−ƒ) .Тогда объём продаж QS(t) на интервале t дискретного времени равенQS(t)=min(QD(t),QO (t)+QZ (t− ƒ)), (3)а остатки товара удовлетворяют рекуррентному соотношениюQO(t+1) =QO(t)+QZ (t−ƒ)−QS (t). (4)Будем считать целевой функцией рыночного механизма ценообразования при-быль продавца J(t) в момент времени t. В рассматриваемых условиях прибыльпродавца равна разности между выручкой от продажи товара и затратами на егоприобретение и хранение. Если P1 - цена закупки товара (на оптовом рынке или упроизводителя), P2 - цена хранения единицы товара, не проданного на предыду-щем интервале дискретного времени, то прибыль продавца в момент времени tсоставит величину( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))21 2 12J t =QSt P t −QZt P −QO t P − R P t −P t− . (5)Последнее слагаемое (с коэффициентом R > 0) «штрафует» продавца за изме-нение цены товара и определяет инерционность рынка - за резкое повышение це-ны могут последовать санкции законодательного характера, за резкое снижениецены - «санкции» конкурентов, выражающиеся в нанесении ущерба продавцу вразмере, эквивалентном этой штрафной функции.Решим задачу нахождения такой цены товара P(t) (устанавливаемой рынком) итакой дополнительной поставки QZ(t - ƒ) товара на рынок (устанавливаемой про-давцом), чтобы прибыль продавца при заданной линии спроса на t-ом интерваледискретного времени была максимальной:( )( ), ( )supP t QZ tJ t−ƒ . (6)При решении этой задачи должны выполняться ограничения на величину ценытовара P(t):P1 < Pmin < P(t) < Pmax(t) = (Qm + ƒ(t)) / aи на величину дополнительного заказа товара QZ(t - ƒ) ≥ 0.2. Стохастическая и детерминированная модели.Оптимизация цены и поставки товараПринцип решения поставленной задачи (6) без учета возможных флуктуацийспроса описан в работе [1]. При наличии флуктуаций спроса ƒ(t) схема решенияостаётся аналогичной и впервые представлена в работе [2]:1) Находится оптимальная (обеспечивающая максимум прибыли продавца (5))цена P(t) товара при фиксированных значениях предыдущей цены P(t − 1) товараи объёма предложения Q(t) (следовательно, при фиксированном объёме заказаQZ(t - ƒ)):( )( )| ( )maxP t Q tJ t  .2) Находится оптимальное значение объёма Q(t) товара, предлагаемого нарынке, и заказа QZ(t - ƒ) товара в зависимости от его остатка QO(t) на рынке.Однако имеется важное различие между стохастической и детерминированнойзадачами оптимизации. В детерминированной постановке задачи в каждый мо-мент дискретного времени t на рынок поступает оптимальный объём QZ(t - ƒ) то-вара, заказанного за ƒ шагов до момента t в условиях полной предсказуемости по-ведения рынка в течение этих шагов. А в стохастической постановке рынок идётпо стохастической траектории, так что предсказать точно будущий спрос на товари найти точное значение оптимального объёма QZ(t - ƒ) поставки товара на рынокв момент t - ƒ невозможно (будущие значения флуктуаций спроса ƒ(t) ещё не из-вестны).Поэтому решать стохастическую задачу приходится с использованием двухмоделей. Одна модель (стохастическая) является имитационной. Она моделируетстохастическую динамику рынка при известном на каждом шаге t объёме постав-ки QZ(t - ƒ). Другая модель (детерминированная) − скользящая упреждающая. Оназапускается на каждом текущем шаге t на ƒ шагов вперёд с начальными условия-ми, выражающими состояние стохастической модели в этот момент времени, дляпредсказания будущего состояния рынка на момент t + ƒ. По предсказанному со-стоянию производится расчёт требуемой к этому моменту времени оптимальнойдетерминированной поставки товара QZ(t + ƒ), которая и принимается к реализа-ции в имитационной модели (или на настоящем рынке).На рис. 1 приведена схема взаимодействия стохастической и детерминирован-ной моделей рынка.При решении как стохастической, так и детерминированной задачи (с учётомеё рестриктивности в силу соотношения (3)) следует выделить области, соответ-ствующие дефициту товара на рынке (область 1, в которой Q(t) < QD(t)), затова-риванию рынка (область 2, в которой Q(t) > QD(t)) и балансу спроса и предложе-ния (область 3, область динамического равновесия, в которой Q(t) = QD(t)). Соот-ношения, получаемые для стохастической модели, являются более общими. В де-терминированной модели во всех формулах следует положить ƒ(t) = 0.Детерминированная модельСтохастическая модель функционирования рынкаtРис. 1. Взаимодействие детерминированной и стохастической моделей рынка1) В области товарного дефицита Q(t) < QD(t), и в соответствии с соотноше-нием (3) имеем QS(t) = Q(t), так что( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( ))( ) ( )21 1 2|1 sup2OP t Q tJ t =Q t P t −Q t P +Q t P −P − R P t −P t −  . (7)Это вогнутая квадратичная функция переменной P(t), достигающая условногомаксимума при( ) ( 1) ( ) (1) ( )Q tP t P t P tR= − + = . (8)Как видим, P(1)(t) растет с ростом Q(t) по линейному закону. Выражение (8)справедливо не при любом Q(t), а лишь при Q(t), удовлетворяющем условиюQ(t) < QD(t) принадлежности к области 1. Это условие с учетом (1) и (8) имеетвид( ) m ( ) (1) ( ) m ( ) ( 1) ( )Q t Q t aP t Q t aP t a Q tR< +ƒ − = +ƒ − − − ,откуда ( ) R(Qm (t) aP(t 1)) (1) ( )Q t Q ta R+ ƒ − −< =+. (9)Поскольку в силу (2) D ( ) ( ) (1) ( ) 0Q t =Qm +ƒ t −aP t ≥ , возможная (допустимая)флуктуация ƒ(t), не приводящая к отрицательности спроса, подчиняется неравен-ствуƒ(t)≥ −(Qm −aP(t−1)), (10)что обеспечивает выполнение неравенства Q(1) (t) ≥ 0 . Таким образом, в области 1P(t) линейно растёт с ростом Q(t) от значения(1) ( ) ( ) ( )P t|Q t =0=P t−1до значения( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 11 1max1| mQ t Q tQ t RPtP t P t= a R+ ƒ + −= =+,причем условие принадлежности Q(t) к области 1 выражается неравенством (9) сучётом (10), то есть 0 ≤ Q(t) < Q(1)(t). После подстановки P(t) = P(1)(t) в выражение(7) для J(t) имеем( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )( ) ( ) ( )211 1 1 22Q t OJt Pt P Q t Q t P P J tR= + − − + − = .Дальнейшая оптимизация J(1)(t) по Q(t) производится только в детерминиро-ванной модели, не содержащей в течение ƒ предыдущих шагов флуктуации спросаƒ(t), и нужна для определения оптимального объёма поставки QZ(t - ƒ) товарапродавцом.Видно, что J(1)(t) монотонно растет с ростом Q(t) по линейно-квадратичномузакону, достигая максимального значения на границе области при Q(t) = Q(1)(t):( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ( )1 1max |Q t Q t J t J t = = .Если остаток товара QO(t) от продаж предыдущего интервала дискретноговремени не превышает величину Q(1)(t), то дополнительный заказ и поставка това-ра на рынок в объеме QZ(t - ƒ) = Q(1)(t) - QO(t) (в частности, QZ(t - ƒ) = 0 приQO(t) = Q(1)(t)) обеспечивает максимум прибыли. Иначе, при QO(t) > Q(1)(t), следу-ет искать решение задачи оптимизации прибыли в областях 2 или 3.2) В области затоваривания рынка Q(t) > QD(t), и в соответствии с выраже-нием (3) имеем QS(t) = QD(t), так что с учетом (1)( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )1 ( )(1 2 )OJ t = Qm+ƒ t −aP t P t −Q t P +Q t P −P −( ( ) ( ))( ) ( )2|1 sup2 P t Q t−R P t −P t−  . (11)Это вогнутая квадратичная функция переменной P(t) с точкой максимума( ) ( ) ( 1) (2) ( )2Qm t RPtP t P ta R+ ƒ + −= =+. (12)При выполнении условия (10) эта величина неотрицательна и не меньшеP(1)(t). Как видим, P(2)(t) не зависит от Q(t) (остаётся постоянной при любом Q(t) вэтой области). Выражение (12) справедливо лишь при условии, что Q(t) > QD(t),то есть при условии( ) ( ) (2) ( ) ( )( ( )) ( 1)2mma R Q t aRP tQ t Q t aP ta R+ +ƒ − −> +ƒ − =+,откуда ( ) ( ( ) ( 1)) ( ( )) (2) ( )2R Qm t aP t a Qm tQ t Q ta R+ ƒ − − + + ƒ> =+. (13)Последнее неравенство определяет условие принадлежности Q(t) к области 2.Нетрудно показать, что Q(2)(t) > Q(1)(t). В области 2 Q(t) > Q(2)(t). После подста-новки в J(t) P(t) = P(2)(t), не зависящего от Q(t), имеем( ) ( ( ) (2) ( )) (2) ( ) ( ) ( )( )1 1 2oJ t = Qm+ƒ t −aP t P t −Q t P +Q t P −P −( ( )( ) ( )) ( ) ( ) 2 1 2 22−R P t −Pt− =J t .Дальнейшая оптимизация J(2)(t) по Q(t) производится только в детерминиро-ванной модели, не содержащей в течение ƒ предыдущих шагов флуктуации спросаƒ(t), и нужна для определения оптимального объёма поставки QZ(t - ƒ) продавцом.Как видим, J(2)(t) монотонно убывает с ростом Q(t) по линейному закону, такчто достигает в этой области наибольшего значения при Q(t) = Q(2)(t):( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) ( )2 2max |Q t Q t J t J t = = .Если QO(t) < Q(2)(t), то дополнительный заказ и поставка товара на рынок вобъеме QZ(t - ƒ) = Q(2)(t) - QO(t) обеспечивает получение этого максимума прибы-ли. Если же QO(t) > Q(2)(t), то QZ(t - ƒ) = 0 и достигается лишь значение прибыли( ) ( ) ( ) ( )2 (2) ( )|Q t QO t max J t J t = < .3) В области баланса спроса и предложения (то есть в области динамиче-ского равновесия рынка) Q(t) = QD(t) и в соответствии с выражением (3) имеем,как и в области 2, объём продаж, равный спросу, то есть QS(t) = QD(t), и прибыльJ(t) в виде (10). Но Q(t) = Qm + ƒ(t) - aP(t), откуда( ) Qm (t) Q(t) (3) ( )P t P ta+ ƒ −= = . (14)Границами области 3 по Q(t) являются точки Q(1)(t) и Q(2)(t):Q(1) (t)≤Q(t)≤Q(2) (t) .Как видим из (13), в этой области P(3)(t) линейно убывает с ростом Q(t) от( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 13 1max1| mQ t Q tQ RPtP t P t= a R+ −= =+до ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 23 2 1|2mQ t Q tQ t RPtP t P t= a R+ ƒ + −= =+.После подстановки P(t) = P(3)(t) в J(t) для этой области имеем( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( )(1 2 )Qm t Qt oJ t Q t Q t P Q t P Pa+ ƒ −= − + − −( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 32R Qm t Qt P t J ta− ⎛⎜ + ƒ − − − ⎞⎟=⎝ ⎠.Дальнейшая оптимизация J(3)(t) по Q(t) производится только в детерминиро-ванной модели, не содержащей в течение ƒ предыдущих шагов флуктуации спросаƒ(t), и нужна для определения оптимального объёма поставки QZ(t - ƒ). J(3)(t) - во-гнутая линейно-квадратичная функция переменной Q(t). В точке( ) ( ( ) ( 1)) ( ( ) 1) (3) ( )2R Qm t aP t a Qm t aPQ t Q ta R+ ƒ − − + + ƒ −= =+прибыль J(3)(t) достигает максимального значения. Нетрудно показать, чтоQ(1)(t) < Q(3)(t) < Q(2)(t), то есть точка максимума Q(3)(t) лежит в области 3. Макси-мальное значение прибыли в области 3 (при QO(t) < Q(3)(t))( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) ( )3 3max |Q t Q t J t J t = = .Это значение является и глобально максимальным, потенциально возможнымпри QO(t) ≤ Q(3)(t). Если же Q(3)(t) < QO(t) ≤ Q(2)(t), то глобально максимальное зна-чение прибыли не может быть достигнуто, и достигается только условно-максимальное значение (при фиксированном QO(t)) внутри области 3, лежащеемежду (3) ( )Jmax t и J(2)(t).3. Статистический анализ стохастической динамики рынкаСтатистический анализ функционирования имитационной модели рынка в ус-ловиях стохастических флуктуаций спроса проводился в различных ситуациях, втом числе в ситуации, когда сначала, до некоторого момента времени t = 0 вклю-чительно, рынок находился в состоянии равновесия и флуктуации спроса отсутст-вовали. Равновесная цена товара P* = (Qm + aP1) / (2a), спрос QD* = Qm − aP* рав-нялся предложению, запасы товара на складе отсутствовали (QO* = 0). Таким об-разом, в момент времени t = 0 цена товара P0 оставалась равной P*, остаток товараQ0 = 0. Начиная со следующего момента, спрос начинал флуктуировать, вследст-вие чего рынок выводился из состояния равновесия. Флуктуации спроса модели-ровались последовательностью независимых нормально распределённых случай-ных величин с нулевым средним и одинаковой дисперсией ƒ2. При этом для обес-печения неотрицательности спроса производилось его усечение в соответствии срестриктивным преобразованием (2). Расчёты проводились при R = 50, Qm = 4,a = 0,4, T = 2000, P0 = P*, P1 = 3, P2 = 0,1, Pmin = P1 + P2, Pmax = Qm / a, P* = 6,5,Q0 = 0, ƒ = 7, ƒ = 0,1. Эксперимент повторялся N = 2000 раз. При каждой n-й реа-лизации имитационного моделированияH0: r(t, t+ƒ) = 0 о некоррелированности флуктуаций. Они определяются t-крите-рием Стьюдента и равны ( ) 22, 0,971 1+N−2 tN− 5 = ± 0,0438, где tN−2, 0,975 −квантиль уровня 0,975 распределения Стьюдента с N - 2 степенями свободы. Каквидно на рис. 8, при критическом уровне значимости 5 %-й корреляции значенийцены товара статистически значимо отличаются от нуля для всех значений пара-метра ƒ сдвига в интервале от ƒ = 1 до ƒ = 200, не менее. Аналогично ведёт себя ифункция автокорреляции rQZ(t,t + ƒ) предложения (заказа) товара. Все остальныепеременные имеют слабо коррелированные во времени значения. Наименее авто-коррелированы остатки QO непроданного товара, функция автокорреляцииrQO(t,t + ƒ) которых приведена на рис. 9. Поверхности функций автокорреляцииобъёма QS продаж, спроса QD и прибыли J имеют вид, промежуточный между по-верхностями, изображёнными на рис. 8 и 9, но ближе к рис. 9. Почти всюду их ав-токорреляции практически статистически незначимы.rPt ƒРис. 8. Нормированная автокорреляционная функция ценыи границы 95 %-го интервала её незначимостиrQt ƒРис. 9. Нормированная автокорреляционная функция остаткови границы 95 %-го интервала её незначимостиЗаключениеИтак, в работе получены точные соотношения, определяющие имитационнуюматематическую модель оптимального (по критерию максимума прибыли про-давца) инерционного рынка одного товара в условиях запаздывания поставок то-вара на рынок и флуктуаций покупательского спроса. Построена оптимальная де-терминированная стратегия поставки товара на рынок. Показано, что в силу нели-нейности модели случайные колебания спроса отклоняют статистическое равно-весие рынка от детерминированного равновесия.

Скачать электронную версию публикации