Parameter estimation and their change-point detectionfor generalized autoregressive process with conditional heteroscedasticity.pdf В 1986 г. T. Bollerslev [1] впервые предложил использовать модель GARCH -обобщенную авторегрессионную модель гетероскедастичности для анализа вре-менных рядов. При описании процессов типа GARCH предполагается, что на те-кущую изменчивость дисперсии влияют как предыдущие изменения показателей,так и предыдущие значения дисперсии. Модели типа GARCH часто используютсяпри обработке информации в задачах последовательного анализа данных, имею-щих эконометрическую направленность, а именно, при управлении финансовымирисками, так как пренебрежение определением структурных изменений можетприводить к финансовым потерям.В настоящее время интерес к данной модели не снижается, о чем свидетельст-вует большое количество работ в этой области [2−5] и др. Так, в работе [2]E. Hillebrand предложил алгоритм оценивания, основанный на функции логариф-мического правдоподобия, с использованием ненаблюдаемого процесса условнойвариации. Davies и др. [3] для определения изменения применяют обобщенное от-ношение правдоподобия, которое приводит к квадратичной форме. Gombey иSerban в [4] используют эффективный вектор вклада в последовательной проце-дуре, когда необходимо определить изменение параметра, если начальное значе-ние задано, а остальные компоненты являются мешающими параметрами. РаботаЕ.Gombey [5] посвящена апостериорному методу обнаружения разладки, когдаполностью доступна последовательность наблюдений и не определены начальныепараметры, однако необходимо оценивать все параметры модели. Для определе-ния разладки автор использует функцию log-правдоподобия и вектор эффектив-ного вклада.Во многих практических приложениях задача обнаружения момента разладкислучайных процессов оказывается тесно связана с задачей оценивания параметровэтих процессов. Для оценивания параметров GARCH-модели часто используетсяоценка квазимаксимального правдоподобия. Таким оценкам, в частности, посвя-щены статьи [6−8]. Pan и др. [9] изучали вероятностные и асимптотические свой-ства оценки квазимаксимального правдоподобия параметров пороговой моделиGARCH. Для стандартной модели GARCH асимптотические свойства, в частностиасимптотическую нормальность, оценок такого типа рассматривали Berkes [7] иFrancq и Zakoian [8]. Straumann и Mikosch [10] установили, что оценки квазимак-симального правдоподобия для общего класса моделей с условной гетероскеда-стичностью являются асимптотически нормальными. В работе [11] рассматривал-ся класс пороговых GARCH-моделей и строились оценки по методу квазимакси-мального правдоподобия и по методу наименьших квадратов. Авторы показали,что асимптотически МНК-оценка параметров является более точной, чем оценкамаксимального правдоподобия. Робастные оценки параметров модели GARCHрассматривались в работах [12−14]. Baillie and Chung [15] предложили оценку сминимальным расстоянием для модели GARCH(1,1), которая основывается на ав-токорреляционной функции квадратов наблюдений. В статье [16] предлагаетсяметод оценивания, основанный на автоковариационной функции квадратов на-блюдений, не требующий знаний о функции распределения.В данной работе предлагается последовательная процедура обнаружения мо-мента разладки процесса GARCH(p,q) с неизвестными авторегрессионными пара-метрами. Метод обнаружения разладки для случая с известными параметрамирассмотрен в [17]. Предложен метод оценки неизвестных параметров процесса,основанный на модифицированном взвешенном методе наименьших квадратов[18], позволяющий получить оценки с гарантированной точностью.1. Постановка задачиРассматривается устойчивый случайный процесс GARCH(p,q), 0,1...xn= ƒnƒnn= , (1)где {ƒn} - последовательность независимых одинаково распределенных случай-ных величин с нулевым средним, единичной дисперсией и известным распреде-лением. Плотность распределения шумов положительна на всей числовой прямой.Условная вариация процесса xn представляет собой случайный процесс вида2 2 21 1.p qn in i i n ii ia x− −= =ƒ = +ƒƒ +ƒƒ ƒПараметры {a, ƒi} предполагаются неизвестными, а параметры ƒi - известными.Параметры процесса удовлетворяют условиям1 1> 0, 0, 0, 1 , 1 ,0 < 0 ,где ƒ является известным значением, определяющим минимальное расстояниемежду значениями параметров до и после момента разладки. Требуется понаблюдениям за процессом {xn} определить момент разладки.2. Построение оценок параметровТак как значения параметров до и после момента разладки являются неизвест-ными, то необходимо получить их оценки. Преобразуем сначала процесс (1), за-писав его в матричной форме1 ( )2 21 12 21 1 1, : 1, : ;, , , , , , ;10 0 0, 1 0 0.0 0 0 0 1 0Tn n n nTn n nq pn np q qnS X MS X q p M q qS ax xX M−− −− − −= ƒ +  + =⎡⎣ƒ ƒ ⎤⎦ ƒ =⎡⎣ ƒ ƒ ⎤⎦⎡ ⎤ ⎡ƒ ƒ ƒ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦… …… …… …… … … … … … … …… …Используя это представление, получим( ) ( ) 21 1 2 1 2T T T TSn= Xnƒ + MSn− = Xnƒ +M Xn−ƒ +MSn− = Xn+MXn− ƒ +M Sn− =…( ) 11 k T k 1.Xn MXn M Xn k M +Sn k…= + − +…+ − ƒ + − − (3)Из ограничений на параметры (2) следует, что для любого j-мерного вектора S сположительными коэффициентами выполнено неравенство1 1 1max maxqqj q j j j j q jMS S≤ ≤ = ≤ ≤⎛ ⎞0 определим момент остановки ƒ = ƒ(H)ƒ=ƒ(H)=inf{N1>N+1:ƒmin(N1)≥H}, (9)где ƒmin(N1) - минимальное собственное значение матрицы ƒ(N1).Положительные весовые функции v(n,x)на интервале [N+1,N+ƒ−1] зада-ются следующим образом:( , )= 1TN n nv n xƒ U U, (10)где ƒ - наименьшее значение N1 , для которого матрица ƒ(N1) не вырождена.Веса v(n,x) на интервале [N + ƒ,ƒ −1] находятся из условийmin 2=( )( , ) .kTn nN n Nkv n xU U+ƒƒ=ƒ ƒ (11)Последняя весовая функция v(ƒ,x) находится из условийmin 2min=( )( , ) T , ( )= .n nN n Nv n xU U Hƒ+ƒƒ ƒ≥ ƒ ƒƒ ƒ (12)Из соотношенй (10) - (12) следует, что весовые функции удовлетворяют условию0 ( , ) 1 .N≤v n x ≤ƒОтсюда и из (6), (8) получаем, чтоEv2(n,x)bn2≤1.Оценка параметров ƒ∗(H) в момент времени ƒ имеет следующий вид:* 1= 1 = 1( )= ( , )TA ( ), A( )= ( , ) T.n n n nn N n NH v n x y U v n x U Uƒ ƒ−+ +⎛ ⎞ƒ ⎜ ⎟ ƒ ƒ⎝ ⎠ƒ ƒ (13)Свойства предложенной оценки определяет теорема 1.Теорема 1. Для любого значения параметра процедуры H>0 момент прекра-щения наблюдений ƒ(H) конечен с вероятностью единица и средний квадратнормы отклонения оценки ƒ*(H) от истинного значения вектора параметров ƒудовлетворяет неравенствуE (H) H p.H+ƒ −ƒ ≤Доказательство. Момент прекращения наблюдений ƒ(H) является конечнымтогда и только тогда, когда расходится почти наверное ряд2= 1( , ) T = .N n nn Nv n xU U+ƒ ƒ Для сходимости почти наверное данного ряда необходимо и достаточно, чтобывыполнялось условие [20]0 2(, ) T 0N n n kn kP vnxUU=⎧ ⎫ƒ > : ⎨ƒ ≥ ƒ⎬⎯⎯⎯ .⎩ ⎭ƒ (14)Так как T 1UnUn > , это условие может выполняться только при ƒNv2(n,x)0по вероятности. Перепишем уравнение для определения весовых коэффициентов(11) в виде [21]min ( ( ) ) min 2: 1( ) 1 minT 1 ( , ) T ( 1) ( , ) T .N Nx x n n N n nn nS A n vnxUU S v nxU U=ƒ ƒ −= − + = +ƒ ƒ ƒОтсюда получаем, что для произвольного вектора S:S =1 верно( ) ( ( ) ) 2 2( , )T ( , ) T T 1 min( 1) 0v n xUnUnƒN −v n x UnS − S A n− S−ƒ n− ≤ .Приравнивая левую часть к нулю и решая квадратное уравнение, получаем, чтооно имеет два корня, один из которых не положителен, а второй - не отрицателен.Коэффициент v(n,x) удовлетворяет условию( ) ( ) ( ( ) ) 2 44 1 min ( 1)( , ) .2T T T Tn n N n nTN n nU S U S U U S A n S nv n xU U+ + ƒ − − ƒ −≤ƒРавенство здесь достигается, когда S является собственным вектором матрицыA(n) , соответствующим ее минимальному собственному значению. Отсюда по-лучаем оценку члена ряда в (14)( ) ( ( ) )42: 1 min( , ) min 1 ( 1) .2TT n TN n n S S TN n nU Sv n xU U S A n S n= U U⎧ ⎫ƒ > ⎪⎨ + − − ƒ − ⎪⎬⎪⎩ƒ ⎪⎭(15)Правая часть этого неравенства сходится к нулю, если и только если оба ееслагаемых сходятся к нулю. Для этого вектор S должен сходиться к вектору, соотјC |-ветствующему минимальному собственному значению матрицы A(n-1), и одно-временно к вектору, ортогональному Un. Поскольку вектор Un зависит от случай-ной величины ƒn, не зависящей от A(n-1) , правая часть (15) будет больше некото-рой константы с положительной вероятностью.Используя неравенство Коши - Буняковского и соотношение (4), получаем2 2* 2 12= 1 = 1( ) ( , )T ( ) 1 ( , )T.n n n n n nn N n NE H E b vnxU A E b vnxUHƒ ƒ−+ +⎛ ⎞ƒ −ƒ ≤ ⎜ ƒ ⎟ ƒ ≤ ƒ⎝ ⎠ƒ ƒ (16)Введем усеченный момент остановки ( ƒ( N1)=min{ƒ,N1}, тогда ƒ(N1)ƒ приN1  . Выражение (16) преобразуется к виду, отличающемуся от исходноготолько пределом суммирования. Обозначим через { } Fn= ƒx1,…,xn0,ƒn0+1,…,ƒn ƒ- алгебру, порожденную случайными величинами { } x1,…,xn0,ƒn0+1,…,ƒn . Ис-пользуя свойства условного математического ожидания получаем1 11( ) 22 2 22 2 ( ) 1= 1 = 112 ( ) 1= 2 = 11 ( , ) =1 ( , )2 ( , ) ( , )N NT Tn n n n n n n n nn N n NN nTk n k n k n n nn N k NE b vnxU EE bv nxUU FH HEE b b v k x v n x U U FHƒ≤ƒ −+ +−≤ƒ −+ +⎡ ⎤ƒ ⎢ ƒƒ ⎥ +⎣ ⎦⎡ ⎤+ ⎢ ƒƒ ƒ ⎥=⎣ ⎦ƒ ƒƒ ƒ[ ]11112 2 22 ( ) 1= 112 ( ) 1= 2 = 12 2 2 22 ( ) 2= 1 = 11 ( , )2 ( , ) ( , )1 ( , ) 1 ( , ) .NTn n n n n nn NN nTk n k n k n n nn N k NNT Tn n n n N n n nn N n NE bv nxUU E FHE bb v k x v n x U U E FHE bv nxUU E bv nxUUH H≤ƒ −+−≤ƒ −+ +ƒ≤ƒ + += ƒ ⎡⎣ƒ ⎤⎦++ ƒƒ ƒ == ƒ ⎯⎯⎯⎯ƒƒ ƒƒ ƒУчитывая оценки (6), (8) и условия для выбора весов (10)-(12), получаем( )12 2 2 2 2 2 22 2 2= 1 = 1 =2 21 ( , ) ( , ) ( , )1 .Nn n n nn N n N n NNE b v n x U CE v n x U CE v n x UH H HC H p E H pH Hƒ +ƒ− ƒ+ + +ƒ≤ + ≤+ +≤ ≤ƒƒ ƒ ƒТеорема доказана.3. Построение процедуры обнаружения разладкиПостроим процедуру определения момента разладки. Пусть матрица211 2=( , )= ( , )TTn nn Tƒ T T ƒv n xU U , а ƒmin(T1,T2) - ее минимальное собственное значение.Весовые функции v(n,x) определяются аналогично (10)-(12). Построим последо-вательность моментов остановкиƒ0=N; ƒi=min{T> ƒi−1:ƒmin(ƒi−1 +1,T)≥ H}, i ≥1.На каждом интервале [ ] 1 1, i i − ƒ + ƒ найдем оценку параметров ( ) *iƒ H процесса (1),построенную по формуле, аналогичной (13). Далее сравним оценки параметров,полученные на интервалах, отстоящих друг от друга на m шагов. Если интервал[ƒi−1 +1,ƒi] не содержит момент разладки ƒ, то вектор параметров ƒ на этом интер-вале является постоянным и его значение равно или начальному значению ƒ0, иликонечному ƒ1. Если, для определенного i, разница между значениями параметров наинтервалах [ƒi−m−1+1,ƒi−m] и [ƒi−1 +1,ƒi] не меньше, чем заданная величина ƒ, тоƒi−m ≤ƒ≤ƒi−1 . Свяжем статистику Ji с интервалом [ƒi−1 +1,ƒi] для i>mJi= ƒi− ƒi−m ƒi− ƒi−m (17)Эта статистика характеризует квадрат нормы различия оценок с номерами i и i-m.Обозначим отклонение оценки ( ) *iƒ H от истинного значения вектора параметровчерез ƒi. Если выполняется условие ƒ > ƒi , то до момента ƒi значения параметровостаются неизменными и статистика (17) имеет видJi= ƒi− ƒi−m2 .Если ƒi−m ≤ƒ≤ƒi−1 , то есть изменение значений параметров произошло на ин-тервале [ƒi−m,ƒi−1 ] , то статистика Ji примет следующий вид:2Ji= ƒ1− ƒ0+ ƒi− ƒi−m .Алгоритм определения точки изменения параметров процесса заключается вследующем: значение заданной статистики (17) сравнивается с пороговым значе-нием ƒ. Решение о наличии разладки принимается при превышении значения ста-тистики Ji значения ƒ.Важными характеристиками любой процедуры обнаружения разладки являют-ся вероятности ложной тревоги и ложного спокойствия. Благодаря использованиювзвешенного метода наименьших квадратов для построения оценок, в каждомцикле наблюдений можно обеспечить заданную вероятность ложной тревоги иложного спокойствия, выбирая параметр процедуры H соответствующим образом.Теорема 2. Пусть 0 < ƒ < ƒ , тогда вероятность ложной тревоги P0 и вероят-ность ложного спокойствия P1 на любом интервале наблюдений [ƒi−1+1, ƒi] явля-ются ограниченными( ) 0 2 1 2 2P(H, ) 4(H p), P(H, ) 4(H p) .H H+ +ƒ ≤ ƒ ≤ƒ ƒ − ƒДоказательство. Рассмотрим вероятность ложной тревоги. В этом случаезначение статистики Ji превышает порог ƒ до момента разладки ƒ. Используясвойства нормы вектора и неравенство Чебышева, а также утверждение теоремы 1,получаем{ } 2 220 2( , ) { | } 2 { i i } 4( ).i i i imP H P J P E H pH −ƒ + ƒ +ƒ = > ƒ ƒ < ƒ = ƒ − ƒ > ƒ ≤ ≤ƒ ƒДля нахождения вероятности ложного спокойствия рассматриваются случаи, ко-гда момент разладки уже наступил, а значение статистики (17) не превысило по-роговое значение ƒ. Вероятность P1 имеет вид{ } { }{ }21 1 1 01 0( , ) |.i im i i imi imP H P J PP− − −−ƒ = < ƒ ƒ < ƒ < ƒ = ƒ − ƒ + ƒ − ƒ < ƒ == ƒ − ƒ + ƒ − ƒ < ƒУчитывая, что ||ƒ1-ƒ0||. >ƒ >0 и используя свойства нормы, неравенство Чебыше-ва и утверждение теоремы 1, получаем{ } { }( ) 1 2 2( , ) i im i im 4( ) .P H P P H pH− −+ƒ ≤ ƒ − ƒ − ƒ < ƒ = ƒ − ƒ < ƒ − ƒ ≤ƒ − ƒТеорема доказана.ЗаключениеВ работе построена и исследована последовательная процедура обнаружениямомента изменения значений параметров процесса GARCH(p,q), параметры кото-рого предполагаются неизвестными до и после момента разладки. Для построенияпроцедуры обнаружения разладки использовались оценки неизвестных парамет-ров процесса, вычисленные на различных интервалах наблюдений. Предлагаемыйметод построения оценок основан на использовании модифицированного взве-шанного метода наименьших квадратов с гарантированным среднеквадратиче-ским отклонением. Таким образом, точность получаемых оценок неизвестных па-раметров зависит от выбора заданного параметра процедуры. Найдены характери-стики процедуры обнаружения разладки.

Скачать электронную версию публикации