Method of asymptoticanalysis for research of parallel service multiple demands of Markovian renewal flow..pdf На современном этапе развития теории массового обслуживания одним извостребованных направлений является исследование систем массового обслужи-вания (СМО) с групповым поступлением заявок и параллельным обслуживанием[1−3]. Область применения таких систем довольно обширна, например, при моде-лировании современных информационно-вычислительных систем необходимоучитывать пакетный характер трафика, а также один из основных принципов припроектировании современных компьютерных сетей - параллельность процессовобработки информации [4, 5]. Поэтому возникает необходимость в разработке но-вых математических моделей систем массового обслуживания, а именно, систем снеординарными входящими потоками и различными вариантами обслуживания, втом числе с двумя и более блоками обслуживания.Исследованию однолинейных систем массового обслуживания с неординар-ными входящими потоками (пуассоновским и рекуррентным) посвящены работыБочарова П.П., Печинкина А.В. и других российских учёных [6−9], в которыхрассматриваются системы массового обслуживания с марковским неординарнымвходящим потоком, несколькими типами заявок, обобщённой дисциплиной пре-имущественного разделения прибора заявками с минимальной обслуженной дли-ной, марковским обслуживанием и накопителем бесконечной ёмкости. Но, какправило, в данных работах все заявки в группе являлись однотипными, и время ихобслуживания было одинаково распределённым, что не всегда применимо дляописания реальных вычислительных процессов.Вышесказанное подтверждает, что построение и анализ новых математическихмоделей с параллельно функционирующими блоками обслуживания и общимивходящими потоками имеет большое практическое значение.Исследование подобных систем с двумерным пуассоновским потоком приво-дится в статье [10], однако, предлагаемый авторами метод довольно сложен и не-применим для исследования аналогичных систем с произвольным временем об-служивания или непуассоновским входящим потоком.В настоящей работе проводится исследование модели параллельного обслу-живания кратных заявок потока марковского восстановления методом асимптоти-ческого анализа [11], который позволяет найти основные характеристики системыпри выполнении некоторого предельного условия, например растущего времениобслуживания.1. Математическая модель параллельного обслуживаниямсдвоенных заявок потока марковского восстановленияВ качестве математической модели параллельного обслуживания кратных зая-вок рассмотрим систему массового обслуживания (СМО) с входящим потокоммарковского восстановления (MR(2)||M2|) и двумя блоками обслуживания, каж-дый из которых содержит неограниченное число приборов (рис. 1). На вход сис-темы поступает поток марковского восстановле-ния сдвоенных заявок, заданный набором функ-ций распределения длин интервалов A1(x), A2(x),… , Ak(x) и матрицей переходных вероятностей P- вложенной по моментам наступления событийцепи Маркова k(t) [5]. Продолжительности об-служивания различных заявок стохастически не-зависимы, одинаково распределены в каждомблоке и имеют экспоненциальное распределениес параметрами ƒ1 и ƒ2 соответственно. Поступив-шая заявка занимает любой из свободных прибо-ров, завершив обслуживание, заявка покидаетсистему.Ставится задача исследования двумерногопроцесса, характеризующего число заявок в каж-дом блоке.Обозначим is - число заявок в s-м блоке об-служивания, s=1,2. Так как входящий поток непу-ассоновский, то двумерный процесс {i1(t), i2(t)},не является марковским. Для его марковизацииприменим метод дополнительных переменных. Пусть z(t) - длина интервала отмомента времени t до момента наступления очередного события во входящем MR-потоке, а процесс k(t) - вложенная по моментам наступления событий цепь Мар-кова. Определенный таким образом четырехмерный процесс {k(t), z(t), i1(t), i2(t)}является марковским с непрерывным временем.Определим вероятностиP(k,z,i1,i2,t)=P{k(t)=k,z(t)

Скачать электронную версию публикации