The decisionof the terminal problem of a one-sector optimal management of the economy.pdf Рассматривается динамическая задача оптимального управления односектор-ной экономикой с использованием производственной функции Кобба - Дугласа[1]. Управление заключается в распределение произведённого продукта на накоп-ление (инвестирование) и непроизводственное потребление. Проблема состоит ввыборе такого управления, при котором обеспечивается максимум непроизвод-ственного потребления за планируемый конечный период производства и, крометого, требуется выход на заданный уровень фондовооружённости. Полученополное аналитическое решение задачи. Найдены необходимые условия, т.е. ог-раничения на период производства, начальную фондовооружённость и парамет-ры задачи, при которых существует оптимальное управление. Работа являетсяпродолжением [2], поэтому некоторые промежуточные результаты приводятсябез доказательства.1. Постановка задачиПредполагается, что состояние экономики характеризуется величинами k(t) −фондовооружённость труда (ФВ) и c(t) − непроизводственное потребление (НП).Изменение этих величин описывается уравнениями [1,2]0 , (0) k=uF−μk k =k >0; (1)c= δc+(1−u)F, c(0) = 0. (2)Здесь μ > 0 - коэффициент амортизации, δ > 0 − норма дисконтирования,F(k) = Akα − производительность труда, А - масштаб темпа производства (А > 0),α − коэффициент эластичности по основным фондам. Управляющим параметромявляется коэффициент u, который определяет долю валового продукта, котораяидёт на увеличение ФВ. При этом всегда0≤ u ≤1. (3)Предполагается, что планируемый период производства [0,Т] задан и конечен.Решение уравнения (2) на этом интервале можно записать в видеc( ) e (1 ) ( ) ,TT t T Ju uFkdt δ −= [ ]=∫ − (4)т.е. J u [ ] есть НП на интервале [0,Т] при управлении u.Терминальная задача: в течение заданного интервала времени [0,Т] найти та-кое управление u(t) с учетом (3), при котором функционал (4) максимален и вы-полняется условиеk(T) ≥ kT, (5)где kT − какое-то заданное значение, называемое горизонтом.Решение уравнения (1) при постоянном u на интервале времени [t0, t) с началь-ным условием k(t0)=k0 имеет вид [2]( 0) ( 0)0 ( ) (1 ) , t t t t uAkβt e−βμ − kβe−βμ −= − +μ(6)где β = 1−α. Если u(t) = 0, то( 0)0 ( ) ( ) . t t k t k t e−μ −= (7)Поскольку при u = 1 lim ( ) / ,tkβ t А→∞= μто обычно предполагается, что k(t0) иkT < (A/μ)1/β.Если значения k(T) = kT и Т заданы, то можно выделить интервал [N1, N2] на-чальных значений k0, из которых можно попасть в точку k(T) = kT . Нижнюю иверхнюю границы этого интервала можно получить в результате интегрированияуравнения (1) при u(t) = 1 и при u(t) = 0 соответственно. В результате, согласно(6) и (7), получается1 1 2 2 ( , ) ( 1), ( , ) . Т Т ТT T T TANβ Nβ T k kβeβμ eβμ N N T k k eμ= = − − = =μПри большом Т значение N1 может быть отрицательным, тогда его следует заме-нить на 0.Если N1 > 0, то для k0 < N1 терминальная задача не имеет решения. Если k0 ≥ N2,то при любом управлении выполняется условие (5). При этом максимум функ-ционала (4) достигается при u(t) = 0, т.е. весь валовой продукт идет на НП. В этомслучае J[0] = G(k0;0,T), где2 11( )( )( - )1 21( ; , ) .t tТ t eG k t t Ak e− δ+αμ −α δ −=δ+αμПоэтому далее считаем, что k0 принадлежит интервалу [N1, N2]. При этом управ-ление должно содержать отрезки, когда u(t) > 0. Можно выделить значение01ln(1 / ), TT kβ A = − −μμβпри котором N1(T0,kT) = 0. Можно также построить кривые1 1 2 2 ( ) ( , ) , ( ) ( , ) . t tT TA Anβt = μ+⎛⎜⎝NβT k −μ⎞⎟⎠e−βμ n t =N T k e−μПри этом всегда n1(t) ≤ k(t) ≤ n2(t).2. Решение терминальной задачиПрименение принципа максимума Понтрягина приводит к структуре опти-мального управления, полученной в [1, 2]. Интервал [0, T] точками t1 и t2(0 < t1 < t2 < T) разбивается так, что1 1oc 1 22 2при 0 ,( ) при ,при .u t tu t u t t tu t t Т⎧ <

Скачать электронную версию публикации