On an approach to solution to optimal control problems on the classes ofpiecewise constant, piecewise linear, and piecewise given functions.pdf При управлении многими реальными процессами осуществление частых из-менений значений управляющих воздействий либо связано с большими трудно-стями реализации, либо вообще невозможно. Поэтому с практической точки зре-ния возникает необходимость исследования задач оптимального управления назаданных классах, например на классах кусочно-постоянных, кусочно-линейных идр. управляющих воздействий. В статье исследуются нелинейные задачи опти-мального управления процессами, описываемыми системами обыкновенных диф-ференциальных уравнений. В рассматриваемых задачах управление принадлежитклассам кусочно-постоянных, кусочно-линейных и кусочно-заданных управляю-щих функций; оптимизируемыми являются кусочно-постоянные значения коэф-фициентов, участвующих в выражении управлений и оптимизируются сами ин-тервалы постоянства этих коэффициентов. Важным в рассматриваемых задачахявляется также то, что границы интервалов постоянства коэффициентов неизвест-ны и оптимизируются. Предложен метод численного определения оптимальныхкусочно-постоянных значений коэффициентов, участвующих в выражении управ-лений, и интервалов постоянства этих коэффициентов, основанный на методахконечномерной оптимизации первого порядка и полученных формулах градиентафункционала по оптимизируемым параметрам.Отметим, что различные другие аспекты оптимального управления на классекусочно-постоянных функций исследовались многими авторами [1−6]. В частно-сти, в [3] для решения линейно-квадратичной задачи управления на классе кусоч-но-постоянных управляющих функций с оптимизируемыми временами их пере-ключения использована фундаментальная матрица решений. В [5] получены ус-ловия оптимальности для случая, когда управления принимают значения из за-данного множества с конечным числом значений. В [6] предложен подход к син-тезу зональных кусочно-постоянных управляющих воздействий. Исследованияданной работы отличаются от многих других подходов, использующих дискрети-зацию непрерывной задачи оптимального управления, в которых управляющиевоздействия естественно становятся кусочно-постоянными и ставится целью ап-проксимировать оптимальное управление.1. Постановка задачиРассматривается задача оптимального управления объектами, описываемымисистемой обыкновенных в общем случае нелинейных дифференциальных уравне-ний. Пусть состояние управляемого объекта описывается следующей задачейКоши:( ) ( ) ( ] ( ) 0 , , , 0, x t=f x u t t∈ T , x 0 = x , (1)где x = x(t)∈En, t∈[0,T] - фазовое состояние объекта; u = u(t)∈Er, t∈[0,T] - управ-ление; вектор-функция f =( f 1, f 2,…, f n) вместе с частными производными непре-рывны по (x,u). Момент времени T и начальная точка 0n x E ∈ заданы. Рассмотре-ны три типа задач в зависимости от наложения на управление различных условий.1 .1 . У пр а в л е н и я и з к л а с с а кусочно-постоянных функцийУправление u=u(t)∈Er, t∈[0,T] является постоянным [7] на каждом полуин-тервале [τj−1,τj), j=1,…,L, полученном разбиением отрезка [0, T] (L−1) оптимизи-руемой точкой τj, j=1,…,L−1, то есть( ) ) 1 const, , , , rj j j ju t v t v E−= = ∈⎡⎣τ τ ∈1 0 , 1,..., , 0, j j L j L T −τ ≤τ = τ = τ = , (3)а значения управления vj∈Er, j=1,…,L, принадлежат некоторому множеству U, вчастности следующему параллелепипеду:{( ) } 1 : ,..., , , , , , 1,..., rL j j j j j j U=vv=v v α ≤v≤β v α β∈E j= L . (4)Задача заключается в нахождении кусочно-постоянных значений управления u(t),то есть значений конечномерных векторов vj∈Er, j=1,…,L, и границ интерваловпостоянства этих значений, определяемых вектором τ=(τ1,…,τL−1), при которыхзаданный функционал( ) ( ) ( ) ( ( )) 00, ,,TJ u =J vτ = ∫ f x u t dt +Φ x T (5)при условиях (1) - (4) принимает минимальное значение, (v,τ)∈EL(r+1)−1. Предпо-лагается, что заданные функции f 0 и Ф непрерывны вместе с частными производ-ными по своим аргументам и число интервалов постоянства управлений L задано.1 .2 . У правления из к л а с с а к у с очно-линейных функцийУправление u=u(t)∈Er, t∈[0,T] является линейной функцией на каждом полу-интервале [τj−1,τj), j=1,…,L, полученном разбиением отрезка [0,T] (L−1) оптимизи-руемыми точками τj, j=1,…,L−1, то есть( ) ( ) ) 1 1 2, 1, , 1 , 2 ,j j j j rj j ju t c t c t c c E− −= −τ + ∈⎡⎣τ τ ∈ (6)а допустимые значения управления принадлежат некоторому множеству U, в ча-стности следующему параллелепипеду:{: ( ), ( ) , , , [0, ]} r U=uu=u t α≤u t≤βαβ∈E t∈ T . (7)Если обозначить C=(C1,…,CL)= 1 1 2 21 2 1 2 1 2 ( , , , ,..., , ) L Lc c c c c c , тогда ясно, что функционал(5) будет зависеть от параметров C и τ:( ) ( ) ( ) ( ( )) 00, ,,TJ u =J Cτ = ∫ f x u t dt +Φ x T . (8)Задача заключается в нахождении при условии (1), (6), (3), (7) таких векторовC = (C1,…, CL) и τ = (τ1,…,τL−1), при которых заданный функционал (8) принимаетминимальное значение.1 .3 . У правления из к л а с с а к у с очно-заданных функцийУправление u=u(t)∈Er, t∈[0,T] определяется заданными базисными функция-ми φm(t−τj−1), m=1,…,M, t∈[τj−1,τj), с неизвестными оптимизируемыми постоянны-ми коэффициентами Cj= 1 ( ,..., ) j jMc c , j=1,..,L, на каждом полуинтервале [τj−1,τj),j=1,…,L, полученном разбиением отрезка [0,T] (L−1) оптимизируемой точкой τj,j=1,…,L−1, то есть( ) ( ) ) 1 11, , , , 1,..., ,Mj j rm m j j j mmu t c t t c E m M− −==Σ ϕ −τ ∈⎡⎣τ τ ∈ = (9)а допустимые значения управлений принадлежат некоторому множеству U, в ча-стности параллелепипеду (7).Задача заключается в нахождении векторовC=(C1,…,CL)= 1 11 1 ( ,..., ,..., ,..., ) L LM Mc c c c и τ=(τ1,…,τL−1)при условии (1), (9), (3) (7), при которых заданный функционал (8) принимает ми-нимальное значение. Предполагается, что заданные функции φm(t−τj−1), m=1,…,M,t∈[τj−1,τj), вместе с частными производными по (x,u) непрерывны.Таким образом, в зависимости от выбора управления в форме (2), (6) или (9),будем рассматривать три типа задач оптимального управления: 1) (1) - (5); 2) (1),(6), (3), (7), (8); 3) (1), (9), (3) (7), (8).2. Численное решение дискретизированной задачиДля численного решения поставленных выше трех задач используем схему,предложенную в [8, 9]. Для этого на отрезке [0,T] введем равномерную сеточнуюобласть{ : , 0,..., , } i iΩ = t t =ih i= N h=T N .Здесь N - заданное натуральное число. Не умаляя общности, для простоты рас-четных формул систему (1) аппроксимируем явной схемой Эйлера:( ) 1 00 , , , 0,..., 1, i i i i i x x hf xu t i N x x +ټ= + =−ټ =. (10)Рассмотрим каждую задачу по отдельности.2 . 1 . О п р е д е л е н и е у п р а в л е н и я п о ф о р м у л а м ( 2 )Во введенной сеточной области аппроксимируем значение управленияu = u(t)∈Er, t∈[0,T], следующим образом:[ ) )( ( ) ( )) [ )1 11 1 1, , , , 1,..., ,0,..., 1., , , 1,..., 1,j i i j jij i j j j i j i iv t t j Lu iNv t v t h t t j L+ −+ + +=⎪⎧⎨ ⊂⎡⎣τ τ = =−−τ + τ − τ ∈ = − ⎪⎩(11)Интеграл, участвующий в выражении функционала (5), аппроксимируем мето-дом прямоугольников:( ) ( ) ( )10,0, ,, minNN i i iviI v x h f x u t−τ=τ =Φ + Σ → . (12)В результате получим конечномерную задачу математического программирова-ния (10) - (12) с учетом условий (3), (4).Из (11) видно, что если момент времени переключения управления τj находит-ся между узловыми точками ti, ti+1, то значение управления ui аппроксимируетсялинейной комбинацией значений vj, vj+1.Для решения задачи (10) - (12), то есть для определения оптимальных значе-ний векторов v и τ, используем численные методы конечномерной оптимизациипервого порядка, в частности итерационный метод проекции градиента функцио-нала в пространстве оптимизируемых параметров (v,τ):( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 1 1(3),(4) , , , , , , 0,1,...k k k k k k k k v P v I v v I v k + τ+ = ⎡⎣τ −α∂ τ ∂ ∂ τ ∂τ⎤⎦= , (13)где P(3),(4) - оператор проектирования вектора (v,τ) на допустимую область пара-метров, определяемую ограничениями (3), (4); (v0,τ0) - некоторое заданное на-чальное приближение для оптимизируемых параметров; векторы( ) ( ) ( ) ( ) , 1,..., L, , 1,..., L1dI v dv dI dv dI dv dI v d dI d dI dΤ Τ−τ = τ τ = τ τ , (14)определяют градиент функционала задачи (10) - (12), формулы для компонент ко-торого будет получены ниже; T - знак транспонирования.Введем векторы импульсных переменных [7−9]:( , ) , , 0,..., ni i i p =dI vτ dx p ∈E i= N. (15)Здесь производная понимается как полная, с учетом взаимозависимости значенийxi, i=0,…,N, из (10). Отсюда с учетом (10) следует( ) ( ) 011 1, , , ,, 1,...,0, i i i i i i ii i ii i i iI x f x u t f x u tp p h E h p i Nx x x xΤ++ +∂ ∂ ∂ ⎡ ∂ ⎤= + = +⎢+ ⎥ = −∂ ∂ ∂ ⎣ ∂ ⎦(16)( ),NNN NI xpx x∂ ∂Φ= =∂ ∂(17)где E - n-мерная единичная матрица. Систему (16), (17) назовем сопряженнойсистемой.Предположим, что момент переключения τj находится между узловыми точка-ми 1jkt− иjkt , то есть τj 1 [ , )j jk kt t−∈ , j=1,…,L−1. Тогда компоненты градиентаdI/dvj, j=1,…,L, определяются следующим образом:( ) ( )1101 1 1 1 1 1 1 11 1, , , ,, 1,..., ,jjjjkssj j s k jks s s s s s s sss k s j s jdI I xpdv v vf x u t u f x u t uh p j Lu v u v−−=Τ− − − − − − − −= − −∂ ∂= + =∂ ∂⎡∂ ∂ ∂ ∂ ⎤= ⎢ + ⎥=⎢⎣∂ ∂ ∂ ∂⎥⎦ΣΣ (18)а частные производные ∂us/∂vj, s=kj−1−1,…,kj−1, j=1,…,L, находятся из соотноше-ния (11):s k kut h s kvt h s k−+ − −⎧ = −ЃЭ ⎪=⎨ −ѓС = −ЃЭ ⎪⎩ ѓС − = −Для компонент градиента dI/dτj, j=1,…,L−1, имеем( ) ( )1101 1 1 1 1 1 11 1, , , ,, 1,... .j j jj jjj j j j j j jjj jk k kk kj j j j k jk k k k k k kkj k kdI I x I x up pd uu f x u t f x u th pj Lu u−−Τ− − − − − − −− −∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = + =τ ∂τ ∂τ ∂τ ∂ ∂τ∂⎡∂ ∂ ⎤= ⎢ + ⎥=∂τ⎢ ∂ ∂ ⎥⎣ ⎦(19)Частные производные ∂ 1jku− /∂τj, j=1,…,L−1, определяются непосредственно изсоотношения (11):( ) 1 1 , 1,..., 1j k j j j u v v h j L − +∂ ∂τ = − = −. (20)Тогда из (19), (20) для j=1,…,L−1 получаем, что( )( ) ( ) 01 1 1 1 1 111 1, , , ,, 1,..., 1. j j j j j jjj jk k k k k kj j kj k kdI f x u t f x u tv v p j Ld u uΤ− − − − − −+− −⎡∂ ∂ ⎤= −⎢ + ⎥= −τ ⎢ ∂ ∂ ⎥⎣ ⎦(21)Формулы (18), (21) определяют компоненты градиента (14) функционала зада-чи (10) - (12). Реализация итерационного процесса (13) заключается в проведенииследующих этапов:1) при текущих значениях вектора (vk,τk)∈E2L−1 из формул (10), (11) определя-ется решение аппроксимированной задачи Коши xi∈En, i=0,…,N;2) из формул (16), (17) определяются векторы импульсов pi∈En в обратном по-рядке, начиная с i=N, до i=0;3) из формул (18), (21) определяются компоненты вектора градиента (14);4) выполняется процедура (13) с выбором α из условия одномерной минимиза-ции функционала (12) (учитывая «простоту» допустимой области параметров (3),(4) операция проектирования P(3),(4) не представляет сложности), определяется но-вое приближение (vk+1,τk+1). В случае невыполнения условия оптимальности илиостанова итерационного процесса повторяются этапы 1) - 4).2 . 2 . О п р е д е л е н и е у п р а в л е н и я п о ф о р м у л а м ( 6 )Во введенной сеточной области аппроксимируем значение управленияu=u(t)∈Er, t∈[0,T] и функционал (8) следующим образом:( ) [ ) )( )( ( ) )( )( ( ) ) [ )1 1 2 1 11 11 1 1 21 1 2 1, , , , 1,..., ,10,..., 1,, , , 1,..., 1,j ji j i i j jj ji i j i jj jj i i j j i ic t c t t j Lu t c t c i Nht c t c t t j L− + −+ ++ +− +⎧ − τ + ⊂ ⎡⎣τ τ =⎪⎪=⎨ ⎡⎣ −τ − τ + + = −⎪⎪⎩+ τ − −τ + ⎤⎦ τ ∈ = −(22)( ) ( ) ( )10,0, ,, minNN i i iCiI C x h f x u t−τ=τ =Φ + Σ → . (23)Из (22) видно, что если момент времени переключения управления τj находитсямежду узловыми точками ti, ti+1, то значение управления ui аппроксимируется ли-нейной комбинацией значений ( 1jc (ti-τj−1)+ 2jc ), ( 11jc+ (ti+1-τj)+ 12jc+ ).Итак, аппроксимируя задачу (1), (6), (3), (7), (8), в результате получим конеч-номерную задачу математического программирования (10), (22), (23) с учетом ус-ловий (3), (7).Для решения задачи (10), (22), (23), то есть для определения оптимальных зна-чений векторов C= 1 1 2 21 2 1 2 1 2 ( , , , ,..., , ) L Lc c c c c c и τ, используем итерационный методпроекции градиента функционала в пространстве оптимизируемых параметров(C,τ):( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 1 1(3),(7) , , , , , , 0,1,...k k k k k k k k C P C dI C dC dI C d k + τ+ = ⎡⎣τ −α τ τ τ⎤⎦= , (24)где P(3),(7) - оператор проектирования вектора (C,τ) на допустимую область пара-метров, определяемую ограничениями (3), (7); (C0,τ0) - некоторое заданное на-чальное приближение для оптимизируемых параметров; векторы( )( )1 11 1 21 2 1 1 2,..., ,, , ,..., ,TLTL LdI d dI d dI ddI dC dI dc dI dc dI dc dI dc dI dc−τ = τ τ= (25)определяют градиент функционала (23).После введения вектора импульсных переменных (15), определяемого из сис-темы (16), (17), получим формулы градиента (25). Предположим, что момент пе-реключения τj находится между узловыми точками 1jkt− иjkt , то естьτj 1 [ , )j jk kt t−∈ , j=1,…,L−1. Тогда компоненты градиента dI/d jmc , m=1,2, j=1,…,L,определяются следующим образом:( )( )( ) ( )1 1101 1 1 11*1 1 1 110 *1 1 1 1 1 1 1 11 1, ,, ,, , , ,j jj jjjk ks s s s sj j j s jm m s k m s k s mks s s sj ss k s ms s s s s s s sj jss m s mdI I x f x u t up hdc c c u cf x u t uh pu cf x u t u f x u t uh pu c u c− −−− − − −= = −− − − −= −− − − − − − − −− −ЃЭ ЃЭ ⎡ЃЭ ЃЭ⎤= + = ⎢ ⎥+ЃЭ ЃЭ ⎣ ЃЭ ЃЭ ⎦⎡ЃЭ ЃЭ ⎤+ ⎢ ⎥=⎣ ЃЭ ЃЭ ⎦⎡ЃЭ ЃЭ ЃЭ ЃЭ= +ЃЭ ЃЭ ЃЭ ЃЭΣ ΣΣ1,1,..., , 1,2,jjks kj L m−=⎤⎢ ⎥⎣ ⎦= =Σ(26)а частные производные ∂us/∂ jmc , s=kj−1−1,…,kj−1, j=1,…,L, m=1,2, определяются изсоотношения (22):( )( )( )1 121 1 111, ,..., 2,, 1,, 1,s j j jsj s j jj s s j jt sk kut h s kct t h s k− −+ − −−⎧ − ѓС = −ЃЭ ⎪⎪=⎨ −ѓС = −ЃЭ ⎪ѓС − −ѓС = − ⎪⎩( )( )11 1 121, ,..., 2,, 1,, 1.j jsj s j jj s js k kut h s kct h s k−+ − −⎧ = −ЃЭ ⎪=⎨ −ѓС = −ЃЭ ⎪⎩ ѓС − =Для компонент градиента dI/dτj, j=1,…,L−1, получим соотношение (19). Част-ные производные 1 j k u − ЃЭ /∂τj, j=1,…,L−1, участвующие в (19), определяются непо-средственно из соотношения (22):( ) ( ) 11 11 1 1 1 2 212 . jj jk j j j jj k k jjuc t c t c ch−+ +− −∂= ⎡ τ − + − τ − + ⎤∂τ ⎣ ⎦(27)Если учесть (27) в (19), для dI/dτj, j=1,…,L−1, получаем, что( ) ( )( ) ( )0 *1 1 1 1 1 11 11 11 1 1 1 2 2, , , ,2 , 1,..., 1.j j j j j jjj jj jk k k k k kkj k kj j j jj k k jdI f x u t f x u tpd u uc t c t c c j L− − − − − −− −+ +− −⎡∂ ∂ ⎤=⎢ + ⎥.τ ⎢ ∂ ∂ ⎥⎣ ⎦Ѓ~⎡ τ − + − τ − +⎤= −⎣ ⎦ (28)Формулы (26), (28) определяют компоненты градиента функционала (23) зада-чи (10), (22), (23).2 . 3 . О п р е д е л е н и е у п р а в л е н и я п о ф о р м у л а м ( 9 )Во введенной сеточной области аппроксимируем значение управленияu=u(t)ЃёEr, tЃё[0,T], следующим образом:[ ) )( ) ( ) [ ), 11 111 1, , 11 11 1, , , , 1,..., ,1, , , 1,..., 1,0,..., 1,Mj i jm m i i j jmi M Mj i j j iji j m m j i m m j i im mc t t j Lut c t c t t j Lhi N−+ −=+ + −+ += =⎧⎪⎪ ϕ Ѓј⎣⎡ѓС ѓС ==⎨⎪⎪⎩⎡⎢⎣ −ѓС ϕ + ѓС − ϕ ⎦⎤⎥ѓС Ѓё = −= −ΣΣ Σ(29)где , i jϕm =φm(ti-τj−1), m=1,…,M, i=0,…,N−1, j=0,…,L−1.Итак, аппроксимируя задачу (1), (9), (3) (7), (8), в результате получим конеч-номерную задачу математического программирования (10), (29), (23) с учетом ус-ловий (3), (7).Для определения оптимальных значений векторов C= 1 11 1 ( ,..., ,..., ,..., ) L LM Mc c c c иτ используем процедуры (24). Здесь векторы( )( )T1 1T1 11 1,..., ,,..., ,..., ,...,LL LM MdI d dI d dI ddI dC dI dc dI dc dI dc dI dc−τ = τ τ=определяют градиент функционала задачи (10), (29), (23).Введем вектор импульсных переменных (15) и предположим, чтоτj 1 [ , )j jk kt t−∈ , j=1,…,L−1. Тогда компоненты градиента dI/d jmc , m=1,…,M,j=1,…,L, определяются следующим образом:( ) ( )110 *1 1 1 1 1 1 1 11 1, , , ,,1,..., , 1,..., ,jjjjksj j j sm m s k mks s s s s s s sj jss k s m s mdI I xpdc c cf x u t u f x u t uh pu c u cj L m M−−=− − − − − − − −= − −∂ ∂= + =∂ ∂⎡∂ ∂ ∂ ∂ ⎤= ⎢ + ⎥⎣ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎦= =ΣΣ(30)а частные производные ∂us/∂ jmc , s=kj−1−1,…,kj−1, j=1,…,L, m=1,…,M, находятся изсоотношения (29):( )( ), 111, 11 1 1, 1, ,..., 2,, 1,, 1.s jm j js s jj s j m jm s jj s m js k kut h s kct h s k−−+ −+ − −−⎧ϕ = −ЃЭ ⎪⎪=⎨ −ѓС ϕ = −ЃЭ ⎪ѓС − ϕ = − ⎪⎩Для компонент градиента dI/dτj, j=1,…,L−1, получим соотношение (19). Част-ные производные ∂ 1jku− /∂τj, j=1,…,L−1, участвующие в (19), определяются непо-средственно из соотношения (29):( ) 1 1, 1 1, 1, 1 1,1 1 11 1. j j j j jM M Mk jk j j k j j k j j k jm m m m m m m mj m m muc c c ch h− − − + − − += = =∂ ⎡ ⎤∂τ =⎢⎣ ϕ − ϕ⎥⎦= ϕ − ϕΣ Σ Σ (31)Тогда из (19), (31) для dI/dτj, j=1,…,L−1, получаем, что( ) ( )( )0 *1 1 1 1 1 11 11, 1 1 ,1, , , ,, 1,... 1.j j j j j jjj jj jk k k k k kkj k kMj k j j k jm m m mmdI f x u t f x u tpd u uc c j L− − − − − −− −− − +=⎡∂ ∂ ⎤=⎢ + ⎥.τ ⎢ ∂ ∂ ⎥⎣ ⎦.Σ ϕ − ϕ = −(32)Формулы (30), (32) определяют компоненты градиента функционала (23) зада-чи (10), (29), (23).З а м е ч а н и е . Ясно, что выбор схемы метода Эйлера для аппроксимации по-ставленных выше трех задач не имел принципиального значения для предлагае-мого подхода. Полученные формулы несложно распространить и на другие схемыдискретизации исходной задачи [8, 9].3. Результаты численных экспериментовЗадача 1. Применим предложенный подход к решению следующей тестовойзадачи нелинейного оптимального управления на отрезке [0,3π/4] [10]:( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 x =x,x =−u t x,x 0 = 1, x 0 = 0, 1≤u t ≤ 4, ( ) 1J=x T →min . (33)Здесь n=2, m=1, T=3π/4=2,356194. Точное решение задачи следующее:( ) ( ) ( ) * * *1 24, 0 , cos2, 0 , 2sin2, 0 ,4 4 43 3 31, , 2sin , , 2cos , ,4 4 4 4 4 4 4 4t t t t tu t x t x tt t t t t⎧⎪ ≤

Скачать электронную версию публикации