Mathematical modelof the trade as a queuing system of M/M/1/? type with the refusal of queuing. Part 2. Theflow of cancelled from service orders.pdf Рассмотрена система массового обслуживания, в которой на вход поступаетпростейший поток заявок с параметром λ. Время обслуживания имеет экспонен-циальное распределение с параметром μ. Пусть ri вероятность того, что данная за-явка, застав в системе i заявок, в очередь не становится и покидает систему. В ра-боте [1] рассмотрена система массового обслуживания с ожиданием и дисципли-ной обслуживания, заключающейся в том, что если поступающее требование за-стает в системе i заявок, то с вероятностью ri,0 ≤ ri ≤ 1, оно в очередь не стано-вится и покидает систему, а с вероятностью 1 − ri становится в очередь для ожи-дания обслуживания, завершив которое требование покидает систему. В первойчасти [1] этой работы изучались свойства выходящего потока заявок рассматри-ваемой системы массового обслуживания. Во второй части выполнено исследова-ние потока заявок, отказавшихся от обслуживания.1. Исследование потока уходящих требованийДля исследования потока потока уходящих требований введем обозначения:т(t) − число заявок, отказавшихся от обслуживания (поток уходящих требова-ний) в течение времени t;i(t) − число заявок в системе в момент времени t.Для рассматриваемой системы массового обслуживания (СМО) процесс т(t)немарковский, поэтому рассмотрим случайный процесс {i(t),т(t)}, который явля-ется двумерной цепью Маркова, поэтому для его распределения вероятностей( , , ) { ( ) , P i m t =P i t =i m(t) =m}при i > 0 можно записать равенства [1,2]1( , , ) ( , , )[1 (λ μ) ] ( , 1, )λ( 1, , )λ (1 ) ( 1, , )μ ( ),iiP i m t t P i m t t P i m t t rP i m t t r P i m t t o t−+Δ = − + Δ + − Δ ⋅ ++ − Δ⋅ − + + Δ+ Δ (1)откуда получаем1( , , )(λ μ) ( , , ) λ ( , 1, )λ(1 ) ( 1, , ) μ ( 1, , ).iiP i m tP i m t rP i m ttr Pi mt Pi mt−∂= − + + − +∂+ − − + + (2)При i = 0 аналогично можно получить0(0, , )λ (0, , ) λ (0, 1, ) μ (1, , ).P mtP m t r P m t P m tt∂= − + − +∂(3)Обозначив0( , , ) ( , , ) jummH i u t e P i m t∞== Σ , (4)получим для этих функций систему уравнений01(0, , )λ (0, , ) λ (0, , ) μ (1, , ),( , , )(λ μ) (, , ) λ (, , ) λ(1 ) ( 1, , ) μ ( 1, , ),jujui iH utH ut re H ut H uttH i u tH i u t re H i u t r H i u t H i u tt−∂= − + +∂∂= − + + + − − + +∂которую для удобства перепишем в виде0 0(0, , )λ(1 ) (0, , ) λ ( 1) (0, , ) μ (1, , ) juH utr H u t r e H u t H u tt∂= − − + − +∂,1( , , )λ(1 ) ( 1, , ) [λ(1 ) μ] (, , )μ ( 1, , ) ( 1)λ ( , , ).i ijuiH i u tr H i ut r HiuttH i u t e rH i u t−∂= − − − − + +∂+ + + −Вводя вектор-строку( , ) { (0, , ), (1, , ),..H u t = H u t H u t .} ,перепишем эту систему в матричном виде( , )( , ){ λ( 1) } H u t juH u t Q e rt∂= + −∂, (5)где r − диагональная матрица с элементами ri по главной диагонали, а матрица Q− трехдиагональная инфинитезимальная матрица процесса гибели и размноженияi(t), введённая в первой части [1].Для дифференциально-матричного уравнения (5) начальное условие, как и вслучае потока обслуженных заявок, возьмём в видеH(u,0)=R=H(0,t),где R− вектор-строка стационарного распределения вероятностей в цепи Марковапроцесса i(t), удовлетворяющий условиям RQ = 0, RE = 1. Он был найден ранее в[1].Таким образом, для вектор-строки H(u, t) имеем следующую задачу Коши:( , )( , ){ λ( 1) },( ,0) ,H u t juH u t Q e rtH u R∂ ⎧ = + − ⎪⎨∂⎪⎩ =(6)решение которой однозначно определяет характеристическую функцию величиныm(t) равенством{ } ( ) M (, ) ejum t =Hu t E, (7)где E - вектор-столбец, составленный из единиц.2.Метод моментовОбозначив вектор-строку101 ( ,)( )uH u tm tj u =∂=∂,из (6) получим11( )( ) λdm tm t Q R rdt= + .Так как1 M{ ( )} m t =m (t)E,то 1M{ ( )}( ) λ λ ,d mtm t QE RrE RrEdt= + = (8)и, следовательно, 1 M{m(t)}=λRrE⋅t = κ t. (9)Здесь 10κ λ λ () iiRrE r R i∞== = Σ .Упростим это выражение. В процессе вывода стационарного распределенияR(i) было получено соотношение1 λ(1 ) ( 1) μ ( ) ir Ri Ri−− − = .Отсюда λ () λ () μ ( 1) ir R i = R i − R i + .Суммируя по i, получаем0 0 0 1λ () λ () μ ( 1) λ μ () λ μ(1 (0)) ii i i sr R i R i R i R s R∞ ∞ ∞ ∞= = = =Σ = Σ − Σ + = − Σ = − − ,так что1 κ =λ−μ(1−R(0)), M{m(t)} = [λ − μ(1− R(0))] ⋅ t . (10)Заметим, что выполняется соотношениеM{n(t)}+M{m(t)}=λt ,что вполне естественно.3.Решение задачи (6) методом преобразования ФурьеВведём преобразование Фурье по t от вектор-функции H(u, t):0( , ) ( , ) . j t Y u e H u t dt∞α α =∫ (11)Тогда00 0( , )( , ) ( , ) ( , ) j t j t j tttH u te dt e H u t H u t d e R j Y ut∞ ∞∞α α α=∂= − = − − α α∂ ∫ ∫и уравнение (5) принимает вид( , ) ( , ){ ( 1)λ} ju −R− jαY uα =Y u α Q+ e − r .Его решение:1( , ) λ λ ju Y u R r Q j I e rα =⎡⎣ − − α − ⎤⎦− ={ }11 (λ ) (λ ) λ ju R r Q j I I e r Q j I r−− = − −α⎡⎣− − −α ⎤⎦ =11 1 (λ ) λ (λ ) ju R I e r Q j I r r Q j I−− − =⎡⎣− − −α ⎤⎦ − −α =1 10(λ ) λ (λ )jum mmR e r Q j I r r Q j I∞− −== Σ ⎡⎣ − − α ⎤⎦ − − α .В силу (4) и (11) для преобразования Фурье от P(m, t) имеем1 1 1( , ) (λ ) λ ( ) .2j t m P m t e R r Q j I r r Q j I Ed∞− α − −−∞=π ⎡⎣ − − α ⎤⎦ λ − − α α ∫ (12)Численная реализация этих формул достаточно проблематична, так как требу-ет обращения бесконечных матриц и нахождения значений несобственных инте-гралов, поэтому рассмотрим приближенное решение задачи (6) асимптотическимметодом при условии растущего времени t.4. Решение задачи (6) асимптотическим методомв условии растущего времениПусть Т − некоторая достаточно большая величина, для которой будем пола-гать, что Т → ∞.Условие t = τT, где 0 ≤ τ < ∞, будем называть асимптотическим условием рас-тущего времени [4].Асимптотикой первого порядка для характеристической функции{ } ( ) ( , ) M jum t H u t ⋅E = eчисла событий m(t), наступивших в потоке необслуженных требований за время t,будем называть функцию h1(u, t) вида1 1 h(u,t) =exp{juκ t},где константа κ1 определена выше и имеет вид1 κ =λRrE=λ−μ(1− R(0)).5. Асимптотика второго порядкаДля построения асимптотики второго порядка в уравнении задачи (6){ } ( , )( , ) λ( 1) H u t juH u t Q e rt∂= + −∂выполним замену12 ( , ) ( , ) . ju t H u t H u t e κ= (13)Тогда для функции H2(u, t) получим уравнение{ } 22 1( , )( , ) λ( 1) κ H ut juH u t Q e r ju It∂= + − −∂,где I − единичная матрица. В этом уравнении, обозначив ε2 = 1/T, выполнив заменыt = u= w H u t = F w ε), (14)получим уравнение{ } 2 22 1( ,τ,ε)( ,τ,ε) ( 1)λ ε κ .τF u j wF u Q e r j w I ε∂ε = + − −∂(15)Это уравнение решим в два этапа.Этап 1. Решение F2(w,τ, ε) уравнения (15) запишем в виде22 2 2 F (w,τ,ε)= Φ (w,τ){R+ jεwf }+O(ε ) (16)и найдём вектор-строку f2, а скалярную функцию Φ2(w, τ) определим ниже на вто-ром этапе.Уравнение (15) перепишем в виде22 1 O(ε )=F(w, τ,ε){Q+jεwλr− jεwκ I} =2 1 =(R+jεwf){Q+jεw(λr−κI}=1 2 =RQ+ jεw{R(λr −κ I)+ f Q}=2 1 =jεw{f Q+R(λr −κ I)}.Отсюда получим, что вектор f2 является решением неоднородной системыуравнений2 1 f Q+R(λr−κ I) = 0. (17)В силу того, что Q - вырожденная матрица, на f2 для его однозначного опреде-ления можно наложить дополнительное условие. Наложим его в виде2f E = 0.Этап 2. Умножая дифференциально-матричное уравнение (15) на вектор Е,получим{ } 22 ε2 1( ,τ,ε)ε (, τ,ε) ( 1)λ ε κτF w j wE F w QE e rE jw E∂= + − − =∂232 1( ε )( ,τ,ε) ε (λ κ ) λ (ε )2j wF w j w r I E rE O⎧ ⎫= ⎨ − + ⎬+⎩ ⎭.Подставляя сюда разложение (16), получим равенство22 22 2 1( ,τ) ( ε )ε (, τ)( ε ) ε (λ κ ) λτ 2w j wRE w R j wf j w r I E rE∂Φ ⎧ ⎫=Φ + ⎨ − + ⎬=∂ ⎩ ⎭232 1 2 1( ε )( ,τ) ε (λ κ ) [ λ 2 (λ κ ) ] (ε )2j ww jwR r IE RrE f r IE O⎧ ⎫=Φ ⎨ − + + − ⎬+ =⎩ ⎭232 2( ε )( ,τ) {λ 2 λ } (ε )2j w=Φ w RrE + f rE +O ,из которого получим уравнение для скалярной функции 2Φ (w,τ):222 2( ,τ) ( )( ,τ) κ ,τ 2w jww∂Φ=Φ∂(19)где 2 2κ =λRrE+2λf rE. (20)Отсюда получаем, что функция Φ2(w, τ) имеет вид22 2( )( ,τ) exp κ τ2jww⎧ ⎫Φ = ⎨ ⎬⎩ ⎭.Подставляя это выражение в (16), получим22 2 2 ( ,τ,ε) ( ,τ){ ε } F w E= Φ w RE+ j wf E +O(ε )=22 22 2( )( ,τ) (ε ) exp κ τ (ε )2jww O O⎧ ⎫=Φ + = ⎨ ⎬+⎩ ⎭.Выполнив здесь обратные к (14) замены, получим22 2( ) 1( , ) exp κ2juH ut E t OT= ⎧⎨ ⎫⎬+ ⎛⎜ ⎞⎟⎩ ⎭ ⎝ ⎠.Подставляя это выражение в (13), получим1 122 221 2( ) 1= ( ) = ( ) = exp + =2( ) 1= exp + + .2jum(t) juk t ju juk tMe H u,t E H u,t Ee k t O eTjujuk t k t OT⎧ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎫⎨ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎬⎩ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎭⎧ ⎫ ⎛ ⎞⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎩ ⎭ ⎝ ⎠Функция22 1 2( )( )=exp +2juh u, t ju t t⎧ ⎫⎨ κ κ⎬⎩ ⎭будет являться асимптотикой второгопорядка.Здесь величина κ2 определяется равенством (20)2 2 1 2κ =λRrE+2λf rE =κ +2λf rE ,в котором f2 определяется системой (17), (18).Отсюда следует, что при больших t величина m(t) является асимптотическинормальной случайной величиной с М{m(t)} = κ1t и дисперсией D{m(t)} = κ2t.Очевидно, что если f2rE ≠ 0, то поток m(t) не является пуассоновским, таккак нарушено необходимое условие М{m(t)} = D{m(t)} пуассоновского распреде-ления.6. Вычисление вектора f2Обозначим через с вектор-строку 1 c=R(κ I−λr) . Тогда система (17), (18) при-нимает вид2 2 f Q=c, f E=0.В явном виде первое уравнение этой системы имеет вид0 2 2 −λ(1−r )f (0)+μf (1)−c(0)=0 ,0 2 1 2 2 λ(1−r )f (0)−[λ(1−r) + μ]f (1) + μf (2) −c(1) = 0, (21)…………………1 2 2 2 λ(1 ) ( 1) [λ(1 ) μ] ( ) μ ( 1) ( ) 0 i i r f i r f i f i c i −− − − − + + + − = ,………………… .Суммируя первые i уравнений этой системы, получим0 2 2 λ(1 ) (0) μ (1) − −r f + f −c(0)=0 ,1 2 2 −λ(1−r)f (1)+μf (2)−c(0)−c(1)=0, (22)11 2 2ν 0λ(1 ) ( 1) μ ( ) (ν) 0iir f i f i c−−=− − − + −Σ = ,………………… .Отсюда получаем рекуррентное соотношение для f2(i):12 1 2ν 01( ) ρ(1 ) ( 1) (ν).μii f i r f i c−−== − − + Σ (23)Если обозначить1ν 01(ν) ( )μic bi−=Σ = , то дальнейший вывод буквально повторяетвывод явного выражения для вектора f. Поэтому1 1 12 20 ν 1 ν( ) (0)ρ (1 ) (ν) (1 ) ( )i i iik kk kf i f r b r b i− − −= = == Π− +Σ Π− + ,1 11 ν 1 ν2 11 0(ν) (1 ) ( )(0)1 ρ (1 )i iki kiiki kb r b ifr∞ − −= = =∞ −= =⎧ ⎫⎨ − + ⎬− = ⎩ ⎭+ −Σ Σ ΠΣ Π.Эти формулы позволяют, по крайней мере численно, вычислить κ2, а с ним идисперсию величины m(t).Заключение1. Исследован поток требований, получивших отказы. Получены точные фор-мулы для среднего числа событий в потоке.2. Методом асимптотического анализа, предложенным А.А. Назаровым [4], вусловиях растущего времени получены асимптотические выражения для матема-тического ожидания и дисперсии числа событий в уходящем (необслуженном)потоке.

Скачать электронную версию публикации