Algorithm for analysis of ensemble paths control systemssubjected to the random change of structure and jumps.pdf Под системами со случайной (переменной) структурой понимаются динамиче-ские системы, поведение которых на случайных интервалах времени характеризу-ется различными структурами и описывается различными уравнениями [1]. К сис-темам с переменной структурой относятся:- системы поиска, захвата и сопровождения сигнала;- системы, имеющие срыв управления или слежения;- системы с периодическим случайным повторением процессов поиска, захва-та, срыва управления;- системы управления, в которых связи между функциональными элементамименяются в зависимости от состояния (системы с переменной структурой управ-ляющего устройства);- системы с возможными нарушениями, в которых возможен случайный отказфункционирования некоторых цепей в случайные моменты времени.В настоящей работе рассматривается задача анализа многомерных нелиней-ных систем управления ансамблем траекторий [2, 3] при импульсных воздействи-ях и случайном изменении структуры. Для решения этой задачи применяется ме-тод статистического моделирования, который позволяет оценивать вероятностныехарактеристики выходных процессов, в том числе и плотность вероятности.1. Постановка задачи анализа нелинейных системуправления ансамблем траекторийРассмотрим процесс (y(t), s(t))T, где s(t) - дискретный случайный процесс с ко-нечным множеством состояний {1, 2,…,S}; S - число структур, а y(t) - d-мерныйслучайный процесс, описываемый при условии s(t) =l системой обыкновенныхдифференциальных уравнений (ОДУ):( )0 0dy(t) fl(t,y(t)), y(t ) y Rn,где t[t0,T]; f (l)(t,y) - вектор-функции размера d; l - номер структуры систе-мы, множество ƒ ограничено, оно характеризует неопределенность задания на-чальных данных [3].Вероятность перехода дискретного случайного процесса s(t) удовлетворяетследующим условиям [1]:P{s(t + ƒt) = r | s(t) = l, y(t) = y}= ƒlr(t, y)ƒt +o(ƒt),P{s(t + ƒt) = l | s(t) = l, y(t) = y}=1− ƒll(t, y)ƒt +o(ƒt) ,s(t0)=s0, l,r=1,2,...,S, lr,где функция ( , ) :[ 0, ] d [0, ]ƒlr t y t T R   называется интенсивностью перехода,при этом1( , ) ( , )Sll lrr lt y t y= ƒ = ƒ ƒ .Это условие обеспечивает при любом фиксированном y  Rd отсутствие не-скольких переключений процесса s(t) за малый интервал времени ƒt . Предпола-гается, что в моменты переключения траектории процесса y(t) могут быть как не-прерывными (случай точного восстановления реализаций), так и иметь разрывы[1]. В последнем случае дополнительно задаются законы, определяющие величи-ну скачка в момент смены структуры. Например, в качестве такой характеристикиудобно взять ƒlr (t,y| y) (условную плотность вероятности смены вектора со-стояния из положения y в положение y, при переходе из l-й структуры в r-ю вмомент переключения t) или плотность вероятности ƒlr (t,ƒ) величины скачкаƒ = y − y . При точном восстановлении реализацийƒlr (t,y|y)=ƒlr (t,y−y) = ƒ(y−y) .Систему, описываемую соотношениями (1) и (2), можно рассматривать какстохастическую мультиструктурную систему с распределенными переходами(при отсутствии случайных возмущений, действующих на объект управления).Наиболее полной вероятностной характеристикой расширенного вектора со-стояния является упорядоченная совокупность взвешенных плотностей распреде-ления p*(l)(t,y) вектора состояния (здесь и в дальнейшем * означает, что отсутст-вует нормировка), удовлетворяющих следующему условию:*( )01( , ) 1, [ , ]dSll Rp t ydy t t T=ƒ  =  . (3)Взвешенные плотности распределения удовлетворяют системе обобщенныхуравнений Фоккера - Планка - Колмогорова [1]. Вероятность того, что в моментвремени t структура системы имеет номер l, т.е. s(t) = l, задается выражением( ) ( ) *( ) ( , ) , 1, 2...,dl lRP t = p t ydy l= S,а плотность вероятности p(l)(t,y) вектора состояния при условии s(t) = l связана сp*(l)(t,y) следующим соотношением:pl)(t,y)=P(l)(t)p(l)(t,y), l=1,2,...,S.Для безусловной плотности вероятности p(t, y) вектора состояния выполняется*( )1( , ) ( , )Sllp t y p t y== ƒили ( ) *( )1( , ) ( ) ( , )Sl llp t y P t p t y== ƒ .Задача анализа систем управления ансамблем траекторий состоит в нахож-дении ненормированных плотностей распределения p*(l)(t,y) вектора состоянияпо заданным функциям f (l)(t,y) , интенсивностям ƒlr (t,y) , законам поведениятраектории в момент смены структуры (плотностямƒlr (t,ƒ) ) и ненормированнымплотностям распределения *( )p0 l (t,y),l,r= 1,2,...,S.Наряду с нахождением функций p*(l)(t,y) можно рассматривать задачу нахо-ждения маргинальных плотностей вероятности и моментных характеристик век-тора состояния, а также задачу определения вероятностных характеристик време-ни перехода из одной структуры в другую [1-5]. Некоторые вероятностные харак-теристики и их оценки приведены в 3-м разделе статьи.2. Анализ систем управления ансамблем траекторийметодом статистического моделированияОпишем статистический алгоритм решения задачи анализа систем управленияансамблем траекторий. Статистический алгоритм должен в себя включать: чис-ленное решение ОДУ (1) некоторым численным методом [6], а также моделиро-вание моментов смены структуры, номера новой структуры и величинытервале (0,1) случайная величина, которая моделируется с помощью датчикапсевдослучайных чисел, например RAND [8]); если tk +1 >T, то tk +1 :=T;2) моделируем номер r (возможный номер новой структуры) с вероятностьюpr= ƒlr/ ƒl, rl, r = 1,2,…,S;3) решаем уравнение (1) для l-й структуры на интервале [tk,tk+1] численнымметодом с шагом h и находим yk +1 - вектор состояния системы в момент tk +1 , приэтом шаг должен быть согласован с интенсивностью перехода, напримерh≤0,1/ƒl ;4) k : = k + 1;5) проверяем условие смены структуры: моделируем равномерно распреде-ленную на интервале (0,1) случайную величину ƒ1 : если_ƒ1 ≤ ƒlr(tk,yk)/ƒlr , топереходим к п. 6, иначе переходим к п. 7;6) меняем номер структуры на r-й: sk := r ; если задано условие разрыва тра-ектории при переходе из l-й структуры в r-ю, то моделируется новая случайнаявеличина yk согласно плотности ƒlr (t,y| yk ) или величина скачка ƒ согласноплотностиƒlr (t,ƒ) , тогда yk:=yk+ƒ;7) еслиtk

Скачать электронную версию публикации