Stationary distribution invarianceof an open queueing network with temporarily non-active customers.pdf В теории массового обслуживания достаточно актуальной является проблемаисследования надежности обслуживающих узлов. Обслуживающий узел можетполностью или частично выходить из строя. В то же время могут терять свои ка-чественные характеристики и поступающие в узел заявки.В настоящее время большой интерес для исследователей представляют сетимассового обслуживания с временно неактивными заявками. Заявки в таких сетяхделятся на два класса. Первые могут обслуживаться узлами, вторые являются не-активными и не обслуживаются, скапливаясь в очередях узлов. Поступающие всеть потоки информационных сигналов позволяют заявкам менять свое состоя-ние: из неактивного переходить в состояние, когда они снова становятся пригод-ными для обслуживания, и наоборот. Как правило, основной интерес представля-ют характеристики стационарного функционирования таких сетей, в частностивид стационарного распределения вероятностей состояний.Неактивные заявки можно интерпретировать как заявки, имеющие некоторыйдефект, в результате которого они становятся непригодными для обслуживания.Действительно, при передаче данных в информационно-телекоммуникационныхсетях может возникнуть ситуация, когда пересылаемая заявка становится непри-годной для обслуживания в результате какой-либо поломки или сбоя в процессеее пересылки. Таким образом, результаты исследования стационарного функцио-нирования сетей массового обслуживания с временно неактивными заявками мо-гут представлять интерес с прикладной точки зрения.В работе [1] Г. Цициашвилли и М. Осиповой представлено исследование от-крытой сети массового обслуживания с неактивными заявками. Установлен видстационарного распределения вероятностей состояний в предположении, что дли-тельности обслуживания заявок распределены по экспоненциальному закону.В работах [2, 3] приведено исследование стационарного функционирования сетей,обобщающих модель из [1] на случай циркулирования заявок и сигналов различ-ных типов и поступления в сеть потоков неактивных заявок.Классическая сеть Джексона исследуется в предположении, что длительностьобслуживания заявки имеет показательное распределение. Однако на практике за-кон распределения длительности обслуживания заявки чаще всего отличается отпоказательного. Поэтому существует актуальная проблема разработки аналитиче-ского аппарата для исследования сетей массового обслуживания с произвольнымифункциями распределения времени обслуживания, привлекающая все большеевнимание исследователей [4-7].В настоящей работе представлено исследование открытой сети массового об-служивания с временно неактивными заявками. Предполагается, что длительно-сти обслуживания заявок распределены по произвольному закону. Устанавлива-ется инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний поотношению к функциональной форме распределений длительностей обслужива-ния заявок при фиксированных первых моментах.1. Инвариантность стационарного распределения состоянийоткрытой сети с временно неактивными заявкамиРассматривается открытая сеть массового обслуживания с множеством узловJ = {1,…,N}. Все заявки в сети подразделяются на обыкновенные, которые могутполучать обслуживание, и временно неактивные. В узлы сети извне поступаютнезависимые пуассоновские потоки заявок с интенсивностями ƒi и информацион-ных сигналов с интенсивностями ƒi и ƒi, iJ. Поступивший в i-й узел с интенсив-ностью ƒi информационный сигнал уменьшает количество обыкновенных заявокна единицу и увеличивает на единицу количество неактивных заявок; в случае от-сутствия в i-м узле обыкновенных заявок сигнал покидает сеть, iJ. Поступившийв i-й узел с интенсивностью ƒi информационный сигнал уменьшает на единицуколичество неактивных заявок, увеличивая на единицу число обыкновенных зая-вок; в случае отсутствия в i-м узле неактивных заявок сигнал покидает сеть, iJ.Обслуживания информационные сигналы не требуют. Обслуженная в i-м узле за-явка мгновенно с вероятностью pi,j переходит в j-й узел, а с вероятностью pi,0 по-кидает сеть , ,011, ,Ni j ijp p i j J=⎛ ⎞⎜⎜ + =  ⎟⎟⎝ ⎠ƒ . Не ограничивая общности, договоримсясчитать pi,i = 0, iJ.Состояние сети в момент времени t характеризуется векторомz(t) = ((n1(t), n1(t)),…, (nN(t), nN(t))),где (ni(t), ni(t)) - состояние i-го узла в момент времени t, iJ. Здесь ni(t) и ni(t) -число обыкновенных и соответственно неактивных заявок в i-м узле в моментвремени t, а общее число заявок в i-м узле равно ni(t)+ni(t), iJ. z(t) обладает счет-ным пространством состояний Z = {((n1,n1),…,(nN,nN))| ni, ni≥0, iJ}.Нумерация обыкновенных заявок в очереди каждого узла осуществляется от«хвоста» очереди к прибору, то есть если в i-м узле находится ni обыкновенныхзаявок, то заявка, которая обслуживается, имеет номер ni, iJ, а последняя заявкав очереди имеет номер 1. Неактивные заявки в очереди i-го узла нумеруются сле-дующим образом: заявка, последняя ставшая неактивной, имеет номер ni, iJ.Поступающий в узел iJ сигнал ƒi воздействует на обыкновенную заявку, имею-щую номер 1, которая становится неактивной заявкой под номером ni+1. Сигналƒi воздействует на неактивную заявку, имеющую номер ni, iJ, которая становит-ся обыкновенной заявкой под номером 1. Дисциплина обслуживания - LSFS-PR.Поступающая в узел iJ заявка начинает сразу обслуживаться и получает номерni+1, а вытесненная заявка сохраняет номер ni и становится первой в очереди надообслуживание. Предполагается, что в начальный момент времени временно не-активные заявки в сети отсутствуют.В работе [1] рассмотрен случай, когда времена обслуживания заявок распреде-лены по показательному закону, а дисциплина обслуживания - FIFO. В указаннойработе установлено, что при выполнении условийƒi< ƒi,iJ; (1)ƒiƒi < ƒiϕi,iJ, (2)процесс z(t) эргодичен, а стационарное распределение вероятностей состоянийпроцесса имеет видp((n1,n'1),..., (nN,n'N)) = p1(n1,n'1)...pN(nN,n'N), (3)где'( , ' )ni nii iii i ii iip n n⎛ƒ ⎞ ⎛ƒƒ ⎞= ⎜⎝ƒ ⎟⎠ ⎜⎝ƒϕ ⎟⎠, iJ, (4)- стационарное распределение вероятностей состояний i-го узла, iJ. (ƒi, iJ) -единственное положительное решение системы уравнений трафикаi i j j,ij Jpƒ = ƒ + ƒ ƒ , iJ. (5)Рассмотрим теперь случай, когда длительность обслуживания заявки в i-м узле -случайная величина с произвольной функцией распределения ( ', , ') Bi ni +ni xini+ni иматематическим ожиданием 1ƒ i, iJ. Тогда в общем случае процесс z(t) не явля-ется марковским, поэтому рассмотрим кусочно-линейный марковский процессƒ(t) = ( z(t),ƒ(t)), добавляя к z(t) непрерывную компоненту ƒ(t) = (ƒ1(t),…,ƒN(t)).Здесь ( ) ( ,1( ),..., , ' ( )) ƒit= ƒit ƒi ni+nit, где ƒi,k(t) - время, оставшееся до окончания об-служивания заявки, стоящей в момент времени t на k-й позиции в i-м узле, iJ.Введем обозначения( , ) ( , 1,1,..., 1,1 '1; 2,1,..., 2, 2 '2; ,1,..., , ' ) F z x=F z x x n+n x x n+n xN xN nN+nN=lim { ( ) , ,1( ) ,1,..., , ' ( ) , ' , ) t i i i ni ni i ni niP z t z t x + t x + i J= = ƒ < ƒ <  . (6)Функции F(z, x) будем называть стационарными функциями распределениявероятностей состояний кусочно-линейного процесса ƒ(t) = (z(t),ƒ(t)), посколькупри каждом фиксированном z функция F(z, x) в части непрерывных компонентпредставляет собой функцию распределения.Теорема. При выполнении условий (1) и (2) процесс ƒ(t) эргодичен, а стацио-нарные функции распределения вероятностей состояний F(z, x) определяются поформуламF(z,x)=p1(n1,n'1)...pN(nN,n'N)' ,'1 1 0(1 ( , ))i i i si iN n n xn ni ii sB s u du++= =ƒƒ ƒ  − , zZ, (7)где'( , ' )ni nii iii i ii iip n n⎛ƒ ⎞ ⎛ƒƒ ⎞= ⎜⎝ƒ ⎟⎠ ⎜⎝ƒϕ ⎟⎠, (8)здесь ƒi - единственное положительное решение системы уравнений трафика (5),iJ.Доказательство: Обозначим eiZ - вектор, все координаты которого нулевые,кроме (ni, ni) = (1, 0), eiZ - вектор, все координаты которого нулевые, кроме(ni, ni) = (0, 1), iJ.Рассмотрим процесс ƒ(t). При выполнении условий (1) и (2) в марковском слу-чае процесс z(t) эргодичен, тогда эргодичен при выполнении условий (1) и (2) ипроцесс ƒ(t), поскольку получается из z(t) добавлением непрерывных компонент.Строгое доказательство этого факта может быть проведено, если учесть, чтопроцесс ƒ(t) является регенерирующим. Действительно, функционирование сетисхематично можно представить как чередование периодов, когда сеть находится всостоянии «0» (в каждом узле сети нет заявок - вектор z(t) является нулевым), ипериодов занятости сети (в противном случае). Момент перехода сети в свобод-ное состояние является моментом регенерации. Далее доказательство сводится кприменению предельной теоремы Смита для регенерирующих процессов [7].Изменения состояния кусочно-линейного процесса ƒ(t) за счет поступлениязаявок или информационных сигналов будем называть спонтанными измене-ниями.Пусть h мало. Рассмотрим вероятность события{ ( ) , ,1( ) ,1,..., , ' ( ) , ' , }. P z t+h = z ƒi t +h < xi ƒi ni+ni t+h < xi ni+ni iJ (9)Это событие может произойти следующими взаимоисключающими способами:1. С момента t за время h не произошло ни одного спонтанного изменения иобслуживание ни в одном узле не закончилось. Вероятность этого равна{ ( ) , ,1( ) ,1,..., 0 , ' ( ) , ' 0 , } P z t = z ƒi t < xi hIni> ≤ ƒi ni+n i t < xi ni +n i +hIni > iJ 0 '01(1 ( ) ( )) i iNi i n i niI > I > h oh= − ƒ ƒ + ƒ +ϕ + . (10)Здесь IA - индикаторная функция множества A.2. За время h в i-й узел поступила заявка, других спонтанных изменений непроизошло, обслуживание ни в одном узле не закончилось, iJ.,1 ,1 0 , ' , ' 0,1 ,1 1 , ' 1 , ' 1 1, ' 0{ ( ) , ( ) ,..., ( ) , , ,( ) ,..., ( ) }( ()) ( ', ) ,0 1.k k k k k ki i i i i ii i ii k k n kn n kn n ni i n inn inn ni i i i i n n nP z t z e t x hI t x hI k J k it x hI t x hIh o h B n n x h I> + + >> + − + − >+ >= − ƒ < ≤ƒ < +  ƒ < ≤ƒ < +  ƒ + + +ƒ + + >= − + ƒ < ≤≤ ƒ < +   ,1( ) ,1,..., , ' ( ) , ' , , ' 1( ) , ƒj t . (15)7. И, наконец, за время h происходит не менее двух изменений состояния сети.Вероятность этого есть o(h).В силу вышесказанного имеем{ ( ) , ,1( ) ,1,..., , '( ) , ', } P z t+h = z ƒi t+h < xi ƒi ni+ni t+h < xi ni+ni iJ ={ ( ) , ,1( ) ,1,..., 0 , ' ( ) , ' 0 , } =P z t =z ƒi t ≤ƒi ni+n i t iJ 0 '01(1 ( ) ( )) i iNi i n i niI> I>hoh= − ƒ ƒ + ƒ +ϕ + +,1 ,1 0 , ' , ' 01{ ( ) , ( ) ,..., ( ) , , , k k k k k kNi k k n kn n kn n niP z t z e t x hI > + t x + hI > k J k i=+ƒ = − ƒ < ≤ ƒ < +  ,1 ,1 1 , ' 1 , ' 1 1, ' 0( ) ,..., ( ) }( ()) ( ', )i i i i i ii i ii i n i n n i n n ni i i i i n n nt x hI t x hIh o h B n n x h I> + − + − >+ >ƒ < ≤ƒ < +  ƒ + + + ƒ +,1 ,1 0 , ' , ' 01 1{ ( ) , ( ) ,..., ( ) ,, , ,k k k k k kN Ni j k k n kn n kn n ni jPzt z e e t x hI t x hIk J k i k j> + + >= =+ = − + ƒ < ≤ ƒ < +  ƒƒ,1( ) ,1,..., , ' ( ) , ' , , ' 1( ) , ƒj t k J k iƒi t I > h oh Fzx=⎛ ⎞−⎜ ƒ +ƒ +ϕ + ⎟ +⎝ ⎠ƒ+ƒ − + ƒ + +, ' 0, , ' 01 1, , ' 1( ,)( ', ) i i ij jj nj njN Nj ij i i i i i n n nj i i j j n n xF z e e xh pBn n x Ix+ =+ >= =  + +⎛ + − ⎞+ + ⎜ ⎟ +⎜⎝  ⎟⎠ƒ ƒ, ' 1,01 , ' 1 0( , )i i i ni niNiii i n n xF z e xh px+ += + + =⎛ + ⎞+ ⎜⎜⎝  ⎟⎟⎠ +ƒ ' 01( ',)( ())iNi i i niF z e e x h o h I >=ƒ + − ƒ + +01( ',)( ()) () iNi i i niF z e e x h o h I > o h=+ƒ − + ϕ + + . (19)Вычтем из обеих частей F(z, x), после чего оставшуюся ненулевой правуючасть разделим на h и устремим h к нулю. Таким образом, для F(z, x) справедливаследующая система дифференциально-разностных уравнений:0 '01( , ) ( ) i iNi i n i niF z x I > I >=ƒ ƒ + ƒ + ϕ =, '01 , ' , ' 0( , ) ( , )ii i i i i ni niNni i n n i n n xF z x F z x Ix x+>= + + == ⎜⎜⎝⎛⎜ −⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞ ⎟⎟⎠⎞⎟ +ƒ, ' 01( , ) ( ', ) i i iNi i i i in n iniF z e x B n n x + I >=+ƒ − + ƒ +, ' 0, , ' 01 1, , ' 1( ,)( ', ) i i ij jj nj njN Nj ij i i i i i n n nj i i j j n n xF z e e xp B n n x Ix+ =+ >= =  + +⎛ + − ⎞+ + ⎜ ⎟ +⎜⎝  ⎟⎠ƒ ƒ, ' 1,01 , ' 1 0( , )i i i ni niNiii i n n xF z e xpx+ += + + =⎛ + ⎞+ ⎜⎜⎝  ⎟⎟⎠ +ƒ ' 01( ',)iNi i iniF z e e x I >=ƒ + − ƒ +01( ',)iNi i iniF z e e x I >=+ƒ − + ϕ . (20)Разобьем эту систему уравнений на уравнения локального баланса следующимобразом:( , )( 0 '0) ( ' , ) '0 ( ' , ) 0 F z x ƒiIni> +ϕiIni> =F z+ei−e i x ƒiIni > +F z−ei+e i xϕiIni > ; (21), '0, ' 0 , '( , ) ( , )ii i i ni ni i ini n n x i n nF z x F z x Ix x+>+ = +⎛⎜⎜⎜⎝⎛⎜⎜⎝ ⎞⎟⎟⎠ − ⎞⎟⎟⎟⎠ =, ' 0, , ' 01, , ' 1( ,)( ', ) i i ij jj nj njNj ij i i i i i n n nj j i j n n xF z e e xp B n n x Ix+ =+ >=  + +⎛ + − ⎞= + ⎜ ⎟ +⎜⎝  ⎟⎠ƒ( , ) ( ', , ') 0 +F z−ei x Bini+ni xini+ni ƒiIni>; (22)ƒ =⎜⎜⎝  ⎟⎟⎠. (23)Покажем, что функции распределения F(z, x), определенные формулами (7) и(8), являются решением уравнений (21) - (23), а следовательно, и уравнений (20).Если ni >0, то подставляя (7) и (8) в уравнение (22), приводя подобные слагае-мые, деля обе части полученного соотношения на ( , ) ( ', , ') F z−ei x Bini+ni xini+ni ,получим уравнение трафика (5). Если ni = 0, то (22) превращается в тождество,iJ. Подставляя (7) и (8) в (23) и деля обе части на F(z, x), получим следствиеуравнения трафика ƒi = ƒi pi,0, iJ. И, наконец, подставляя (7) и (8) в (21), получаемтождество.Утверждение доказано.Под {p(z), zZ} будем понимать стационарное распределение вероятностейсостояний процесса z(t). Из теоремы с учетом равенства p(z) = F(z,+  ) , zZ вы-текает следующее утверждение:Следствие. При выполнении условий (1) и (2) процесс z(t) эргодичен, а егостационарное распределение вероятностей состояний {p(z), zZ} не зависит отфункционального вида распределений Bi(s, x), iJ, и имеет видp((n1,n'1),..., (nN,n'N)) = p1(n1,n'1)...pN(nN,n'N), (24)где pi(ni, ni) определяются по формулам (8).ЗаключениеИсследовано стационарное функционирование открытой сети массового об-служивания с временно неактивными заявками. Предусматривалась возможностьперехода заявки из обычного состояния в неактивное

Скачать электронную версию публикации