On term structure of yield rates. 3. The Duffie - Kan one-factor model.pdf Известно, что аффинные модели временной структуры доходности требуют,чтобы краткосрочная процентная ставка r(t) следовала случайному процессу, опи-сываемому стохастическим дифференциальным уравнениемdr(t) = (ƒr(t) + ƒ)dt + ƒr(t) + ƒ dW(t), ƒr(0) + ƒ > 0, (1)где ƒ, ƒ, ƒ и ƒ - константы; а W(t) - стандартный винеровский процесс. При этомрыночная цена риска ƒ(r) должна быть такова, чтобы ƒ(r) ƒ r + ƒ = ƒr + ƒ явля-лась аффинной функцией. Предполагается, что значения констант ƒ, ƒ, ƒ и ƒ обес-печивают существование стационарного решения уравнения (1). Если в уравне-нии (1) ƒ = 0, то получающуюся модель временной структуры доходности назы-вают моделью Васичека. Если же в уравнении (1) ƒ = 0, то аффинную модель вре-менной структуры называют моделью Кокса - Ингерсолла - Росса (модель CIR).Различие этих моделей состоит в том, что в первом случае процесс r(t) являетсягауссовым, а во втором случае r(t) имеет распределение гамма. Свойства времен-ных структур доходности в этих моделях были представлены в предыдущихстатьях [1, 2]. Здесь мы рассмотрим общий случай, когда все четыре параметра ƒ,ƒ, ƒ и ƒ отличаются от нуля. Статистический смысл параметров уравнения (1) сра-зу не виден, поэтому вместо этих параметров мы введем другие, при которыхуравнение с практической точки зрения удобнее трактуется:dr(t) = k(ƒ − r(t))dt + 2kD r(t) xx−ƒ −dW(t), r(0) > х. (2)Параметры уравнения (2) имеют следующий конкретный статистическийсмысл: ƒ − стационарное математическое ожидание краткосрочной процентнойставки r(t); D - ее стационарная дисперсия; х - параметр, имеющий смысл нижнейграницы процесса r(t), так что r(t) ≥ х для всякого t; согласно результатам В. Фел-лера [3, с. 173] эта граница является недостижимой сверху при (ƒ − x)2 > D; k - па-раметр, определяющий коэффициент автокорреляции процесса в видеƒ(ƒ) = E[(r(t) - ƒ)(r(t + ƒ) - ƒ)]/D = exp{- k|ƒ|}.Заметим, что в случае х = −  уравнение (2) порождает модель Васичека [4,с. 185], а в случае х = 0 уравнение (2) порождает модель CIR [5, с. 391]. На модельс произвольным (допустимым) значением параметра х при необходимости будемссылаться как на однофакторную модель Даффи - Кана (модель DK), которыерассмотрели ее многофакторный аналог [6, с. 383]. Функции временной структу-ры A(ƒ) и В(ƒ) для модели DK были найдены С. Коксом и Г. Медведевым [7, с.917]; детальный анализ однофакторной модели DK содержится в книге Г. Медве-дева [8, гл. 3].Соотношение между параметрами уравнений (1) и (2) устанавливаются оче-видным образом при сопоставлении уравненийk = - ƒ > 0, ƒ = -ƒƒ> 0, D = 2 2ƒƒ − ƒƒƒ> 0, х = -ƒƒ< ƒ.Коэффициенты аффинной структуры, связанные с рыночной ценой риска, оп-ределяются соотношением ƒ(r) ƒ r + ƒ = ƒr + ƒ. Используя это, можно написать,что ƒ(r) =( )rrƒ + ƒƒ= ( ) .( )rrƒ ƒƒ−ƒƒƒ +ƒ ƒƒОчевидно, если волатильность краткосроч-ной процентной ставки ƒ(r) стремится к нулю, то переходим к детерминирован-ному рынку, поэтому рыночная цена риска ƒ(r) (и премия за риск) должна стре-миться к нулю. Из приведенного равенства видно, что этот факт будет иметь ме-сто тогда и только тогда, когда справедливо равенство ƒƒ − ƒƒ = 0. Кроме того, вразличных моделях при анализе одной и той же реализации процесса краткосроч-ной процентной ставки необходимо также так установить значения коэффициен-тов ƒ и ƒ аффинной структуры в этих моделях, чтобы они обеспечивали, насколь-ко это возможно, одинаковый уровень рыночной цены риска. Естественно ожи-дать, что рисковая премия при краткосрочной процентной ставке, равной средне-му ее уровню в установившемся режиме, будет одинаковой для всех сравнивае-мых моделей. Кроме того, чтобы рисковая премия была положительной, необхо-димо выполнение условия ƒ(r) < 0 [5, с. 393]. Поэтому потребуем, чтобы для всехтрех рассматриваемых моделей ƒ(ƒ) = − ƒ , ƒ > 0. И выражение для ƒ(r) получает-ся следующим:ƒ(r) = (r)ƒƒƒ= rƒ ƒ+ƒ ƒ= r 1ƒ ƒ+ƒ ƒ= − r x.x−ƒƒ −1. Форвардная кривая и кривая доходностив однофакторной модели Даффи - КанаВ текущий момент времени t, когда r(t) = r, цена P(t, r, Т) бескупонной облига-ции, по которой в дату погашения Т выплачивается одна денежная единица, опре-деляется формулой [1]P(t, r, Т) = exp{A(Т − t) − rВ(Т − t)}. (3)В дальнейшем для краткости срок до погашения облигации будем обозначатьƒ = Т − t. Модели процентных ставок доходности, позволяющие выразить ценуоблигации P(t, r, Т) в виде (3), относятся к классу аффинных временных структурпроцентных ставок. Функции временной структуры A(ƒ) и В(ƒ) удовлетворяютобыкновенным дифференциальным уравнениямB = 1 − (k + ƒƒ)B(ƒ) − kDƒ − x[B(ƒ)]2, B(0) = 0; (4)A = − (kƒ + ƒƒx)B(ƒ) kDxx−ƒ −[B(ƒ)]2, A(0) = 0. (5)Решения этих уравнений выражаются в видеВ(ƒ) =1;1−ƒƒ⎛⎜ ƒ + ⎞⎟⎝ − ⎠Ve(6)A(ƒ) =x[B(ƒ)− ƒ]( x)2 [v ln(1vB( ))],Dƒ −− ƒ− + ƒ (7)где для краткости записи обозначено2kD ,xƒ =ƒ −(k )2 4kDxƒ = + ƒƒ +ƒ −, v=(ƒ −k− ƒƒ)/2, V=(ƒ +k+ ƒƒ)/ 2. (8)Заметим, что v + V = ƒ, vV = kD/(ƒ − x).Доходность до погашения у(ƒ) бескупонной облигации в рамках аффиннойструктуры выражается в видеу(ƒ)  rB(ƒ)− A(ƒ).ƒ(9)Для определенности заметим, что функции аффинной временной структурыA(ƒ) и В(ƒ) являются функциями одного аргумента только в рассматриваемом слу-чае постоянных коэффициентов уравнения (1). Форвардная ставка f(ƒ) определя-ется выражениемf(ƒ) = r dB( ) dA( )d dƒ ƒ−ƒ ƒ= y( ) dy( ).dƒƒ + ƒƒ(10)В дальнейшем взаимные свойства форвардной ставки и доходности до пога-шения будем исследовать как функции срока погашения ƒ в рамках аффиннойструктуры в зависимости от величин r, х и ƒ, которые будут рассматриваться какпараметры: r = r(t) - параметр состояния рынка в момент времени t; х - параметрмодели краткосрочной ставки; ƒ − параметр модели доходности. С практическойточки зрения имеет смысл исследовать свойства функций f(ƒ) и у(ƒ) только длянеотрицательных сроков погашения ƒ ≥ 0, неотрицательных значений кратко-срочной ставки r ≥ 0 и выполнении условия Феллера о недостижимости нижнейграницы процесса r(t): ƒ − х > D , т. е. х < ƒ − D .Для того чтобы получить явный вид функции у(ƒ), определяющей зависимостьдоходности от срока до погашения, достаточно подставить функции (6) и (7) в (9).Это приводит к выражениюу(ƒ) = x ( x) B( )r x k 1 ln(1 vB( )) .x V v+ ƒ − ⎡⎢⎣ ƒƒ ƒ−− + ⎛⎜⎝ − +ƒ ƒ ⎞⎟⎠⎤⎦⎥(11)Здесь уместно отметить, что функция В(ƒ), зависящая также от параметра х, играетосновную роль при определении как функций A(ƒ) и у(ƒ), так и функции f (ƒ). Со-гласно формуле (6), функция В(ƒ) является монотонно возрастающей и такой, чтоВ(0) = 0 ≤ В(ƒ) ≤ В() = V − 1, 0 ≤ ƒ ≤ . (12)Используя формулу (10) для форвардной ставки и уравнения (4) и (5) дляфункций A(ƒ) и В(ƒ), получаем следующее выражение для f (ƒ):f (ƒ) = r + (ƒ − x)[k В(ƒ) − В(ƒ)(V − v)(r − x)/(ƒ − x) − vV В(ƒ) 2 (r − x)/(ƒ − x)]. (13)Функции y(ƒ) и f (ƒ), которые определяются формулами (11) и (13), соответст-венно называются далее кривой доходности и форвардной кривой. Заметим, чтофорвардная кривая для модели Васичека и модели CIR была получена в другойформе в статье Е. Шлегла и Д. Соммера [9, с. 6], и там приведены некоторыесвойства для форвардных кривых. В некоторых литературных источниках имеет-ся информация о совместном поведении кривой доходности и форвардной кри-вой. Например, в книгах J. Hull [10, с. 83, 84], Z. Bodie, A. Kane и A. Marcus [11,с. 437], J. Campbel, A. Lo и A. MacKinlay [12, с. 398], K. Kortanek и V. Medvedev[13, с. 201] представлены графики поведения кривой доходности и форварднойкривой на отдельных периодах времени конечной продолжительности. Однако поэтим примерам нельзя представить в полной мере характер изменения кривых. Изэтих графиков, например, можно видеть, что с увеличением времени до погаше-ния различие между кривыми доходности и форвардными кривыми увеличивает-ся. Ниже будет показано, что это невозможно, по крайней мере, для моделей вре-менных структур аффинного классакосрочных ставок r(t), а следовательно, и кривых у(ƒ) и f (ƒ). Поэтому желательновыяснить, каким является минимальное значение границы х в модели DK, котороеобеспечивает положительность кривых доходности у(ƒ) и форвардных ставок f (ƒ).Необходимыми условиями для этого являются, например, такие: положительныйнаклон кривых у(ƒ) и f (ƒ) в окрестности точки ƒ = 0 при r = 0 и положительностьпредельного при ƒ   значения ставки f() = у()  f*(х)  у*(х), определяемогоравенством (14).Предельное при ƒ   значение f*(х) форвардной кривой (и кривой доходно-сти), определяемое формулой (14), является монотонно возрастающей функциейграницы х и на интервале [− , ƒ] принимает значенияf*(− ) = ƒ − (D + ƒ 2kD )/k ≤ f*(х) ≤ f*(ƒ) = ƒ.Таким образом, если kƒ ≥ D + ƒ 2kD , то предельное значение форварднойкривой f*(х) − положительное для всякого х < ƒ. Если выполняется неравенствоkƒ ≤ D + ƒ 2kD , минимальное значение х = х*, при котором f*(х) ≥ 0, определя-ется выражениемх* = − ƒ2 / 2 / 2 .2k kD kD kDD k kDƒ + ƒ + ƒ − ƒ− ƒ + ƒМногие авторы при анализе кривых доходности и форвардных кривых отме-чали, что эти кривые могут иметь максимумы. Найдем условия, при которых су-ществуют максимумы этих кривых, и определим их характеристики.Заметим, что из формулы (6) следует, что обратная функция В(ƒ) имеет видƒ(В) = [ln(1 + vB) − ln(1 − VB)]/ƒ. (15)В дальнейшем удобно рассматривать форвардную кривую f(ƒ) и кривую до-ходности у(ƒ) как сложные функции, зависящие от срока погашения ƒ только че-рез функцию аффинной структуры В(ƒ), т. е. у(ƒ)  Y(В(ƒ)) и f (ƒ)  F(В(ƒ)). Во-первых, это удобно, потому что интервал возможных значений функции В(ƒ) яв-ляется конечным согласно (12), в связи с чем свойства функций Y(В) и F(В) можноиллюстрировать наглядно с помощью графиков на всем интервале возможныхзначений сроков погашения ƒ. Во-вторых, как отмечалось в CIR [14, c. 57], функ-цию В(ƒ) можно рассматривать как меру дюрации, поскольку подобно стандарт-ной дюрации цены облигации по отношению к процентной ставке (в этом случаепо отношению к спот-ставке) она определяется формулой [P/r]/P = − B(ƒ).Из выражений (11), (13) и (15) получается, чтоY(B)  ln(( ) 1 )ln(1 ) ln(1 )x x k B k vB vVV vB VB+ ƒ − ⎛⎜⎝ + ƒ ƒ −+ −+ − ⎞⎟⎠; (16)F(B)  r + (ƒ − x)[kB − B(V − v) ƒ− vV В 2 ƒ]. (17)Если ƒ удовлетворяет неравенствамk /(V + v) ≤ ƒ ≤ k /( V − v),то форвардная кривая F(В) на интервале 0 ≤ В ≤ V −1 имеет максимум в точкеВ* = (kƒ − V + v) / 2vV, а максимальное значение функции F(В) вычисляется поформулеF(В*) = r + (ƒ − x)[k − ( V − v)ƒ]2 / 4vVƒ.Если параметр ƒ удовлетворяет неравенствуƒ < k /(V + v), (18)то кривая F(В) строго возрастает на интервале 0 ≤ В ≤ V −1. Если параметр ƒ удов-летворяет неравенствуƒ > k /(V − v), (19)то форвардная кривая F(В) строго убывает на интервале 0 ≤ В ≤ V −1. Так что длязначения краткосрочной ставки r, определяемого равенством ƒ = k /(V − v), макси-мум форвардной кривой встречается при В = 0 (при ƒ = 0), из чего следует, чтофорвардная ставка максимальна для коротких сроков погашения. Для значениякраткосрочной процентной ставки r, определяемого равенством ƒ = k /(V − v), мак-симум форвардной кривой встречается при В = V −1 (т. е. при ƒ = ), откуда следу-ет, что в этом случае форвардная ставка максимальна для длительных сроков по-гашения. Форвардная кривая F(В), определяемая выражением (17), является во-гнутой функцией. Ранее свойство вогнутости форвардной кривой было отмеченоБрауном и Шейфером [15, c. 566].Характер изменения кривой доходности у(ƒ)  Y(В(ƒ)) в зависимости от В(ƒ)является более сложным.Если параметр ƒ удовлетворяет неравенству ƒ ≥ (k/v) ln(1 + v/V), тогда криваядоходности Y(В) - вогнутая на интервале 0 ≤ В ≤ V −1. Если значение ƒ удовлетворя-ет неравенству (18), то кривая доходности Y(В) - выпуклая на интервале 0 ≤ В ≤ V −1.Если значение параметра ƒ удовлетворяет неравенствамk /( V + v) ≤ ƒ ≤ (k/v) ln(1 + v/V), (20)то кривая доходности Y(В) на интервале 0 ≤ В ≤ V −1 имеет точку перегиба Вп.Причем кривая доходности Y(В) - вогнутая на интервале 0 ≤ В < Вп и выпуклая наинтервале Вп < В ≤ V −1.Заметим, что при ƒ   для предельного значения кривой доходности (14)можно записать неравенствоy( ) x Y(V1) x k kln 1 vx x V v Vƒ− −  ƒ−− − = > ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠> ƒ.При выполнении этого неравенства кривая доходности Y(В) возрастает на ин-тервале 0 ≤ В ≤ V −1.Кривая доходности Y(В) имеет максимум на интервале 0 < В < V −1, если ƒудовлетворяет неравенствам(k/v) ln(1 + v/V) < ƒ < k /(V − v), (21)В этом случае кривая доходности Y(В) пересекает форвардную кривую F(В) вточке В0 (т. е. Y(В0) = F(В0)) и точка В0 является точкой максимума кривой доход-ности Y(В). При этом010( ) ( ), если0 ;( ) ( ), если .Y B F B B BY B F B B B V−< < < В* возрастаетY(В) > F(В) имеется пересечениев точке В0, В0 > В* Y(В) < F(В)На рис. 1 иллюстрируются взаимные свойства кривых F(В) и Y(В). Кривые нарис. 1 рассчитывались для значений параметров, представленных в табл. 2.Сплошными толстыми линиями изображены форвардные кривые F(В), а сплош-ными тонкими линиями - кривые доходности Y(В). Круглые маркеры отмечаютпредельные точки. Пунктирной линией изображен отрезок прямой, соединяющийпредельные точки. Интересно отметить, что производная dY(В)/dВ по абсолютнойвеличине при В  V −1 стремится к бесконечности, причем она положительная,если ƒ > (k/v) ln(1 + v/V), и отрицательная в обратном случае.Т а б л и ц а 2Значения параметров для кривых рис. 1k ƒ D x ƒ0,05 0,06 0,001 0,02 0,01Параметр r = r(t), вообще говоря, является случайным. Остальные параметрыдетерминированные. В [8, c. 61] показано, что процесс r(t) имеет стационарнуюплотность вероятностей p(r), которая является сдвинутой плотностью гамма с па-раметром сдвига x, параметром формы q и параметром масштаба c, т. е.p(r) = cq(r−x)q−1e−c(r−x) ƒ(q), x < r < ,где q = (ƒ − x)2 D, c = (ƒ −x)D>0. Поэтому имеется возможность рассчитатьвероятности появления той или иной формы кривых доходности при наблюдае-мом процессе краткосрочной ставки.На рис. 2 представлена иллюстрация того, каким образом нижний предельныйуровень влияет на характер взаимного положения форвардной кривой F(В) и кри-вой доходности Y(В). На рис. 2 сплошными толстыми линиями изображены фор-вардные кривые F(В), а сплошными тонкими линиями - кривые доходности Y(В).Значения параметров для кривых рис. 2 выбраны те же, что и в табл. 2 за ис-ключением параметра х, который принимает 5 различных значений, соответст-венно каждой паре кривых. Параметр r = 0,07. Нижняя пара кривых соответствуетзначению х = −  (модель Васичека). Выше показана пара кривых для х = − 0,01.Третья снизу пара кривых рассчитана для х = 0 (модель CIR). Далее следуют кри-вые для х = 0,03 и х = 0,05. Таким образом, для выбранных значений параметров сповышением нижнего предельного уровня х доходности увеличиваются.F(B), Y(B)0,0480,0490,0500,0510,00 0,25 0,50 0,75F(B), Y(B)B Br = 0,07; ƒ > k /(V − v) r = 0,05; (k/v) ln(1 + v/V) < ƒ < k /(V − v)B0,0420,0440,0460,0480,0 0,2 0,4 0,6 0,8 B0,0400,0420,0440,0460,0480,00 0,25 0,50 0,75F(B), Y(B) F(B), Y(B)r = 0,044; k /( V + v) ≤ ƒ ≤ (k/v) ln(1 + v/V) r = 0,042; ƒ < k /(V + v)Рис. 1. Четыре возможные вида кривых доходности Y(B)в сравнении с поведением форвардной кривой F(В)0,0350,0400,0450,0500,0550,0600,0650,0700,00 0,20 0,40 0,60 0,80 BF(B), Y(B)Рис. 2. Влияние нижнего предельного уровняна поведение форвардной кривой F(В) и кривой доходности Y(В)ЗаключениеДля однофакторной модели аффинной доходности Даффи - Кана найденыаналитические представления кривых доходности и форвардных кривых и ис-следованы их свойства, когда в качестве временной переменной используетсямера дюрации безрисковой ставки. Показано, что для всего многообразия пара-метров существует только четыре возможных вида кривой доходности. Для ма-лых сроков погашения актива доходность определяется, в основном, текущимуровнем безрисковой ставки, в то время как для очень продолжительных сроковдо погашения доходность определяется стационарным математическим ожида-нием безрисковой ставки. В связи с этим можно было бы ожидать, что влияниетекущего уровня безрисковой ставки на доходность будет с увеличением време-ни затухать. Однако это не так. Оказалось, что текущий уровень безрисковойставки существенным образом влияет на вид всей кривой доходности и фор-вардной кривой. Отметим также, что кривая доходност и форвардная криваястартуют при ƒ = 0 из одной точки и при ƒ   стремятся к одному и тому жепределу, что отличается от обычно принятой точки зрения, что с увеличением ƒэти кривые расходятся.

Скачать электронную версию публикации