On a combined estimating of the probability of failure-free operation for the full sample.pdf В теории надежности при анализе и статистическом оценивании вероятности безотказной работы (ВБР) объекта используются те или иные вероятностно-статистические модели случайной наработки элемента Х до первого отказа [1]. Выбор модели обусловлен наличием априорной информации о виде функции распределения F случайной наработки Х. Функция распределения может принадлежать как непараметрическому семейству F, так и параметрическому семейству G = {G(t;6),6c©} распределений наработки. Для новых объектов эта функция распределения, как правило, полностью неизвестна и поэтому для ее статистической оценки применяют непараметрическую оценку, построенную по результатам испытаний. Однако опыт исследователя позволяет ему выдвинуть некоторые априорные догадки о принадлежности F некоторому параметрическому семейству. Эта догадка может быть как верной, так и неверной. Возникает желание использовать имеющиеся знания о возможной параметризации распределения в непараметрических оценках с целью улучшения их свойств. В данной работе предлагается подход к построению комбинированных оценок в виде взвешенной суммы непараметрической оценки вероятности и заданной параметрической оценки вероятности. Обсуждаются проблемы, возникающие при реализации таких оценок на практике, анализируются асимптотические свойства, а также свойства при конечном объеме наблюдений путем имитационного моделирования. 1. Постановка задачи Пусть F(t) = Р{X < t}, t > 0, - функция распределения случайной наработки X. Запишем ВБР объекта, достигшего возраста t, в виде J( x; t, F) = 1 - F (t + x) = , (1) 1 - F (t) PF (At) где событие At+x = {X>t+x}, At = X>t. Имеется полная простая выборка Xb..., Xn объема n случайной наработки Х с FeF. Непараметрическую оценку ВБР (1) возьмем в виде - 1 - Fn (x +1) Р(В) J(x; t) =-^-- = , (2) 1 - Fn (t) Р( A) где Fn(t) = n 1 £ c (t - X), c(t) = {0: t0} - эмпирическая функция распредеi =1 ления, P ( ) - эмпирические вероятности, B = At+x, A = At . Пусть имеется предположение, что Fe G . В этом случае ВБР запишется в виде j (x; t, G) = 1 - G (t + x, 9) = Pe(A+x) =Y( x; t, 9), 0e®. (3) V ' 1 - G (t, 9) P9 (At) V ' W Назовем величину ¥(x;t,9) априорной догадкой. Задача состоит в построении оценки ВБР, учитывающей непараметрическую оценку (2) и априорную догадку (3) совместно. Рассмотрим разложение непараметрической оценки в окрестности истинных вероятностей Р(В) и Р(А) по формуле Тейлора с остаточным членом Rn(t, x) в форме Лагранжа для произвольных, но фиксированных t, x: J(x; t) = PF(A'+:) +(P(B) - P(B)) -(P(A) - P(A)) + Rn (t, x). (4) pf (At) P( A) P 2( A) Обозначим главную часть в (4) через Jg (x; t) = J (x; t, F) + -1- (P( B) - P( B)) - (P(A) - P( A)). (5) g P( A) P 2( A) Из (5) следует, что математическое ожидание и дисперсия главной части равны соответственно MFJ (x; t) = J(x; t, F), DFJ (x; t) = n^la2F, е 2 2(. t) P( B)( P( A) - P( B)) [1 - F (t + x)][ F (t + x) - F (t)] где ст F =CT F (x; t) =-3-=-3-. (6) P (A) (1 - F(t))3 Кроме того, из (5) вытекает, что при увеличении объема наблюдений n в силу центральной предельной теоремы последовательность Vw (Jg (x; t) - J(x; t, F)) ~ N (0, ct2f ), т.е. имеет асимптотически нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, определяемой формулой (6). Поскольку вторые производные в остаточном члене Rn(t, x) являются непрерывными функциями относительно Р(В) и Р(А), то в силу теоремы непрерывности (см. [2], глава 6) последовательность 4n Rn(t, x) слабо сходится к нулю. Отсюда следует, что и непараметрическая оценка (2) также имеет асимптотически нормальное распределение, т.е. ■Jn (J(x; t)-J(x; t,F))~N(0,c2F). 2. Комбинированная оценка Совместное использование непараметрической оценки (2) и априорной догадки (3) осуществим с помощью комбинированной оценки следующего вида: Jx (x; t) = (1 - X) J{ x, t) + XT (x; t, 9)) = J( x, t) - X (J{ x; t) - Y (x; t, 9)), (7) где X - коэффициент взвешивания, выбираемый из заданного критерия качества, x, t, 9 произвольные, но фиксированы. Поскольку определяющим элементом в асимптотическом поведении оценки (2) является ее главная часть, то выберем коэффициент X из условия минимума среднеквадратической ошибки (СКО) главной части SF (x; t, X) = MF [Jg (x; t) - X(Jg (x; t) - Y(x; t, 9)]2. (8) Минимизация выражения (8) по X приводит к оптимальному значению коэффициента 2 f Д2 V1 1 + n ^ 2 \ СТ F J Xo =Xo( x; t, F) = (9) ctF + пд F где c2f определяется формулой (6), а af = J(x;t,F) - Y(x;t,9) - величина смещения (отклонения) априорной догадки от истинного значения ВБР. Минимум СКО главной части удовлетворяет соотношению f ^ (10) nSF (x; t, Xo) = ctF (1 - X o) = ctF \ctF + nДF j Как показывают выражения (9) и (10), оптимальное значение Xo изменятся в пределах 0 < Xo < 1, а выигрыш в точности оценивания комбинированной оценки по сравнению с непараметрической оценкой характеризуется отношением 2— ( пД1 S2( x; t, Xo) F = F V o = (1 -Xo) = AJ (x; t) (1) \ctF + nДF j Формула (11) показывает, что чем F ближе к нулю, тем сильнее влияние априорной догадки на точность оценивания ВБР, и чем ближе F к единице, тем слабее это влияние. При AF = 0 имеем Xo = 1, F = 0, и в качестве оценки ВБР следует взять априорную догадку ¥(x;t,9). При AF Ф 0, что обычно и бывает на практике, Xo < 1 и с ростом объема наблюдений (n^-да) Xo^0, влияние априорной догадки уменьшается, выигрыш в точности оценивания убывает, F-^-1. 3. Адаптивные оценки Оптимальное значение Xo зависит от функции распределения F случайной наработки и, как правило, неизвестно. Это обстоятельство затрудняет применение комбинированной оценки (7) на практике и приводит к поиску тех или иных оценок X0 для Xo, при которых выигрыш в точности еще сохраняется. Комбинированные оценки (7) с X0 назовем адаптивными. В этом разделе мы рассмотрим некоторые из возможных оценок для Xo и приведем свойства получающихся при этом адаптивных оценок J{x; t, X0) = J{x; t) - X0 (J{x; t) - Y(x, t, 9)). (12) 1. Первая оценка Xo. Подставим в формулу (9) вместо неизвестной F эмпирическую функцию распределения Fn (или вместо неизвестных вероятностей Р - их эмпирические оценки Р ). Получим оценку X01 =(1 + пД2/СТ2 )-1, (13) где Д = Д(x;t) = J(x;t) -Y(x;t, 9) = РР°В) -Y(x;t,9), Р( A) ст2 = Р( B)( Р( A) - Р( В)) / Р\A). Л2 = (P(B) -TP(A))2 P(A) (14) (2 P(B)(P(A) - P(B)) " Пусть AF ф 0. Рассмотрим разность 4n (J(x; t, Х01) - J(x; t)) = 4n (J(x; t) - J(x; t)) - л/й— A. (15) Поскольку (13) и отношение (14) являются непрерывными функциями от P(A), P( B), то в силу состоятельности эмпирических вероятностей, по теореме непрерывности (см. [2], глава 6) следует, что для каждых фиксированных x, t при п—ж A 2 p aF - р i— - - p — ——F, Х01 —0, \/пХ01А —0. (J2 ctF Отсюда из (15) вытекает, что при AF ф 0 асимптотические распределения адаптивной оценки J(x;t, X01) и непараметрической J(x;t) одинаковы и совпадают, как установлено выше, с нормальным законом N(0,c2F). Пусть AF = 0. Тогда при п—ж в силу центральной предельной теоремы и теоремы непрерывности ([2], глава 6) случайная последовательность цп = ч/пА/(j стремится по распределению к стандартной нормальной случайной величине neN(0,1), а оценка Х01 сходится по распределению к случайной величине 1/(1+п2). Отсюда следует, что закон распределения случайной последовательности (J(x; t, Х01) - J(x; t)) yfn (J(x; t) - J(x; t)) Х01л/пД сходится к распределению случайной величины 5=П--^г = П6 N (0,1), 1 + n2 1 + n2 с математическим ожиданием M^ = 0 и дисперсией D£ = c2^ . 2. Вторая оценка Хо. Желание обеспечить сходимость оценки коэффициента Хо к единице при AF = 0 приводит ко второй оценке ; 1 1 > 2 Х02 =-— =---, а> 2. 1 + п |Д/ст| 1 + п 2 1^/пда/ Если AF ф 0, то при п—^ж Г /„ |а р I / ia - р г- - р LA/(( — AF/jF , Х02 — 0, л/пХ02A — 0. Отсюда следует, что асимптотические распределения оценок J(x;t, Х02) и J(x;t) одинаковы и совпадают с нормальным законом N(0,c2F). Если AF = 0, то при п—ж имеют место следующие сходимости по распределению случайных последовательностей: |у/пк/ст| сходится к случайной величине |п|а, оценка Хо2 - к единице, а л/й(J(x;t,Х02)- J(x;t))/(j = *JuA{1 -Х2)/(- - к нулю. Возможны и другие виды Х0 в адаптивных оценках (12), приводящих к новым свойствам. 4. Имитационное моделирование С целью выяснения качества предложенных в работе адаптивных оценок ВБР при конечных объемах выборок было проведено имитационное компьютерное моделирование при следующих условиях: 1. Выборки генерировались из экспоненциального закона распределения F(x) = 1 - exp(-9x) с параметром 9 = 1,0. Объемы n выборок изменялись в диапазоне от 5 до 125 с интервалом (шагом) равным 5. 2. Генерирование событий At и At+x проводилось при t = 0,10536, x = 0,5. При этом для каждой сформированной выборки соблюдалось условие: имеется хотя бы одно наблюдение с событием At , иначе выборка исключается из рассмотрения. 3. Сравнение СКО оценок с разной величиной смещения Д проводилось при изменении значений параметра 9 в диапазоне от 0,4 до 1,8 с интервалом (шагом), равным 0,2 и фиксированным объёмом выборки n = 15; 4. Для каждого значения n из заданного диапазона числовые результаты эксперимента рассчитывались по серии выборок объема K = 1000000 (с одинаковым объемом наблюдений n в каждой выборке); 5. Квадрат отклонения (ошибки) оценок от истинного значения S2 = (Jn, j - J)2, j = 13, где Jn1 - параметрическая оценка ¥(x;t,9), Jn,2 - непараметрическая оценка J(x;t), Jn,3 - комбинированная оценка J(x;t, X 01), J - истинное значение J(x,t,F). 6. Критерии оценки СКО, вычисленные по серии K выборок, б; = K | j, j = ^ где Q1 - оценка СКО для Y(x;t,9), Q2 - оценка СКО для J(x;t), Q3 - оценка СКО для J(x;t, X 01). 5. Результаты моделирования Результаты моделирования экспериментов представлены на рис. 1 и 2. Дадим краткий комментарий результатов. Эксперимент 1. Цель эксперимента - оценка и анализ изменения СКО комбинированной оценки J(x;t, X01) по сравнению с непараметрической в условиях конечных объёмов выборки n. Параметрической оценкой была взята величина Y(x;t,9) с СКО равной нулю. Выигрыш СКО определялся только свойствами комбинированной оценки. На рис. 1 по горизонтальной оси указан объём выборок n, а по вертикальной оси - величина Q оценок СКО непараметрической и комбинированной оценок. Из рисунка виден почти двукратный выигрыш СКО комбинированной оценки по сравнению с непараметрической уже при n > 5. Этот выигрыш сохраняется и при увеличении объёмов выборок за пределы диапазона условий моделирования, что подтверждает теоретические результаты. Эксперимент 2. Цель эксперимента - оценить изменение выигрыша СКО комбинированной оценки J(x;t, X01) по сравнению с оценкой СКО непараметрической оценки при изменении величины 9 . Эксперимент проведён при фиксированном объёме выборок n = 15. Q Рис. 2. Зависимости оценок СКО параметрической (сплошная линия), комбинированной (штрих-пунктирная линия) и непараметрической (пунктирная линия) оценок от смещения параметра 0 (истинное значение 0 = 1) при объёме выборки n = 15 Q 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 \ 1 Рис. 1. Зависимости оценок СКО непараметрической (пунктирная линия) и комбинированной (штрих-пунктирная линия) оценок от объёма выборок n 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 n 0,04 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0 На рис. 2 по горизонтальной оси указана величина параметра 0. По вертикальной оси указана величина Q оценок СКО параметрической (сплошная линия), непараметрической (пунктирная линия) и комбинированной (штрих - пунктирная линия) оценок. Все кривые статистически значимо различаются на уровне значимости < 0,05, за исключением областей пересечения кривых. Рисунок демонстрирует, что при 0 = 1 СКО параметрической оценки равно нулю, а оценки СКО непараметрической и комбинированной оценок соответствуют величинам, представленным на рис. 1 при n = 15. При смещении параметра 0 в меньшую или большую сторону от 0 = 1 выигрыш СКО комбинированной оценки плавно уменьшается по сравнению с оценкой СКО непараметрической оценки. При значениях 0 < 0,5 и 0 > 1,7 выигрыш отсутствует. Однако уменьшение оценки СКО и выигрыша происходит значительно медленнее, чем у параметрической. Поэтому при значениях 0,5 < 0 < 0,7 и 1,4 < 0 < 1,7 выигрыш СКО комбинированной оценки имеет место и по сравнению с оценкой СКО параметрической оценки, что подтверждает преимущества комбинированных оценок. Преимущества комбинированных оценок подтверждаются и для J(x;t, Х02) и в других экспериментах, не представленных в данном пункте. Заключение В работе предложены статистические комбинированные оценки для ВБР объекта, в которых используется знание исследователя о возможных параметрических моделях функций распределения наработки до отказа или самой ВБР. Оценки являются взвешенными суммами непараметрических и параметрических оценок ВБР. Найден оптимальный коэффициент взвешивания и показано, что при любом конечном объеме выборки комбинированные оценки являются более точными по критерию СКО главных частей оценок. Однако применение таких оценок на практике затруднено незнанием оптимального коэффициента взвешивания. В работе приведены две оценки таких коэффициентов и построены адаптивные комбинированные оценки ВБР. Результаты имитационного моделирования показали, что при конечных объемах выборок адаптивные оценки имеют меньшее СКО по сравнению с непараметрической оценкой. Результаты моделирования, представленные на рисунках, получены с помощью кластера Межрегионального вычислительного центра ТГУ СКИФ Cyberia (skif.tsu.ru). Авторы выражают благодарность сотрудникам Центра за оказанную помощь.

Скачать электронную версию публикации