Calculation of the ruin probability of an insurance company when claim size distribution is exponential with a shift.pdf Исследованию математических моделей страховых компаний, в том числе вероятности разорения (выживания) компании, посвящено большое количество работ. В некоторых случаях удается получить вероятность разорения в виде точного выражения [1-7]. Как правило, такие результаты получены в случае экспоненциального распределения величины страховых выплат как наиболее простого и доступного для исследования. Недостатком этого распределения является то, что наибольшую вероятность имеют выплаты, близкие к нулю, что недостаточно хорошо соответствует реальной ситуации. В представленной работе рассматривается модель страховой компании с распределением выплат, не имеющим этого недостатка. 1. Постановка задачи Рассмотрим следующую модель страховой компании: поступление капитала в компанию за счет страховых взносов детерминировано и имеет постоянную скорость c , страховые выплаты образуют пуассоновский поток постоянной интенсивности X, размеры страховых выплат независимы и имеют одинаковое распределение с плотностью п(x) и начальным моментом 1-го порядка шх. В литературе такая модель называется классической моделью страховой компании [6-8]. Возьмем в качестве плотности распределения величины выплаты ' x - x0 -e 9 , если x > x0, (1) п( x) = v 0, если x < x0, где x0 > 0 . Распределение с этой плотностью будем называть экспоненциальным со сдвигом. 2. Вычисление вероятности разорения страховой компании Обозначим P(S) вероятность разорения компании при уровне капитала S. Известно [6, 7], что P(S) удовлетворяет уравнению S " | P(S - x)n(x)dx + | п(x)dx cP'(S) -XP(S) + X и граничному условию = 0 (2) lim P(S) = 0 . (3) S ^ад Применяя операционный метод [9], можно показать [6, 7], что если выполняется условие нормального функционирования компании c > Xm1 , (4) то задача (2), (3) имеет единственное ограниченное решение, причем его изображение (преобразование Лапласа) P (р) = j P( S )e~ ^dS имеет вид P (р) = ---cz^rn—. (5) р ср -X(1 -n (р)) где П(р) - изображение п(x). Чтобы найти вероятность разорения компании P(S), нужно найти оригинал функции P(р). Если страховые выплаты имеют экспоненциальное распределение со сдвигом (1), то m, = x0 +6 , П (р) = - 1 + 6р (4) и (5) принимают вид с >X(x0 +6), (6) 1 (л X( x0 +6) P(р) = --11 - v 0 ' I-—-— . (7) р \ с ) XX e рС0 р--+ -с с 1 + 6р Раскладывая дробь, стоящую в правой части (7), в ряд по степеням e имеем ^x0 Р(р) =1 -(1 -X^M + £ (-1)п (АГ 1 t 1 е~прх0 I, (8) р I с Др-а Чсб) (р-а)п+1 (р + Р)п J'W X R 1 где а = —, р= — . с 6 При достаточно большом x0 ряд в (8) сходится в области Re p > x0 (точка p = а в эту область не входит), то есть правая часть (8) является изображением [9]. Вычисляя обратное преобразование Лапласа [9], получаем X( x0 +9) П 0 Xleax (S _ nx0 _ х)П 1 e-p(S_nxo_x) dx J n! (n _ 1)! P(S) = 1 _|1 _ .. Г s_ X 1(S_nx0) k(9) [ n=1 где 1( x) - единичная функция [9] если x > 0. je- +S(_!)„ , ■ft 1(x) ' 0, если x < 0. Заметим, что при фиксированном S сумма в правой части (9) содержит лишь конечное число слагаемых. 3. Асимптотическое поведение вероятности разорения страховой компании при больших значениях капитала Исследуем поведение функции (9) при больших значениях S. Известно [7, 9], что при S ^ ж P(S)~ res P(p)epS, (10) p= Р0 где p0 - особая точка P(p), имеющая наибольшую вещественную часть. Таким образом, возникает вопрос о расположении на комплексной плоскости особых точек функции (7). Известно [6, 7], что особенность функции (5) в точке p = 0 устранима. Это используется при выводе формулы (5), но может быть легко проверено непосредственно. Представим (7) в виде - = 1 _ (c_Х(xp +9))(1 + 9p) p (1 + 9p)(cp _X) + Xe~px° и введем обозначения z = px0, kx = , k2 = - . Тогда знаменатель второй дроби, стоящей в правой части (11), принимает вид Xf (z), где f (z) = (1 + kjz )(k2 z _ 1) + e~z, (12) а условие нормального функционирования компании (6) принимает вид k2 > 1 + k . Из курса математического анализа имеем, что если k2 > 1 + kx, то функция (12) имеет два вещественных нуля, тривиальный z = 0 и отрицательный. Обозначим этот нуль x1 (см. рис. 1). f (x)* Рис. 1. График функции f (x) Покажем, что если k2 > 1 + k1, то функция (12) не имеет нулей в полуплоскости Re z > 0 и полосе x1 < Re z < 0 , имеет единственный нуль z = 0 на прямой Re z = 0 и единственный нуль z — x1 на прямой Re z = x1. Достаточно рассмотреть верхнюю полуплоскость Im z > 0. Пусть z — x + iy . Тогда уравнение f (z) = 0 равносильно системе уравнений (13) |kjk2(x2 -y2) + (k2 -kj)x-1 + e xcosy — 0, [2kjk2xy + (k2 - kj)y - e~x siny — 0. Докажем, что в области x > x1, y > 0 система (13) решений не имеет. Пусть x > 0, y > 0 . Представим второе уравнение в системе (13) в виде e (2^k2 x + k2 k1) — sin y y (14) Из предположений и курса математического анализа имеем sin y ex (2k1k2 x + k2 - k1) > k2 - k1 > 1 > y поэтому равенство (14) выполняться не может. Следовательно, точка (x, y) не является решением системы (13). Пусть x1 < x < 0, y > 0. Тогда f (x) < 0 (см. рис. 1), поэтому k1k2(x2 - y2) + (k2 - k1)x -1 + e~x cos y < k1k2 x2 + (k2 - k1)x -1 + e~x — f (x) < 0, то есть в системе (13) не выполняется первое равенство, точка (x,y) решением системы (13) не является. Таким образом, наибольшую вещественную часть среди особых точек функx, ции (7), кроме точки p — 0 , имеет точка p0 — —. Это полюс первого порядка, поx этому [9] ^ (c -Цx0 +9))(1 + 9p) p Л 2c9p + c -X9-Xx0e~px0 res P(p)epS — p—p0 px0 — x1 Следовательно, при S ^го (С - xq + 0))(xq + 8Xj ) P(S )■ xxq(6 + xq e 1) - c( xq + 20Xj) где x1 < Q - отрицательный нуль функции (12). На рис. 2 представлены графики функций (9) и (15) при значениях параметров хо = 2 . P(S)-0,7: 0,60,50,40,30,2. 0,1c = 1Q , Х = 2, 0 = 1, -Вероятность разорения -Асимптотика вероятности разорения Q 0 123456789 S Рис. 2. Вероятность разорения страховой компании и ее асимптотика Заключение В работе операционным методом получено точное решение уравнения для вероятности разорения компании в случае выплат, имеющих экспоненциальное распределение со сдвигом. Исследовано расположение на комплексной плоскости особых точек изображения (преобразования Лапласа) вероятности разорения компании и получена ее асимптотика при больших значениях капитала.

Скачать электронную версию публикации