Nonparametric measurement of random signals characteristics and problems of theirs results interpretation and application.pdf Словосочетание «непараметрические измерения» является производным от термина математической статистики «непараметрическое оценивание». Под непараметрическим понимают оценивание характеристик случайных элементов (величин, векторов, функций), при котором не известна (или известна, но не используется) модель оцениваемой функционной или числовой характеристики и/или случайного элемента [1, с. 631; 2, с. 338; 3, с. 134]. Иногда такое оценивание называют свободным от распределения, т.е. от той модели распределения, которой подчиняются выборочные значения случайного элемента [4, с. 628-629], или, в общем виде, свободными от аналитического описания характеристик и/или моделей [3, с. 134]. Однако при этом остаются открытыми те вопросы, которые, как правило, не ставятся при непараметрическом оценивании и, что особенно важно, при непараметрических измерениях. Среди них такие, например, как: «Насколько корректным является такое оценивание (измерение)?», «Насколько корректным являются интерпретация и применение результатов оценивания, особенно измерения?». Ведь измерение является целью для измерителя и только лишь одним из первичных этапов решения различных практических и теоретических прикладных и исследовательских задач. Цель настоящей работы - рассмотрение именно этих вопросов. 1. Необходимые определения Для однозначности восприятия материала определимся с используемыми понятиями. Прежде всего обратим внимание на такие разные понятия, как случайные сигналы и случайные элементы (величины, векторы, функции), а также измерение и оценивание. Под сигналами будем понимать внутриобъектные физические носители информации, мгновенные значения которых представляют собой различные физические величины [3, с. 34]. Случайные сигналы - те из сигналов, которые можно описать вероятностными моделями, т.е. такие, физическая основа (суть) и условия экспериментального восприятия которых подчиняются требованиям применимости вероятностно-статистического аппарата. В качестве моделей случайных сигналов и их отсчетов (временных, пространственных и т.п.) могут быть, например, модели случайных элементов, в том числе заданные в виде стохастических интег-ро-дифференциальных, конечно-разностных и т.п. уравнений. Что касается случайных элементов, то это объекты математики. Иными словами, случайные элементы могут рассматриваться лишь как математические образы (модели) случайных сигналов-оригиналов. Из разных определений измерения (см., например, [5, с. 13]) будем использовать только количественное, понимая под измерением установление соответствия значениям физических величин, характеризующих состояние некоторого материального объекта, значений числового множества из заданной числовой измерительной шкалы. Иными словами, измерение как процесс есть последовательность физических действий, связанных с сопоставлением физической величины с некоторой мерой (единицей измерения) и подсчетом (отсчетом, снятием) количества мер, укладывающихся в размере этой физической величины. В отличие от измерения оценивание есть последовательность математических операций (действий), направленных на вычисление по выборочным значениям (реализациям) случайного элемента эмпирических значений искомой характеристики (этап 1-й - получение эмпирических характеристик) и принятие (обоснование, приравнивание) их в качестве приближенных значений оцениваемой характеристики генеральной совокупности (ГС), т.е. характеристики модели, которой мы пытаемся описать эту генеральную совокупность. При параметрическом или смешанном [3, с. 171] оценивании эта модель ГС или только модель искомой характеристики представляются в аналитическом (формальном) параметрическом виде. При непараметрическом - в виде набора чисел (для числовых характеристик), таблиц «аргумент - значение функции» или графиков для функционных характеристик. В теории оценивания, как разделе математической, в том числе прикладной, статистики, физическая природа исходного числового множества (x,,...,xN), выборочных значений ГС xi, i = 1,N, xi = (xi,,xi2,...,xin) не рассматривается. Это рассмотрение есть предмет внимания прикладного специалиста3 (физика, биолога, инженера, экономиста, ...), который в первом приближении в качестве выборочных значений ГС xi, i = 1, N, принимает результаты первичных измерений мгновенных значений (4,,..., 4 N) 4г- = (|п, §г2,..., ^in) сигналов, статистического обследования и т.п. В этом случае оценивание представляет собой набор вычислительных операций над результатами первичных измерений - мгновенных значений сигналов в процессе косвенных измерений4 искомых характеристик случайных сигналов. При более тщательном подходе исходные данные (4,,.., 4 N) первичных измерений ставятся в соответствие выборочным значениям ГС (x,,..., xN) с учетом их метрологических (в частности, точностных) показателей и условий (в том числе используемых модельных представлений) получения 4N). Этот момент в дальнейшем рассматривать не будем. Иными словами, измерения есть совокупность физических, математических и логических операций, в то время как оценивание - это последовательность только математических и логических операций. Оценивание может быть составной частью косвенных статистических измерений. Еще одна важная особенность измерений - обязательное сопровождение их результатов метрологическими показателями качества (что, кстати, зачастую отсутствует) и условиями получения, подтверждающими как достоверность результатов измерения, так и сведения об области их применимости. 2. Цели и задачи непараметрических измерений Как уже упоминалось, измерение не является, как правило, самоцелью. Его результаты далее обязательно используются их пользователями для достижения каких-то своих целей, решения задач, поставленных ими. От того, какие это задачи, зависит выбор измеряемых характеристик, показателей их качества, условий измерения и т.п. Это ключевой момент планирования, организации и проведения измерений. Рассмотрим, какие это могут быть задачи. Прежде всего обратим внимание на назначение измерений, т.е. на те цели, для достижения которых требуются измерения каких-то характеристик с таким-то качеством. Это такие, например, цели как гносеологические (получение научных знаний), когнитивные (познавательные), логистические (образовательные), идентификационные (описательные), созидательные (проектные), коммуникабельные, управленческие, метрологические, экспериментально-имитационные и т.д. В свою очередь, в каждом из этих направлений используемые, построенные с помощью измерений модели исследуемых объектов могут выполнять разные функции: передаточные, измерительные, описательные, объяснительные, интерпретаторские, предсказательные, критериальные и т.д. Например, результаты измерения корреляционно-спектральных характеристик случайных сигналов могут применяться для идентификации динамических систем, определения и предсказания их реакций; идентификации и установления идентичности трактов распространения сигналов; локализации источников шумов и вибраций; выявления скрытых периодичностей и шероховатостей; решения диагностических задач; определения временных задержек и построения на этой основе корреляционно-экстремальных систем, измерителей скоростей бесконтактными методами; оценки качества звуковых полей в закрытых помещениях; выделения слабого сигнала на фоне помех; выявления роли и значимости отдельных источников звука или вибраций, их скоростей и видов и т.п. Все это требует тщательного выбора как измеряемых характеристик, так и требований к качеству результатов измерений и условиям их получения. 4. Проблемные вопросы 4.1. Стационарность и эргодичность Для конкретизации рассмотрим только измерение собственных и взаимных характеристик q(k) случайных сигналов 4(t) временного аргумента t или оценивания их аналогов - характеристик Q(k), к = (Х1,..., Хк), случайных процессов X(t) = (X, (t),..., Xn (t)) (или временных рядов, если t - дискретно), с помощью которых описывается 4(t). Первая проблема, которую мы рассмотрим, учет (или неучет) класса X(t), т.е. модельное отнесение его к стационарным или нестационарным, эргодическим или неэргодическим (в смысле сходимости траекторных характеристик к совокупным или ансамблевым по вероятности, почти наверное или в среднем квадратическом) по отношению к характеристике ). Посмотрим, что при этом может получиться, если мы будем непараметрически оценивать Q(X) (или измерять q(X)), не учитывая класс X(t). Предположим, что для этого используется траекторная оценка по реализации x(t) (по |(t)) при t е [0,T]. Допустим, необходимо описать физический объект, работающий в течение интервала времени Г = [t,, t2 ], t2 -t, = T < да, на основе модели стационарного случайного процесса X(t). Возможны два принципиально отличных подхода к такому описанию. Первый связан с использованием стационарной модели X (t) = Хш (t), для которой по определению t е (-да, да). Следовательно, данный подход основан на предпосылке, что если бы объект существовал при всех t еГ = (-да, да), то он сохранил бы свойство стационарности и, следовательно, мы вправе выбрать такое большое T ^да , при котором краевые эффекты не сказываются, т.е. перейти к пределам t, ^ -да, t2 ^да. Хотя об этом явно нигде не говорится, фактически почти во всех исследованиях по статистическим измерениям, а в большинстве случаев и в исследованиях по оцениванию, по статистике случайных процессов постулируется именно этот подход. Второй подход основан на использовании финитных моделей хГ (t), Г = [t,,t2 ], 11, |, 112 |

Скачать электронную версию публикации