On term structure of yield rates. 6. The three factor model.pdf Напомним, что для n-факторной модели аффинной доходности предполагается, что вектор состояния финансового рынка X(t) = (Xb X2, ..., ХИ)Т следует однородному по времени марковскому процессу, порождаемому стохастическим дифференциальным уравнением dX(t) = |(X(t)) dt + a(X(t)) dW(t) с n-вектором дрейфа |(x), (яхда)-матрицей волатильности a(x), и m-вектором W(t) независимых стандартных винеровских процессов [1]. При этом вектор дрейфа |(х) и матрица диффузии ст(х)ст(х)Т должны быть аффинными функциями относительно переменных x, а рыночные цены риска такими, что ct(x)X(x) - n-вектор с аффинными компонентами относительно переменных x: n n |(x) = K(9 - x), ст(х)ст(х)Т = a + ^ P.x,, a(x)X(x) = + ^ ЧЛ. (1) i=1 i =1 Здесь K, a и р,- - (пхп)-матрицы; 6, и п. - n-векторы, xi - компоненты вектора x. Эти свойства для n-факторной модели аффинной доходности приводят к следующим обыкновенным дифференциальным уравнениям для функции А(т) и компонент вектора В(т) = (Bi(x), В2(т), Bn(x)), т - срок до погашения: А'(т) = й - К6)ТВ(т) + В(т)Та В(т)/2, A(0) = 0; (2) Д'(т) = ф, - В(т)Т(п,- + K) - £(т)Тр, В(т)/2, B(0) = 0. (3) В уравнении для В(т) символ K, обозначает i-й столбец матрицы K, 1 < i < n. Кривая доходности у(т, х) и форвардная кривая /т, х) определяется через функции А(т) и В(т) по формулам у(т, X) = хТВ(т) - А(т), /(т, X) = XT dB(T) - dA(T). т d т d т Отправным пунктом нашего анализа является однофакторная модель Даффи -Кана [2]: dr(t) = к(е - r(t))dt + A2kDr(t)-X dW(t), r(0) > x, (4) v е-x в которой параметры е и D будут предполагаться диффузионными процессами e(t) и D(t). 1. Стохастическая волатильность процесса 9(0 В этом случае уровень 9, к которому возвращается процентная ставка r(t) (в однофакторной модели он совпадает с ее стационарным средним), рассматривается как стохастический процесс диффузионного типа 9(t), подобный процессу краткосрочной ставки одномерной модели r(t), но с фиксированным уровнем возвращения е0 и волатильностью, зависящей только от стохастической дисперсии D(t). Процентная ставка r(t) имеет волатильность, также пропорциональную D(t). Поскольку процессы r(t) и 9(t) в этом случае не являются процессами «с квадратным корнем», то их нижняя граница не определяется (или, что эквивалентно, нижняя граница этих процессов удаляется в минус бесконечность). dr(t) = kr(9(t) - r(t))dt + yj2krD(t) dWr(t); (5) de(t) = ke(90 - e(t))dt + ^2keD(t) dW^t); (6) dD(t) = kD(V- D(t))dt + ^2kDS D(t) X dWD(t), D(0) > x > 0. (7) V - x Здесь x - нижняя граница для процесса дисперсии D(t) процентной ставки; V -стационарное среднее процесса дисперсии D(t), а S - стационарная дисперсия процесса дисперсии D(t). Для удобства записи в дальнейшем изложении удобно ввести обозначение 5 = kDS /(V - х). Уравнения (2), (3) в этом случае приобретают вид А'(т) = - кееве(т) - (kDV + 2Xdх5)В0(т) - 5хВ0(т)2, A(0) = 0; В;(т) = ф, - кгВг(т), Br(0) = 0; Ве'(т) = фе + кгВг(т) - кеВе(т), Ве(0) = 0; BD' (т) = - (kD + 2Xd 5)BD(т) - 2ХгкгВг(т) - 2стХекеВе(т) - кВХт)2 -- сткеВе(т)2 - 5BD(т)2, BD(0) = 0. Заметим, что функция А(т) не зависит от функции Вг(т) и определяется интегрированием, если функции Ве(т) и В^т) будут найдены. Второе и третье уравнения для Вг(т) и Ве(т) легко решаются: Вг(т) = фг (1 - e"krт) /кг; Вг(т) ^ ф Дг при т ^ да. Ве(т) = 1 + T^—e^ + к9) e~кет; Ве(т) ^ 1/ке при т ^ да. (8) ке kr ке ке (ке kr) При получении этих решений было учтено, что из экономических соображений [5] весовой коэффициент фд должен быть равен нулю, фд = 0, а фг + ф6 = 1. Что касается уравнения для Bd(t), то оно является уравнением Риккати с переменным свободным коэффициентом, что не позволяет выразить его решение в аналитическом виде и его приходится решать численно. Однако предельное значение функции Bd(t) при т ^ да может быть выражено аналитически в виде -(kD + 2X D 5) + J (kD + 2X D 5)2 - 45(2Xr фг +ф2 / kr + 2стХ6 +ст / k6) ^(да) = -—- . 25 Заметим, что этот предел будет существовать только в том случае, если параметры модели удовлетворяют неравенству (kD + 2XD 5)2 > 45(2Хгфг + фr2/kr + 2ctX6 + (kD + 2X D 5) + V(kD + 2X^)2^-45(2Xr^+^7k^ + 2^x6 + CT/k~) Это неравенство также следует рассматривать как условие, накладываемое на параметры уравнения (7), чтобы обеспечить разумные результаты для долгосрочных доходностей. В этом случае в качестве варьируемого параметра модели можно выбрать стационарное среднее V процесса D(t). Когда при описании динамики процентной ставки используется нейтральная к риску вероятностная мера (Xr = 0, X6 = 0, XD = 0), неравенства (9) и (12) существенно упрощаются: g = kDS V-x 4 Ф2 /kr +CT/k V kD 1 0; (14) V e0 - xe dD(t) = kD(V- D(t))dt + \2kDS D(t) Xd dWD(t), D(0) > хг > 0. (15) V - xD Заметим, что в этой модели процессы 6(t) и D(t) являются независимыми диффузионными процессами «с квадратным корнем». Свойства таких процессов подробно исследованы в литературе. Для того чтобы нижние границы х6 и хг процессов 6(t) и D(t) были недостижимыми, т.е. чтобы эти процессы не принимали отрицательных значений, необходимо выполнение условий Феллера (60 - х6) > ст2 и (V - хг)2 > S. Уравнения для функций временной структуры А(т), Вг(т), В6(т) и Вг(т) в этом случае составляют систему А'(т) = - (k660 + 2^x6^) - (krV + 2№ъ)Вг(т) - 5xDBD(т)2- YXeBe(т)2, А(0) = 0; в;(т) = фг - krBr(z), Br(0) = 0; В6 (т) = ф6 + krBr(т) - (k6 + 2^)В6(т) - YB6(т)2, В6(0) = 0; (16) BD (т) = - (kD + 2Xd 5)Вг(т) - 2XrкrBr(т) - kB^)2 - 5Вг(т)2, Bd(0) = 0, (17) где для краткости обозначено 5 = kDS /(V - xD), y = keCT2 /(60 - xe). Решение уравнения для функции Вг(т) найти легко: Вг(т) = фг (1 - kr т) / kr; Вг(т) ^ фr/kr при т ^ да. Функции А(т), В6(т) и Вг(т) могут быть определены только численно. Заметим, что функция А(т) не зависит от Вг(т). Предельные значения функций В6(т) и Вг(т) определяются выражениями В6(да) = 2 V(k6+ 2y^6 )2 + 4Y + (k6+ 2Y^6 )' Вг(да) = - , 2(2Xrфг +ф2/kr) _. (17) 4(kD + 25XD )2 - 45(2Xrфг +ф2 /kr) + (kD + 25XD) Для того чтобы предельное значение Вг(да) существовало, необходимо, чтобы параметры модели удовлетворяли неравенству (kD + 2Xd 5)2 > 45(2Хгфг + ф^). (18) Кривые доходности у(т, r, 6, D) и форвардные кривые fx, r, 6, D) определяются через функции А(т), Вг(т), В6(т) и Вг(т) по формулам У(т, r, 6, D) = Y(Br(т), В6(т), Вг(т)) = = kr[A (т) - гВг(т) - 6В6(т) - ГВг(т)]/1п[1 - krBr(т)/фr]; (19) /т, r, 6, D) = F(Br(%), В6(т), Вг(т)) = гфг + 6ф6 - (r - 6 + 2XrD)krBr(т) -- [ka(6 - 60) + 2yx6(6 - Xe)]Be(т) - [(kdD - V) + 2xd 5(D - XD)]BD(т) - - krDB(т)2 - y(6 - xe)Be(t)2 - 5(D - XD)BD(т)2. (20) Предельные свойства этих кривых такие: при т ^ 0 обе кривые стремятся к одинаковому пределу y(0, r, 6, D) = /(0, r, 6, D) = гфг + 6ф6; при т ^ + да обе кривые также стремятся к общему пределу у(да, r, 6, D) = /(да, r, 6, D) = = ke(60 - X6)B6(да) + kr( V - x)Bd(x>) + xe - xo(2X^r + фr2/kr). Для того чтобы этот предел был положительным, необходимо выполнение нера (21) венства ke(Bo - Xe)Be(xi) + Xe - Хо(2Хгфг + фг lkr) > - ko(V- x)Bd(x>). Неравенства (18) и (21) определяют область значений параметров {S, V} уравнения (15), гарантирующих существование и положительность предельных значений доходностей при т ^ + да. К сожалению, запись этих неравенств в явной форме довольно громоздка, поэтому приведем явную форму только для случая, когда при описании динамики процентной ставки используется нейтральная к риску вероятностная мера (Xr = 0, Xe = 0, XD = 0) k k2 D 4ф2 kDS V - Хо 5 = kr (ko WkD - 45ф2 lkr) ( 2ke (e0 Xe) V < xd + Хд + Vke ke + + 4y 2kD фг На рис. 2 представлены графики функций Y(Br) и F(Br), вычисленные по формулам (19) и (20), характеризующие доходности трехфакторной модели (13) - (15) с ключевыми параметрами, соответствующими найденным Д. Аном и Б. Гао [6]. 0,08 -| 0,06 0,04 - ---Y -F * Т О Предельное значение 0,02 -1*1 ♦—♦ ♦ ♦ ♦ ♦ I ♦ ■ 4 —I B 0 3 Рис. 2. Кривые доходностей Y(B) (штриховые линии) и форвардные кривые F(B) (сплошные линии) в случае, когда параметры принимали те же значения, что и на рис. 1, и дополнительно xe = 0,033. Круглый маркер показывает предельное значение, одинаковое для обоих кривых. Ромбовидные маркеры показывают метки реального времени Т через каждый год для первых 10 лет, а далее - через 5 лет 3. Гауссовский процесс 0(f) Такая модель близка к модели BDFS [7], где уровень e, к которому возвращается процентная ставка r(t), рассматривается как стохастический процесс e(t) диффузионного типа, подобный процессу краткосрочной ставки одномерной модели r(t), с фиксированным уровнем возвращения e0 и фиксированной волатиль-ностью. Оба другие уравнения системы (5) остаются прежними: Dr(t) = kr(e(t) - r(t))dt + ,j2krD(t) dWr(t); (22) (23) de(t) = ke(e0 - e(t))dt ^2kea2 dWe(t); dD(t) = kD(V- D(t))dt + 2kDS D(t) - xd dWD(t), D(0) > xD > 0. V V - xd Модель (22) - (24) фактически является частным случаем модели (13) - (15), когда нижняя граница процесса 6(t) удаляется на - да, x6 ^ -да. При этом y ^ 0, Yx6 ^ - k6CT2. Если учесть эти изменения, то получается следующая система уравнений для функций временной структуры А(т), Вг(т), В6(т) и Вг(т): А' (т) = - ke(60 - 2Х6СТ2)В6(т) - (krV + 2»г)Вг(т) - 5xDBD(т)2 + keCT^)2, А(0) = 0; (25) Br' (т) = фг - kB^), Br(0) = 0; Be'(т) = ф6 + krBr(z) - ke В6(т), Be(0) = 0; BD (т) = - (kD + 2XD 5)Вг(т) - 2XrkrBr(z) - krBr(т)2 - 5Вг(т)2, BD(0) = 0. Второе и третье уравнения решаются аналитически, как это показано выше; их решения представляются формулами (8). Предельное значение решения третьего уравнения при т ^ +да существует, если выполняется неравенство (18). Особенность этой модели состоит в том, что процесс 6(t) является гауссовским и порождается уравнением, совпадающим с тем, которое известно как модель Васичека. Поэтому все особенности этой модели проявляются здесь. В частности, последнее слагаемое в правой части уравнения (25) для А(т) оказывается положительным и возрастающим с увеличением т, так что при т ^ +да производная А' (т) может стать тоже положительной. Но поскольку предельные доходности определяются именно производной функции А(т), так как у(да, r, 6, D) = /(да, r, 6, D) = - А' (да), они могут стать отрицательными, что будет противоречить экономическому смыслу доходности. Отсюда возникает еще одно ограничение на волатильность процесса 6(t) для этой модели: ст2 < ke[60 + (krV + 2xd5Xd)Bd^) + 5XdBd^)2 ]/(1 + 2keXe). (26) Кривые доходности у(т, r, 6, D) и форвардные кривые/(т, r, 6, D) определяются через функции А(т), Вг(т), В6(т) и Вг(т) по формулам У(т, r, 6, D) = Y(Br(т), В6(т), Вг(т)) = = ^[А (т) - гВг(т) - 6В6(т) - ГВг(т)]/1п[1 - krBr(т)/фr]; (27) /(т, r, 6, D) = F(Br(т), В6(т), Вг(т)) = = гфг + 6ф6 - kr(r - 6 + 2ХгГ)Вг(т) - ke(6 - 60 + 2Х6ст2)В6(т) -- [(kD(D - V) + 2XD5(D - xD)]BD(т) - krГBr(т)2 - k^B^f - 5(D - xD)BD(т)2.(28) Предельные свойства этих кривых такие: при т ^ 0 обе кривые стремятся к одинаковому пределу y(0, r, 6, D) = /(0, r, 6, D) = гфг + 6ф6; при т ^ + да обе кривые также стремятся к общему пределу у(да, r, 6, D) = /(да, r, 6, D) = 60 + kD(V - xD)BD(да) - x^r(^r + 2krXr)/kr. Здесь величина Вг(да) вычисляется по формуле (17). Поскольку Вг(да) - величина отрицательная, для достижения положительной доходности необходимо также, чтобы выполнялось следующее неравенство, ограничивающее сверху стационарную дисперсию V процесса D(t): kr(V- XD)|BD(да)| < 60 - x^fyг(фr + 2krXr)/kr. (29) Выполнение перечисленных условий обеспечивает существование положительных предельных значений кривых у(т) и /(т) при т ^ +да. Вместе с тем значения параметров модели будут обеспечивать ее работоспособность в полной мере, если будут выполняться также неравенства у(т) > 0 и /(т) > 0 для любых т > 0. К сожалению, записать эти неравенства в явной форме не удается, поскольку аналитический вид функции Bd(t) не определяется. Однако можно сказать, что для выполнения неравенств у(т) > 0 и _Дт) > 0 для любых т > 0 нужно ограничить сверху во-латильность процесса D(t), иначе говоря, установить верхнюю границу для параметра S, что удается сделать только численно. На рис. 3 представлены графики функций Y(Br) и F(Br), вычисленные по формулам (27) и (28), характеризующие доходности трехфакторной модели (22) - (24) с ключевыми параметрами, соответствующими найденным Д. Аном и Б. Гао [6]. Рис. 3. Кривые доходностей Y(B) (штриховые линии) и форвардные кривые F(B) (сплошные линии) в случае, когда параметры принимали те же значения, что и на рис. 1, и дополнительно ст = 0,003. Круглый маркер показывает предельное значение, одинаковое для обоих кривых. Ромбовидные маркеры показывают метки реального времени Т через каждый год для первых 10 лет, а далее - через 5 лет. Заключение Здесь, а также в предыдущих статьях [3, 5], последовательно рассмотрены модели аффинных доходностей с различным числом факторов. С увеличением числа факторов модели и их анализ существенно усложняются, и получение результатов в аналитической форме становится невозможным. Численный анализ также усложняется, поскольку число параметров моделей растет. Поэтому всестороннего сравнения моделей, их преимуществ и недостатков в рамках статьи осуществить не удается. Приводится только характер доходностей для одного набора параметров, найденных Д. Аном и Б. Гао [6] при обработке реальных финансовых данных. Более широкое сравнение моделей предстоит еще сделать в будущем. В табл. 1 сведены данные о том, какие и сколько параметров используется для построения рассмотренных моделей. Тип модели обозначен двумя цифрами: первая Таблица 1 Параметры, использующиеся в моделях с различным числом факторов Тип модели Факторы Параметры Количество параметров kr e0 Dr Xr ke De ko V S XD 1 1 r + + + + 4 2 1 r, e + + + + + + 6 2 2 r, D + + + + + + 6 3 1 r, e, D + + + + + + + + 8 3 2 r, e, D + + + + + + + + + 9 3_3 r, e, d + + + + + + + + 8 цифра означает число факторов, а вторая - номер раздела соответствующей статьи, в котором эта модель анализируется. Плюс обозначает использование параметра в соответствующей модели. В интервале изменения времени до погашения т от нуля до бесконечности кривые доходности у(т, r, e, D) и форвардные кривые f (т, r, e, D) для всех моделей стартуют из общей точки - текущего значения спот-ставки r(t) = r и стремятся к соответствующим пределам, зависящим от параметров модели, но не зависящим от значений текущего уровня переменных состояния r, e, D. Эти предельные значения в общем случае определяются не только параметрами, указанными в таблице, но и наборами весовых коэффициентов {ф} и параметров цен риска (X), что заметно усложняет формулы. Однако если считать, что краткосрочная ставка доходности актива определяется только спот-ставкой r (т.е. Фг = 1, Фв = 0, фо = 0), стохастические процессы r(t), e(t) и D(t) нейтральны к риску (т.е. Xr = 0, Xe = 0, XD = 0), а нижние границы для процентной ставки и ее дисперсии равны нулю (xr = 0, xd = 0), то формулы для вычисления доходностей сильно упрощаются. В табл. 2 приводятся их явные аналитические выражения при этих предположениях. В первой строке табл. 2 приводятся обозначения моделей, во второй - формулы для соответствующих предельных доходностей, а в третьей строке - результаты вычислений по этим формулам для оценок параметров, найденных в [6]. Таблица 2 Предельные значения доходностей 1 2 1 2 2 3 1 3 2 3 3 kM^ keBe("»)e0 e0 - ko |BD(»)|V e0 - ko Bo(«>)|V keBe(ro)e0 -- kn |BDM|V e0 - ko |Bd«I|V 0,061991 0,051994 0,053899 0,031849 0,021274 0,049687 Заметим, что предельные значения доходностей могут рассматриваться как доходности долгосрочных ценных бумаг и что они не зависят от текущего значения переменных состояния r, e, D, а зависят только от параметров модели. Заметим также, что функции Bb(t) и Bd(t) для различных моделей вычисляются по различным формулам и имеют различные предельные значения Be(o>) и BD(x). Из табл. 2 видно, что для рассмотренного числового примера предельные значения доходностей уменьшаются с увеличением числа факторов. Более обоснованные выводы могут быть сделаны после исследования доходностей во всей допустимой области десятимерного пространства параметров. Кроме того, предстоит сравнительное исследование взаимного поведения кривых доходностей и форвардных кривых во всем интервале 0 < т < да сроков до погашения актива во всей допустимой области параметров.

Скачать электронную версию публикации