The comparison of maximum likelihood estimation and method of moments estimation of dead time value in a generalized asynchronous flow of events.pdf Настоящая статья является продолжением исследований обобщенного асинхронного потока событий (далее - поток), начатых в статьях [1-5]. Изучаемый поток относится к классу дважды стохастических потоков событий, интенсивность которых есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний, и является одной из адекватных математических моделей информационных потоков сообщений, функционирующих в ЦСИО [6]. Этот класс потоков принято называть МС - потоками либо МАР - потоками событий. В [7] приведена классификация МС-потоков событий и установлена связь между МС-потоками и МАР-потоками событий. Наиболее полная литература по изучаемым типам МС-потоков приведена в [8]. В реальных ситуациях функционирование систем массового обслуживания, в частности ЦСИО, осложнено тем, что последнее, как правило, происходит в условиях частичной либо полной неопределенности относительно параметров или состояний информационных потоков сообщений. В таких ситуациях наиболее рациональным является применение адаптивных систем массового обслуживания, которые в процессе функционирования оценивают неизвестные параметры либо состояния входящих потоков событий и изменяют дисциплины обслуживания в соответствии с полученными оценками [9]. Вследствие этого возникают задачи оценки состояний [10] и оценки параметров [11] по наблюдениям за моментами наступления событий. Одним из факторов, влияющим на потерю событий, в частности в ЦСИО, является мертвое время регистрирующих приборов [12], которое порождается зарегистрированным событием. Другие же события, наступившие в течение периода мертвого времени, недоступны наблюдению (теряются). Можно считать, что этот период продолжается некоторое фиксированное время (непродлевающееся мертвое время). В качестве примера приведем протокол CSMA/CD - протокол случайного множественного доступа с обнаружением конфликта, широко используемого в компьютерных сетях. В момент регистрации (обнаружения) конфликта на входе некоторого узла сети по сети рассылается сигнал «заглушки» («пробки»); в течение времени рассылки сигнала «заглушки» заявки, поступившие в данный узел сети, получают отказ в обслуживании и направляются в источник повторных вызовов. Здесь время, в течение которого узел сети закрыт для обслуживания заявок, поступающих в него после обнаружения конфликта, можно трактовать как мертвое время прибора, регистрирующего конфликт в узле сети. Для того чтобы оценить потери событий потока, возникающие из-за эффекта мертвого времени, необходимо оценить его длительность. В настоящей статье производится сравнение оценок длительности мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий, полученных методом максимального правдоподобия (МП-оценки) и методом моментов (ММ-оценки). 1. Постановка задачи Рассматривается обобщенный асинхронный дважды стохастический поток событий, интенсивность которого есть кусочно-постоянный случайный процесс X(t) с двумя состояниями X1 и X2 (Х1> X2). В течение временного интервала, когда X(t) = X, , имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью X, , i = 1, 2. Переход из первого состояния процесса X(t) во второе (из второго в первое) может осуществляться в произвольный момент времени. При этом длительность пребывания процесса X(t) в i-м состоянии распределена по экспоненцильному закону с параметром а, , i = 1, 2. При переходе процесса X(t) из первого состояния во второе инициируется с вероятностью p (0 < p < 1) дополнительное событие во втором состоянии (т.е. сначала осуществляется переход, а затем инициируется дополнительное событие). Наоборот, при переходе процесса X(t) из второго состояния в первое инициируется с вероятностью q (0 < q < 1) дополнительное событие в первом состоянии. При этом блочная матрица инфинитезимальных коэффициентов примет вид -(^1 +«:) (1 - р)а (1 - q) а2 -(X 2 +а2) Xj pa1 qa2 X 2 = P a| D|| D = Элементами матрицы D1 являются интенсивности переходов процесса X(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы D0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы D0 - интенсивности выхода процесса X(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком. В сделанных предположениях X(t) - марковский процесс. После каждого зарегистрированного в момент времени t, события наступает время фиксированной длительности T (мертвое время), в течение которого другие события исходного потока недоступны наблюдению. События, наступившие в течение мертвого времени, не вызывают продления его периода (непродлевающееся мертвое время). По окончании мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени T и т.д. Вариант возникающей ситуации показан на рис. 1, где 1, 2 - состояния случайного процесса X(t); дополнительные события, которые могут наступать в момент перехода процесса X(t) из состояния в состояние, помечены буквами p либо q; штриховка - периоды мертвого времени длительности T; t1, t2,... -моменты наступления событий в наблюдаемом потоке. 2 И a^ Ja a1 a2 a1 a a2 a1 Процесс X(t) \q \ Обобщенный асинхронный поток t ; Т Т Т Т ; Схема создания непродлевающегося мертвого времени —6-й-©-ё-* t1 t2 t3 t4 t Наблюдаемый поток событий Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий Процесс X(t) и типы событий (события пуассоновских потоков и дополнительные события) являются принципиально ненаблюдаемыми, а наблюдаемыми являются только временные моменты наступления событий t1, t2,... наблюдаемого потока. Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования наблюдаемого потока событий, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения (t0, t), где t0 - начало наблюдений, t - окончание наблюдений, пренебрегаем. Необходимо в момент окончания наблюдений (в момент времени t) осуществить методом максимального правдоподобия и методом моментов оценку T длительности мертвого времени и произвести сравнение получаемых оценок. 2. МП-оценка длительности мертвого времени Обозначим тк = tk+1 - tk (k = 1,2,.) - значение длительности k-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока (тк > 0). Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятностей значений длительности к-го интервала pT (тк) = pT (т), т > 0, для любого к (индекс T подчеркивает, что плотность вероятностей зависит от длительности мертвого времени). В силу этого момент tk без потери общности можно положить равным нулю или, что то же самое, момент наступления события наблюдаемого потока есть т = 0. Тогда плотность вероятностей примет вид [2] pT (т) = 0, 0 0, т2 > 0. При этом т1 = 0 соответствует моменту t1 наступления события наблюдаемого потока; т2 = 0 - моменту t2 наступления следующего события наблюдаемого потока. Соответствующая совместная плостность вероятностей при этом есть pT (ть т2), Ti > 0, Т2 > 0 [2]: pT (т1, т2) = 0; 0 T, C = -(— +a2)T aja2(XjX2 - pqaja2)(Xj -X2 + paj - qa2)(Xj -X2 + qaj - pa2) cT =e 2 x |(z2 -zj)(aj +a2)(zjz2 -(XjX2 -pqaja2)e~(—+—2)T)] x{zjz2 -[2zjz2 -(aj +a2)(zj + z2)](ai+a2)T +[zjz2 -(Xj +X2)(aj +a2)]2(—j+—2)T], (3) где zj , z2 ,pT(тк) определены в (i) для т = тк, k = j 2. Теоретическая ковариация значений т1 и т2 запишется в виде 2 адад ад cov(xj,т2) = ||tjx2pT (tj,T2)dTjdт2 - |xpT (x)dт T T [T ] Подставляя (j), (3) в (4), находим явный вид теоретической ковариации: cov(Tj, т2) = f z2 - zj 1 CT, (5) I zJ Z2 J где CT определена в (3). Пусть за время наблюдения (в течение временного интервала (t0, t)) реализовалось n интервалов (tk, tk+j) длительности тк, k = j,n . Введем статистику ^ j n-j f j n Л2 cov(тJ, т2) = — XTkTk+j -l - STk I , (6) n j k=1 V nk=j являющуюся оценкой теоретической ковариации (5). Тогда, согласно методу моментов [j3], уравнение моментов, учитывающее коррелированность потока событий, запишется в виде 2 -_2_Л z1 z2 CT = cov(t1, т2). (7) Подставляя в (7) выражение CT из (3), вводя новую переменную x = e (aj+—2)T и проделывая при этом необходимые преобразования, находим (7) в виде ax3 + bx2 + cx + d = 0, a = h[zjz2 -(Xj + X2)(aj +a2)]; b = -{h [2zjz2 - (aj +a2)(zj + z2)] + (XjX2 - pqaja2 )2 cov(Tj,т2)}; с = zjz2 [h + 2(XjX2 -pqaja2)cov(Tj,т2)]; d = -(zjz2)2 cov(t1,т2); h =-j—2-— (XjX2 - pqaja2)(Xj -X2 + paj - qa2)(Xj -X2 + qaj - pa2). (8) [zj z2(—j +a 2)] (4) Решение уравнения (8) определит три корня xi, i = 1,2,3, которые, в свою очередь, определят три ММ-оценки длительности мертвого времени Тмм (° =--— ln x, i = 1,2,3. a1 +a 2 Алгоритм нахождения единственной оценки 7"ММ следующий: 1) для определенного набора параметров X,, a,, i = 1,2, p, q, T ед. времени, осуществляется в течение Tm ед. времени имитационное моделирование наблюдаемого потока событий; 2) результатом работы имитационной модели является оценка теоретической ковариации (6), где n принимает одно из целых значений (n > 2); 3) решается кубическое уравнение (8), т. е. находятся корни x1, x2, x3; 4) если все корни комплексные, то 7"ММ = Tmin; 5) выделяются вещественные корни; здесь возможны три случая: 5.1) вещественный корень один - x1, тогда: а) если x1 < 0, то Тмм = Tmin ; 6) если x1 > 0, то б.1) TMM = Tmin , если ?Мм(1) > Tmin , б.2) ТМм = ТММ0) , если 0 < ТММ0) < Tmin , б.3) ТММ = Tmin , если ТММ0) < 0 ; 5.2) вещественных корня два - x1, x2 (x1 < x2), тогда: а) если x1 < x2 < 0 , то 7Мм = Tmin ; б) если x1 < 0 < x2 , то б.1) ?ММ = Vm , если тмм(2) > Vm , б.2) ТММ = ТММ(2), если 0 < ТММ(2) < Tmin , б.3) ТММ = Tmin , если ТММ(2) < 0 ; в) если 0 < x1 < x2 , то в.1) ТММ = Tmin , если Tmin < ТММ(2) < ТММ0) , в.2) ТММ = если 0 < ?ММ(2) < Tmin < в.3) ТММ = Tmin , если тмм(2) < 0 < Tmin < в.4) тмм =(тмм(1) + тмм(2) V2, если 0 < тмм(2) < < W ) < Tmin , в.5) ТММ = Тмм( ) , если W ) < 0 < W ) < Tmin , в.6) ТММ = Tmin , (2) < Т (1) ММ 5.3) вещественных корня три - x1, x2, x3 (x1 < x2 < x3 ), тогда: а) если x1 < x2 < x3 < 0, то TMM = Tmin ; б) если x1 < x2 < 0 < x3 , то б.1) тмм = Vm , если ТММ(3) > Vm , б.2) TMM = TMM(3) , если 0 < ТММ(3) < Tmin , б.3) ТММ = Vn , если ТММ(3) < 0 ; в) если x1 < 0 < x2 < x3 , то в.1) тмм = Tmin , если Tmin < ТММ(3) < ТММ(2) , в.2) ТММ = если 0 < ТММ(3) < Tmin < TMM(2), в.3) ТММ = Tmin , если тмм(3) < 0 < Tmin < тмм^ в.4) ?Мм = (тмм(2) + Тмм(3) V2, если 0 < тмм(3) < < W ) < Vm , в.5) ТММ = W ) , если W ) < 0 < W ) < Tmin , в.6) ТММ = Tmin , если ТММ(3) < ТММ(2) < 0 ; если 7мм(2) < Тмм(1) < 0; г) если 0 < x < Х2 < x3 , ТО Г\1) Тмм = Tmin , если Tmin < TMM(3) < TMM(2) < TMM(1) , г-2) ?ММ = Тмм( ) , если 0 < ТММ ) - Tmin < Тмм( ) < ^Мм( ) , г3) TMM = Tmin , если Тмм(3) < 0 1 = 1,9, >2=0,7, а1=2,1, а2=0,15, p=0,4, /=0,7, Г=0,4) Т * m 10 20 30 40 50 'мп 0,00213 0,00141 0,00057 0,00048 0,00036 'мм 0,00201 0,00118 0,00031 0,00021 2,23-10"5 'мп - vmm 0,00012 0,00023 0,00026 0,00027 0,00034 Таблица 4 T * m 10 20 30 40 50 'мп 0,00215 0,00101 0,00061 0,00057 0,00048 'мм 0,00204 0,00089 0,00036 0,00028 0,00016 'мп - 'мм 0,00011 0,00012 0,00025 0,00029 0,00032 Таблица 5 T * m 600 700 800 900 1000 'мп 4,21510-6 2,18510—6 1,761 -10—6 3,346-10—7 1,065 10—7 'мм 5,3910-5 5,15 -10—5 3,745-10—5 1,879 10—5 1,155 -10—5 'мп - 'мм —4,968 10-5 —4,931 -10—5 —3,569 10—5 —1,846 10—5 —1,144-10—5 Таблица 6 T * т 600 700 800 900 1000 'мп 3,462-10—5 3,494-10—6 1,232-10—6 7,782-10—7 9,88-10—8 'мм 3,462-10—5 3,494-10—6 1,232-10—6 7,782-10—7 9,88-10—8 'мп - 'мм 0 0 0 0 0 Таблица 7 T * т 600 700 800 900 1000 'мп 2,88-10—4 5,598-10—5 1,719-10—5 5,801-10—6 7,79-10—8 'мм 0,09551 0,07468 0,06269 0,05331 0,05206 'мп - 'мм —0,09522 —0,07462 —0,06267 —0,0533 —0,05206 Таблица 8 T * т 600 700 800 900 1000 'мп 5,0110—6 4,81-10—6 3,5-10—7 3,2-10—7 1,3-10—7 'мм 8,999-10—6 8,766-10—6 3,402-10—6 1,81710—6 1,61910—6 'мп - 'мм —3,989 10—6 —3,956-10—6 —3,052-10—6 —1,497-10—6 —1,489 10—6 Анализ приведенных численных результатов показывает: 1) при малых временах наблюдения за потоком (при малых Tm =10, 20, ..., 50 ед. времени) ММ-оценки лучше МП-оценок (табл. 1, 3, 4) либо, по крайней мере, не хуже МП-оценок (табл. 2), что является вполне естественным, так как при малых временах наблюдения оценка 7'МП может быть достаточно сильно смещенной относительно Т; 2) при больших временах наблюдения за потоком (при больших Tm = 600, 700, ..., 1000 ед. времени) МП-оценки лучше ММ-оценок (табл. 5, 7, 8) либо не хуже ММ-оценок (табл. 6), что также является естественным, так как при больших временах наблюдения смещение оценки 7'МП относительно Т уменьшается. Заключение Результаты проведенного исследования МП-оценок и ММ-оценок длительности мертвого времени Т показывают общую тенденцию, что при малых временах наблюдения за потоком предпочтительнее применять оценку 7ММ, при больших временах наблюдения - оценку 7'МП . Границу применимости той или иной оценки (при заданных значениях параметров X,, a,, i = 1,2, p, q) можно определить только численно путем имитационного моделирования. Результаты статистического эксперимента (Х.1 = 2,1, >2=0,3, а1=1,5, а2=0,1, p=0,2, q=0,9, Г=0,4) Результаты статистического эксперимента (>1 = 2,1, >.2=0,5, ai=1, а2=0,9, p=0,1, q=0,1, Г=0,4) Результаты статистического эксперимента (>1 = 1, >2=0,5, a1=0,1, а2=0,2, p=0,1, q=0,1, Г=1) Результаты статистического эксперимента (>1 = 2, >2=1, а1=1, а2=0,5, p=0,8, q=0,7, Г=1) Результаты статистического эксперимента (>1 = 1,9, >2=0,7, а1=2,1, а2=0,15, p=0,4, q=0,7, Г=0,4)

Скачать электронную версию публикации