Recursive estimation of bilinear ARX systems with input-error.pdf Билинейные системы - это класс нелинейных систем с простой структурой. Билинейные системы являются простейшим обобщением линейных динамических систем: выходной сигнал зависит не только от входных и выходных сигналов, но и от произведения входного сигнала на выходной. моделирование физических процессов с помощью билинейных систем находит применение во многих областях науки, таких, как ядерная физика, электрические сети, химическая кинетика, гидродинамика и т.д. [1]. модели ошибки уравнения (ARX-модели) [2] - наиболее распространенный вид моделей параметризации шума. Идентификация моделей ошибки уравнения сводится к классической задаче регрессионного анализа и может быть решена методом наименьших квадратов. Однако во многих практических задачах помеха содержится также и во входном сигнале, в этом случае классический метод наименьших квадратов не позволяет получать состоятельные оценки. В настоящее время активно развиваются методы идентификации билинейных динамических систем, такие, как инструментальные переменные [3], компенсирующий смещение метод наименьших квадратов [4], метод максимального правдоподобия [5] и методы на основе высших статистик [6]. Рекуррентные методы идентификации билинейных систем, которые могут быть получены из рекуррентных методов идентификации линейных систем, приведены в [7]. Некоторые предложенные методы используют подход на основе рекуррентных методов идентификации систем с ошибкой в уравнении, модифицируя при этом функцию ошибки, например улучшенный метод наименьших квадратов [8]. В статье предложен рекуррентный алгоритм оценивания параметров билинейных ARX-систем с помехой во входном сигнале на основе стохастической аппроксимации. 1. Постановка задачи пусть билинейная динамическая система описывается стохастическими уравнениями с дискретным временем i =... -1,0,1_: r r1 r2 r3( m) Zr -E b(mVm = E 4mVm + E E C^X-mZ-, +^(i), = ^ +|2(i), (1) m=1 m=0 m=0 k=1 где x,, w{ - ненаблюдаемая и наблюдаемая входные переменные; zt - наблюдаемая выходная переменная; |1(i) - помеха в уравнении; |2(0 - помеха наблюдения во входном сигнале; Пусть выполняются следующие предположения: 10. Множество 13, которому априорно принадлежат истинные значения параметров устойчивой, управляемой и идентифицируемой билинейной системы, является компактным. 20. Помехи {^(i)} и (|2(i)} статистически не зависят между собой: E{^(i)/ Fi(1)} = 0, E{^(i)/ Fi(2)} = 0, £{^2(i)/Fi(1)} < Щ0) 0 : |xj < nx п.н. 50. Априорно известно отношение дисперсий помех у = CTj2/ ст2. 2. Рекуррентный алгоритм идентификации Уравнение (1) может быть представлено в форме линейной регрессии: y, =фт 0 + е,- , (2) где Ф, =(ФТ(i) !ФТ:(i) i ФWz(i))Т, фz(i) = (z,-1,^zt-r)T , ф^(i) = (,...w,-r ) Фwz (i) = ( = 1 wz{ 4,...,w,z,-r3(0) Wi-Jz^-J,"•, Wг-JZг-rз(J) W- z ......W- z- , \ ,-rx 1-1 ' 1-rx 1-32 )T % =(( \aT iCT )T, b =(i )T , a„ =(aS»...a 0 k (n,T) = max I k: Vai ^ T f. I i=n J Для выполнения равенства (8) необходима ограниченность последовательности {66(i)}, что подразумевает ограниченность роста функции V6J(6) при ||6| ^ ад. В нашем случае lim V6J(6) = 0. МЬад Из ограниченности сумм в условии 70 и последовательности {6(i)} следует ад ограниченность суммы Vaisi (6(i), |1(i), |2(i)) 0 (10) лишь в одной стационарной точке 0 = 01 =00. Задача определения минимума функции J (0) эквивалентна задаче на условный экстремум (1) г + г1 + г3(0)+...+г3(г2)+ г2 +3 "" " (11) (12) u min uTHФu, uT Du = 1. Задача (11) может быть решена с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. Тогда необходимые условия запишутся в виде (H -XD)u = 0, uT Du = 1, где X - неопределенный множитель Лагранжа. Множеством решений системы (12) являются Хе{Л1,...,Лг+Г + Гз(0)+ + Гз(Г2)+Г2+3} и соответствующие им главные собственные АКТОРЫ U1 ,..., Ur+^+Г3(0)+. .+Г3(Г2)+Г2+3 . Исследуем матрицу Нф -XD на положительную определенность. Из (12) следует, что л(1) Н ф1

Скачать электронную версию публикации