On term structure of yield rates. 7. The new version.pdf Будем считать, что для n-факторной модели аффинной доходности предполагается, что вектор состояния финансового рынкаX(t) = (X1,X2, ..., Xn)T следует однородному по времени марковскому процессу, порождаемому стохастическим дифференциальным уравнением dX(t) = |(X(t)) dt + a(X(t)) dW(t) с n-вектором дрейфа |(х), (пхт)-матрицей волатильности ст(х) и m-вектором W(t) независимых стандартных винеровских процессов [1]. При этом вектор дрейфа |(х) и матрица диффузии ст(х)ст(х)Т должны быть аффинными функциями относительно переменных х, а рыночные цены риска такими, что ст(х)Х(х) - n-вектор с аффинными компонентами относительно переменных х: n n |(х) = К(6 - х), ст(х)ст(х)Т = а + ^ Ргхг-, ст(х)Х(х) = + ^ ПЛ. (1) i=1 i =1 Здесь K, а и р, - (пхп)-матрицы; 6, и п - n-векторы, х, - компоненты вектора х. Эти свойства для n-факторной модели аффинной доходности приводят к следующим обыкновенным дифференциальным уравнениям для функции А(т) и компонент вектора В(т) = (В1(т), В2(т), ..., Вп(т)), т - срок до погашения: А'(т) = (§ - К6)ТВ(т) + В(т)Та В(т)/2, А(0) = 0; (2) В/(т) = ф, - В(т)Т(п, + К) - В(т)Тр, В(т)/2, В(0) = 0. (3) В уравнении для В,(т) символ К, обозначает i-й столбец матрицы К, 1 < i < n. Если среди переменных состояния имеется краткосрочная процентная ставка r, то компоненты вектора ф по экономическому смыслу доходности должны определяться так, чтобы фг = 1, а остальные компоненты равны нулю. Кривая доходности _у(т, х) и форвардная кривая /т, х) определяются через функции А(т) и В(т) по формулам Ж х) = хТ В(т) - А(т), /(т, х) = хт d®Cx) - dA(x). (4) т d т d т Вслед за функциями А(т) и В(т) доходности у(т, x) и Дт, x) определяются на неограниченном интервале сроков погашения т е[0, ад]. Поэтому их визуальный сравнительный анализ на всем интервале изменения сроков до погашения т затрудняется этой неограниченностью. Для устранения этого недостатка в [1] предложено в качестве временной переменной т для измерения сроков до погашения использовать меру дюрации Вг(т) краткосрочной процентной ставки r. Тогда неограниченный интервал т е [0, ад] будет отображаться в конечный интервал Br е [0, Вг(ад)], В,.(ад) < ад. Такой подход описан в [1] для серии одно-, двух- и трехфактор-ных моделей. Он улучшает визуализацию сравнительного анализа кривых доходности, однако имеет существенный недостаток, заключающийся в том, что В,.(ад) зависит от всех параметров модели, что влечет зависимость длительности интервала [0, В,.(ад)] от любого из этих параметров. Вследствие этого, изменение любого параметра модели приводит к изменению временной шкалы. Это хорошо иллюстрируется, например, рис. 3 из статьи 5 серии [1], где интервал изменения дюрации процентной ставки существенно меняется с изменением волатильности модели. В настоящей статье предлагается другое преобразование временной переменной, которое отображает неограниченный интервал изменения сроков погашения т е [0, ад] в единичный интервал [0, 1] независимо от параметров модели. Введем переменную u соотношением u = 1 - ехр[-рт], где р - параметр преобразования, р > -. При таком преобразовании шкалы изменения сроков до погашения т неограниченный интервал [0, ад] возможных значений сроков погашения отображается в единичный интервал [0, 1] изменения переменной u. Заметим, что введенное преобразование обеспечивает взаимно однозначное соответствие между переменными u и т, когда всякому фиксированному сроку до погашения ^ соответствует единственное значение переменной u = uk = 1 - ехр^рт^, и наоборот, всякому фиксированному значению переменной u = uk > 0 соответствует единственный срок до погашения ^ = - ln(1 - uk)/p > -. Таким образом, используя преобразование переменной т = - ln(1 - u)/p в соотношениях (4), вместо функций доходностей у(т, x) и Дт, x), заданных на неограниченном интервале т е [0, ад], можно получить функции Y(u, x) и F(u, x), заданные на конечном интервале u е [0, 1]. Функции Y(u, x) и F(u, x) имеют практически те же свойства, что и доходности у(т, x) и Д(т, x), поэтому могут рассматриваться как их эквиваленты. Рассмотрим это более детально. Пусть значения ^ и uk связаны соотношениями ^ = - ln(1 - uk)/p и соответственно uk = 1 - ехр^рт^]. По определению Y(uk, x) = y(- ln(1 - uk)/p, x) = y(zk, x) для всех ^ е [0, ад], uk = = 1 - ехр^рт^. Поэтому область возможных значений Y(uk, x) полностью совпадает с областью возможных значенийy^, x), тk е [0, ад]. Заметим, что взаимоотношения между функциями F(u, x) и Дт, x) точно такие же, как и между функциями Y(u, x) и у(т, x). Так что достаточно рассмотреть только одну пару функций Y(u, x) и у(т, x), чтобы иметь представление о свойствах другой пары F(u, x) и Д(т, x). Предельные значения функций Y(u, x) и у(т, x) на границах области определения функций совпадают: lim у(т, x) = lim Y (u, x), lim у(т, x) = lim Y (u, x). т^0 u^0 т^ад u Пусть у(т, x) возрастает (убывает) в окрестности точки т = т^ Вектор переменных состояния x рассматриваем здесь и всюду далее как набор фиксированных параметров. Тогда функция Y(u, x) будет возрастать (убывать) в окрестности точки uk = 1 - exp[-pTk]. Это следует из соотношений dY(u,x) дКт,x) dт ду(т,x) d(-ln(1 -u)/p) 1 дУ(т,x) 1 > ^ du дт du дт du p(1 - u) дт p(1 - u) справедливых для всех p > 0 и 0 < u < 1. Заметим также, что справедливо следующее соотношение между производными д дт = p(1 -u) А . (5) ln(1-H)/p ^ Если при некотором значении т = тк функция у(т, x) имеет максимум (минимум), то функция Y(u, x) будет иметь максимум (минимум) в точке uk = 1 - exp[-pxk]. К сожалению, свойство выпуклости функции у(т, x) на некотором интервале значений т может не обеспечить выпуклости функции Y(u, x) на соответствующем интервале значений переменной u, так как для выполнения неравенства 2w„ „ч 1 г,., „Л д 2Y (u, x) 1 д y(т, x) + дУ(т, x) дт2 p дт > 0 т=- ln(1-u)/ p дп2 p2(1 - u)2 д2 у(т, x) ду(т, x) необходимо, чтобы -^—>-p-!—, для чего недостаточно услодт2 дт д 2 у(т, x) „ вия --— > 0, так как наклон кривой доходности у(т, x) может быть и отрицадт2 тельным. Если при некотором значении т = xk имеет место неравенство y(xk, x) < fxk, x) (или y(xk, x) > fxk, x)), то справедливо неравенство Y(uk, x) < F(uk, x) (или Y(uk, x) > F(uk, x)) в точке uk = 1 - exp[-pxt]. Основываясь на этих свойствах, можно полагать, что функции Y(u, x) и F(u, x) достаточно хорошо отражают свойства кривых доходности, заданы на конечном интервале переменной u, которая не связана с параметрами модели, и могут служить для описания свойств доходности на всем интервале изменения сроков погашения. В связи с этим в дальнейшем Y(u, x) и F(u, x) будут называться тоже кривой доходности и форвардной кривой соответственно. Относительно параметра p, определяющего переменную u, заметим, что при изображении кривых на рисунках значением этого параметра можно устанавливать долю интервала [0, 1], которую желательно выделить для представления интересуемых сроков погашения. Например, если желательно, чтобы на 90 % длины интервала [0, 1] были представлены сроки до погашения, не превышающие T, значение параметра следует выбирать равным p = ln10/T. Получим уравнения для определения функций Y(u, x) и F(u, x). Для этого естественно применить равенства (4), приспособленные для переменной u. Используем в (4) подстановку т^) = - ln(1 - u)/p и формулы дифференцирования (5), введя обозначения a(u) = A^(u)) и b(u) = B^u)). Тогда получим a(u) - xTb(u) f t db(u) da(u) Л Y (u, x) = p——--—, F (u, x) = p(1 -u) I x —---—I. (6) ln(1 - u) V du du J Для определения функций a(u) и b(u) можно использовать уравнения (2) и (3), что с помощью (5) приводит к уравнениям р(1 - u)a'(u) = (§ - К6)ТЬ(и) + Ь(и)ТаЬ(и)/2, а(0) = 0; (7) р(1 - u)b,(и) = ф, - Ь(и)Т(п; + к,) - Ь(и)Тр1 b(u)/2, bi(0) = 0. (8) Определим теперь функции доходности Y(u, х) и F(u, х) для моделей, исследовавшихся в [1], и проанализируем их свойства. Приведенные ниже численные результаты, иллюстрирующие поведение функций доходности, основаны на наборе параметров, найденных Д. Аном и Б. Гао [2], приспосабливавшим модель Даффи - Кана для описания динамики процесса годовой ставки доходности одномесячных бумаг Казначейства США для периода наблюдения с января 1960 г. по февраль 1991 г. 1. Однофакторная модель Даффи - Кана Модель Даффи - Кана использует процесс краткосрочной процентной ставки r(t) в форме [1] dr(t) = k(6 - r(t))dt + 4 2kD Г (t) - rinf dW(t), r(0) > rinf, (9) V 6-rinf где параметры 6 и D являются константами, но позже при расширении модели до двух- или трехфакторной они будут предполагаться диффузионными процессами 6(t) и D(t). Функции Y(u, х) и F(u, х) для этой модели находятся в аналитическом виде, а в качестве переменной состояния х здесь используется краткосрочная процентная ставка r = r(t): 1 b(u) = |-jy— + V ,(1 - u)-e / p-1 Y(u, r) = rinf + (6-rinf) f k + e b(u) z-k ln(1 + vb(u )V vV inf inf t V ln(1 + vb(u)) - ln(1 - Vb(u)) F(u, r) = r + (6 - rmf)[kb(u) - (V -v) Z b(u) - vVZ b(u)2] где Г~ 7 "2 I- (e-k -Хст) Tr (e + k + Хст) 2kD r - rinf e =yj(k + Хст)2 + 2ст , v = ---, V = ---, ст =-, Z =-— 2 2 6 'inf 6 'inf Рыночная цена риска X и нижняя граница процентной ставки rinf являются фиксированными параметрами модели. На рис. 1 представлены примеры функций доходности Y(u, r) и F(u, r) для набора параметров Ана - Гао: k = 0,1347; 6 = 0,0762; rinf = 0,03315 при r = 0,05, X = 0,1. Рис. 1 иллюстрирует монотонное уменьшение доходности с ростом волатиль-ности процесса краткосрочной процентной ставки. Причем интересно отметить, что для малых дисперсий форвардная доходность превышает ставку доходности до погашения для любых сроков т. Однако с ростом дисперсии картина меняется и уже доходность до погашения доминирует над форвардной ставкой также для любых сроков до погашения. Критическое значение дисперсии, меняющее картину, находится из равенства VZ = k. Рис. 1. Функции доходности Y(u, r) (пунктирные линии) и F(u, r) (сплошные линии) для различных значений дисперсии процентных ставок r(t): D = 0,0002 (верхняя пара кривых); 0,002892 (оценка Ана - Гао); 0,02; 0,2 (нижняя пара кривых). Маркеры горизонтальной оси обозначают реальную продолжительность срока до погашения: ромб - 1 год, треугольник -10 лет, квадрат - 30 лет. Кружком отмечены предельные значения функций для т = 0 (слева) и т = ж (справа). Текущее состояние r(t) = r = 0,05 2. Двухфакторные модели Для перехода к двухфакторной модели нужно выбрать дополнительную переменную состояния. Это можно сделать, предположив, что ею является либо параметр 6, либо параметр D. В первом случае 6 рассматривается как стохастически изменяющееся локальное (по времени) среднее 6(t) процентной ставки, а во втором - D становится стохастическим процессом D(t) ее локальной (по времени) дисперсии. Рассмотрим оба этих варианта. В первом случае уравнение (5) одно-факторной модели преобразуется в пару уравнений dr(t) = kr(6(t) - r(t))dt + 2krDr r(t) - rinf dWr(t), r(0) > rinf; (10) inf , - r d6(t) = k6(60 - 6(t))dt + J2keD6 6(t) rinf dW6(t), 6(0) > rinf. - (11) 60 rinf В этом случае вектор переменных состояния X(t) = (r(t), 6(t))Т, а параметры системы, определяемые соотношениями (1), имеют представления ,(Х(0) = до-ад = fk0r ^ ^ a(X(t))a(X(t))Т = а + £ргХг (t) = i=1 ( 2krDrrinf (0 0 ^ r (t) + 2kD 6(t); 2k6 D6 rinf - r inf / rinf 0 0 f 2krDrXrrM Л f 2krDrXr Л Г 0 a(X(t))X(X(t)) = | + XnX- (t) = i=1 v0 inf 2ke DeXe rinf 2ke De^e e(t). r (t) + 'inf 0 V v0 'inf J v0 'inf J Поэтому уравнения для определения функций a(u) и b(u) согласно (7), (8) принимают вид p(1 - u)a'(u) = - 2keDr ^ br (u)-I kQe0 + ^eD^l be (u) -e0 - rinf V e0 - rinf J - К^Ж. b2(u) - keDerf be2(u), a(0) = 0, 'inf 'inf 'inf p(1 - u)br'(u) = 1 - I kr + 2krDrX Ibr (u) - krDr br2(u), br(0) = 0, 'inf 2kp.Dp. X^ ke Der inf 2 be2(u), be(0) = 0. be(u) p(1 - u)be'(u) = kr br(u) - I ke + Уравнение для br(u) может быть решено аналитически f „ Л-1 br(u) = - + V ~er/ p (1 - u) - 1 , V = 2 (8, + kr + 2k D X 4krDr er = ,, I kr + r r "r где К V v0 'inf J v0 'inf ^ V v0 'inf Однако уравнение для be(u) и, следовательно, для a(u) можно решить только численно. Функции доходности для текущего состояния (r(t) = r, 6(t) = 6) определяются по формулам (6). Рассмотрим теперь второй вариант перехода к двухфакторной модели. Он соответствует применению двухфакторной модели Васичека - Фонга [3], в которой используется модель с квадратным корнем в форме Даффи - Кана. Примем, что в дополнение к краткосрочной ставке r(t) состояние характеризует локальная по времени дисперсия D(t): X(t) = (r(t), D(t))1. Тогда случайный процесс динамики переменных состояния описывается уравнениями dr(t) = kr(e0 - r(t))dt + ^2krD(t) dWr(t); (12) inf dD(t) = kD(Dr - D(t))dt + j2kDS D() finf dWD(t), D(0) > D inf, (13) Dr - D где Dr и S - стационарные среднее и дисперсия процесса D(t) соответственно. Поэтому соотношения (1) определяют структуру модели следующим образом: «,))=«e - X(t)) = ft D ID -a(X(t))a(X(t))T = а + gPiX (t) = i=1 a(X(t))X(X(t)) = | + gп-Хг(t) = J + ^ J D(t)' Это позволяет написать уравнения (7) - (8) для функций a(u) и b(u) в следующем виде р(1 - u)a'(u) = - kr6obr(u) - (kuDr + 28XDDm{)bD(u) - SD^b2D (u), a(0) = 0; p(l - u)br'(u) = 1 - krbr(u), br(0) = 0; p(1 - u)bD'(u) = - 2Xrkrbr(u) - (kD + 28XD)bD(u) - krb2(u) - 8bJD(u), bD(0) = 0. Как и в предыдущем случае, уравнение для br(u) может быть решено аналитически br(u) = -^(1 - (1 - u)kr/р), kr но уравнения для bD(u) и соответственно для a(u) решаются только численно. Функции доходности для текущего состояния X(t) = (r(t) = r, D(t) = D) определяются по формулам (6). Результаты вычислений функций доходности Y(u) и F(u) для моделей (9), (10), (11) и (12), (13) для сравнения представлены на рис. 2. Вычисления проводились для параметров, обеспечивающих для всех моделей одинаковые значения стационарного среднего 60, стационарной дисперсии Dr и параметра быстродействия kr при следующих значениях переменных текущего состояния: r = 0,05; 6 = 0,06; D = 0,005. 0 0 25Д > ^ (2kr 0 1 + 1 r >inf J I 0 28, ( 0 1 + [ 12SX DDinf J + 1 D(t), Dr - D 2kr Xr 0 mf Y(u), F(u) 0,060 0,055 0,050 0,045 0 0,4 Рис. 2. Функции доходности Y(u) (пунктирные линии) и F(u) (сплошные линии) для различных моделей: модель (9) (верхняя пара кривых); модель (10), (11) (средняя пара кривых); модель (12), (13) (нижняя пара кривых). Маркеры горизонтальной оси обозначают реальную продолжительность срока до погашения: ромб - 1 год, треугольник - 10 лет, квадрат - 30 лет. Кружком отмечены предельные значения функций для т = 0 (слева) и т = Dinf > 0. (16) Dr - Dinf Здесь D,nf - нижняя граница для процесса дисперсии D(t) процентной ставки; Dr -стационарное среднее процесса дисперсии D(t), а S - стационарная дисперсия процесса дисперсии D(t). Для более компактной записи в дальнейшем изложении удобно ввести обозначение 5 = kDS/(Dr - Dinf). Соотношения (1) имеют вид Г К -kr 0 V0o - r (t) А M-(X(t)) = K(0 - X(t)) = 0 kg 0 0 00 -0(t) Dr - D(t) 0 ст(X(t))ст(X(t))Т = a + X PiXi (t) = -i =1 Г0 0 0 А Г 2k, 0 А 0 25 0 0 2k0o2 0 0 0 0 0 D(t); i =1 0 0 25Д inf V o(X(t))X(X(t)) = | + £ nX (t) = - Г 0 А ' 2kr X r > 0 + 2k0CT2X0 D(t) 125XDDinf V 25X D V D V Это позволяет получить систему уравнений (7), (8) для функций a(u) и b(u): р(1 - u)a'(u) = - k000b0(u) - (kDDr + 25XDDm{)bD(u) - 5Dll£bD (u), a(0) = 0, p(1 - u)br'(u) = 1 - krbr(u), br(0) = 0, р(1 - u)be' (u) = k,br(u) - kebe(u), be(0) = 0. p(1 - u)bD'(u) = - 2krXrbr(u) - 2keCT2Xebe(u) - (kD + 25A,D)bD(u) -- krb2r (u) - keCT2be (u) - 5b2D(u), bD(0) = 0. Уравнения для br(u) и be(u) могут быть решены аналитически 1 - (1 - u)krlр К 1 + (1 - ujr!р kr (1 - u) VP be(u) = — +---r-, ke kr - ke ke (kr - ke) но уравнения для bD(u) и соответственно для a(u) решаются только численно. Функции доходности Y(u) и F(u) для текущего состояния X(t) = (r(t) = r, e(t) = e, D(t) = D) определяются по формулам (6). В модели Чена переменные состояния удовлетворяют системе стохастических дифференциальных уравнений: br(u) = dr(t) = kr(e(t) - r(t))dt + y]2krD(t) dWr(t); (17) (18) dWe(t), e(0) > eirf > 0; e(t) -einf de(t) = ke(e0 - e(t))dt + 2ke De inf dD(t) = kD(Dr - D(t))dt + Dinf > 0. (19) Dr - Dinf Заметим, что в этой модели процессы e(t) и D(t) являются независимыми диффузионными процессами, описываемыми одномерными моделями Даффи - Кана. Для недостижимости нижних границ einf и Dmf процессов e(t) и D(t) необходимо выполнение известных условий Феллера (e0 - einf)2 > De и (Dr - Dmf)2 > S. Для компактности далее будем также использовать обозначения Y = ke De /(eo -e^), 5 = kDS /(Dr - D^). Соотношения (1) имеют вид 0 Ve- -0 kr kr 0- r (t) e0 -e(t) H-(X(t)) = K(e-X(t)) = ke 0 Dr - D(t) CT(X(t))CT(X(t))T = a + £p,.X,. (t) = i =1 f 0 0 0 > f 0 0 0 > f 2kr 0 0 > 0 2Yemf 0 + 0 2Y 0 e(t) + 0 0 0 D(t) 10 0 25Dinf , 10 0 0 j I 0 0 25 j n f 0 > f 0 > f 2kr Xr ^ CT(X(t))X(X(t)) = | + Xn-Xi (t) = - 2Y^eemf + 2Y^e e(t) + 0 . =1 1m dDm j I 0 j I 25^ d j D(t). С учетом этого система уравнений (7), (8) для функций a(u) и b(u) получается следующая: р(1 - u)a'(u) = - (ke6o + 2yXe6lnf)be(u) - (kDDr + 25XEDm{)bD(u) -- yemf be2 (u) - 5Dinf bD (u), a(0) = 0, p(1 - u)br'(u) = 1 - krbr(u), br(0) = 0, p(1 - u)be '(u) = krbr(u) - (ke + 2yXe)be(u) - у bg(u), be(0) = 0, p(1 - u)bD'(u) = - 2krXrbr(u) - (kD + 25XD)bD(u) - k^ (u) - 5 bD (u), bD(0) = 0. К сожалению, из этих уравнений аналитически решается только уравнение для br(u): br(u) = [1 - (1 - u)к/р ]/ kr, остальные допускают только численное решение. Для определения функций доходности Y(u) = Y(u | r, e, D) и F(u) = F(u | r, e, D) используются формулы (6). В модели BDFS используются переменные состояния X(t) = (r(t), e(t), D(t))1, удовлетворяющие системе уравнений dr(t) = kr(e(t) - r(t))dt + j2krD(t) dWr(t); (20) (21) de(t) = ke(e0 - e(t))dt + ^2keDe dWe(t); dD(t) = kD(Dr - D(t))dt + л\2kDS D(?) Dinf dWD(t), D(0) > Dlnf > 0. (22) Dr - Dinf Фактически, эта модель является частным случаем модели Чена, когда elnf ^ -ад (см. уравнение (18)). В этом случае у ^ 0, но yemf ^ - k@De, и мы имеем Г к -к 0 Ve0 - r (t) а e0 -e(t) 0 ke 0 0 0 i=1 M-(X(t)) = K(e - X(t)) = Dr - D(t) n Г 0 0 0 А Г 2kr 0 0 а a(X(t))a(X(t))x = a + ^PiX (t) = - 0 -2ke De 0 + 0 0 0 D(t) i=1 10 0 25Dinf v I 0 0 25 V a(X(t))X(X(t)) = | + ^П.Х, (t) = - Г 0 а Г 2kr Xr A 2ke X e -^—e + 0 D(t) 125XdDm у I 25X D V Это позволяет получить уравнения для функций a(u) и b(u) в следующей форме: р(1 - u)a'(u) = - (e0 - 2XeDe)kebe(u) - (kDDr + 25^DDmf)bD(u) + + keDe be2 (u) - 5Dinf bJD (u), a(0) = 0, р(1 - u)br'(u) = 1 - krbr(u), br(0) = 0, р(1 - u)be'(u) = krbr(u) - kebe(u), be(0) = 0, р(1 - u)bD'(u) = - 2krXrbr(u) - (kD + 25X-)b-(u) - krb2(u) - 5 bD2 (u), bD(0) = 0. К bu = -L + O-Utl - MiU^, ke kr ke ke (kr ke) а остальные уравнения приходится решать численными методами. Результаты вычислений функций доходности Y(u) и F(u) для моделей (14) -(16), (17) - (19) и (20) - (22) представлены на рис. 3. Вычисления проводились для параметров, обеспечивающих для всех моделей одинаковые значения стационарного среднего и стационарной дисперсии при следующих текущих значениях переменных состояния: r = 0,05; e = 0,06; D = 0,005. Здесь аналитически решаются только уравнения для br(u) и be(u): br(u) = 1 - (1 - upр Y(u), F(u) 0,05 ^ 0,040,03 0,02 0,01 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 u Рис. 3. Функции доходности Y(u) (пунктирные линии) и F(u) (сплошные линии) для трехфакторных моделей: модель (14) - (16) (верхняя пара кривых); модель (17) - (19) (средняя пара кривых); модель (20) - (22) (нижняя пара кривых). Маркеры горизонтальной оси обозначают реальную продолжительность срока до погашения: ромб - 1 год, треугольник -10 лет, квадрат - 30 лет. Кружком отмечены предельные значения функций для т = 0 (слева) и т =

Скачать электронную версию публикации