Joint probability density of the intervals length of the modulated semi-synchronous integrated flow of events in condition of a constant dead time and flow recurrence conditions
In this paper, we consider the modulated semi-synchronous integrated flow of events, which is one of the mathematical models for an incoming streams of events in computer communication networks and which is related to the class of doubly stochastic Poisson processes (DSPPs). The flow intensity process is a piecewise constant stationary random process X(t) with two states 1, 2 (first, second correspondingly). In the state 1 X(t) = Xj and in the state 2 X(t) = X2 (X, > X
2 > 0) . The duration of the process X(t) staying in the first (second) state is distributed according to the exponential law with parameter в (a). During the time interval when X(t) = Х
г-, a Poisson flow of events with intensity Х
г-, i = 1,2, arrives. Also, at any moment of an event occurrence in state 1 of the process X(t) , the process can change its state to state 2 with the probability р (0 < p < i) or continue to stay in state 1 with the complementary probability 1 - p . I.e., after an event occurrence the process X(t) can change or not change its state from state 1 to state 2. The transition of the process X(t) from state 2 to state 1 at the moment of an event occurring in the second state is impossible. At the moment when the state changes from the second to the first state, an additional event is assumed to be initiated with probability 5 (0 < 5 < 1) . The registration of the flow events is considered in condition of a constant dead time (of incomplete observability). The dead time period of a constant duration T begins after every registered at the moment tk , k > 1, event. During this period, no other events are observed. When the dead time period is over, the first coming event causes the next interval of dead time of duration T and so on. Then, we obtain explicitly the expressions for the probability density p
T (x) , x > 0 , and joint probability density p
T (x,, x
2) , x, > 0 , x
2 > 0 , of the intervals length between neighboring flow events: [0, 0 < x < T, p
T (x)=\ [y(T) z,e
zi
+ (1 - y(T ))z
2e
z2
, x> T, y(T) = -- [ - X, + (X, - X2 - а5)л
2 (T)], тт
2 (T) = - [ - я
2(01 T)]e
(pXi+
+
)Т,
2
i pX (X
2 +а) + X
2p + Xл
2 [X
2 - p(X
2 + а5)][1 - e
]
pX, + p ^2(01 T) = Х,а + (pX, +P)(X
2 +а5) + ' [X
2 -p(X
2 +а5)][1 -e
(pXi+Р+а)Т]'
pX, +Р + а
z
i2 = I+X
2 +а + Р + д/(X, -X
2 - а + Р)
+ 4аР(1 -5)j, 0- 1 < z, < z
2. 2 ^ p
T (x,, x
2) = 0, 0 2 < T, x Pt (x,,x
2) = pt (x,)Pt (x
2) + e
(pXi+
+
)Ty(T)[i-y(T)]
,[X2 - P&2 +08)] [z,e
i
,
) - z
2e
2
i
)] г т
i
2 x [e
i
2
- z
2e
2
2
], x, > T, x
2 > T. The recurrence conditions of the observable flow of events are found.
Keywords
модулированный обобщенный полусинхронный поток событий,
дважды стохастический поток событий (DSPP),
MAP (Markovian Arrival Process)-поток событий,
мертвое время,
плотность вероятностей длительности интервала,
совместная плотность вероятностей длительностей интервалов,
условия рекуррентности потока событий,
modulated semi-synchronous integrated flow of events,
doubly stochastic Poisson process (DSPP),
Markovian arrival process (MAP),
constant dead time,
probability density,
joint probability density,
flow recurrence conditionsAuthors
| Bakholdina Maria A. | Tomsk state university | maria.bakholdina@gmail.com |
Всего: 1
References
CoxD.R. Some Statistical Methods Connected with Series of Events // J. Royal Statistical Society B. 1955. V. 17. P. 129-164.
Kingman Y.F.C. On doubly stochastic Poisson process // Proceedings of Cambridge Phylosophical Society. 1964. V. 60, No. 4. P. 923-930.
Cox D.R., Isham V. Point Processes. London : Chapman & Hall, 1980.
BremaudP. Point Processes and Queues: Martingale Dynamics. New York : Springer-Verlag, 1981.
Last G., Brandt A. Marked Point Process on the Real Line: The Dynamic Approach. New York : Springer-Verlag, 1995.
Basharin G.P., Kokotushkin V.A., Naumov V.A. Method of equivalent substitutions for calculating fragments of communication net works for digital computer // Engineering cybernetics. 1979. V. 17(6). P. 66-73.
NeutsM.F. A versatile Markov point process // Journal of Applied Probability. 1979. V. 16. P. 764-779.
Lucantoni D.M. New results on the single server queue with a batch markovian arrival process // Communications in Statistics Sto chastic Models. 1991. V. 7. P. 1-46.
Lucantoni D.M., Neuts M.F. Some steady-state distributions for the MAP/SM/1 queue // Communications in Statistics Stochastic Models. 1994. V. 10. P. 575-598.
Breuer L. An EM algorithm for batch Markovian arrival processes and its comparison to a simpler estimation procedure // Annals of Operations Research. 2002. V. 112. P. 123-138.
Telek M., Horvath G. A minimal representation of Markov arrival processes and a moments matching method // Performance Evaluation. 2007. V. 64. P. 1153-1168.
Окатига H., Dohi T., Trivedi K.S. Markovian arrival process parameter estimation with group data // IEEE/ACM Transactions on Networking. 2009. V. 17. P. 1326-1339.
Horvath A., Horvath G., TelekM. A joint moments based analysis of networks of MAP/MAP/1 queues // Performance Evaluation. 2010. V. 67. P. 759-788.
Bushlanov I. V., Gortsev A.M., Nezhelskaya L.A. Estimating parameters of the synchronous twofold-stochastic flow of events // Automation and Remote Control. 2008. V. 69, No. 9. P. 1517-1533.
Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание длительности мертвого времени и параметров синхронного альтернирующего потока событий // Вестник Томского государственного университета. 2003. № 6. С. 232-239.
Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание параметров синхронного дважды стохастического потока событий методом моментов // Вестник Томского государственного университета. 2002. № 1. С. 24-29.
Gortsev A.M., Nezhelskaya L.A. An asynchronous double stochastic flow with initiation of superfluous events // Discrete Mathematics and Applications. 2011. V. 21, Issue 3. P. 283-290.
Горцев А.М., Ниссенбаум О.В. Оценивание длительности мертвого времени и параметров асинхронного альтернирующего потока событий при непродлевающемся мертвом времени // Известия высших учебных заведений. Физика. 2005. № 10. С. 35-49.
Горцев А.М., Нежельская Л.А., Шевченко Т.И. Оценивание состояний MC-потока событий при наличии ошибок измерений // Известия высших учебных заведений. Физика. 1993. № 12. С. 67-85.
Gortsev A.M., Nezhelskaya L.A. Estimation of the dead-time period and parameters of a semi-synchronous double-stochastic stream of events // Measurement Techniques. 2003. V. 46, No. 6. P. 536-545.
Горцев А.М., Нежельская Л.А. Полусинхронный дважды стохастический поток событий при продлевающемся мертвом времени // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13, № 1. С. 31-41.
Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание параметров полусинхронного дважды стохастического потока событий методом моментов // Вестник Томского государственного университета. 2002. № 1. С. 18-23.
Горцев А.М., Нежельская Л.А. О связи MC-потоков и MAP-потоков событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 1(14). С. 13-21.
Adamu A., Gaidamaka Y., Samuylov A. Discrete Markov Chain Model for Analyzing Probability Measures of P2P Streaming Network // Lecture Notes in Computer Science: Proc. of the 11-th International Conference on Next Generation Wired/Wireless Networking NEW2AN-2011 (August 23-25, 2011, St. Petersburg, Russia). 2011. P. 428-439.
Bouzas P.R., Valderrama M.J., Aguilera A.M., Ruiz-Fuentes N. Modelling the mean of a doubly stochastic poisson process by functional data analysis // Computational Statistics and Data Analysis. 2006. V. 50(10). P. 2655-2667.
Centanni S., Minozzo M. A Monte Carlo approach to filtering for a class of marked doubly stochastic poisson processes // Journal of the American Statistical Association. 2006. V. 101. P. 1582-1597.
Dubois J.-P. Traffic estimation in wireless networks using filtered doubly stochastic point processes (Conference Paper) // Proceedings - 2004 International Conference on Electrical, Electronic and Computer Engineering, ICEEC'04 2004. 2004. P. 116-119.
Hossain M.M., Lawson A.B. Approximate methods in Bayesian point process spatial models // Computational Statistics and Data Analysis. 2009. V. 53(8). P. 2831-2842.
Лившиц К.И., БубликЯ.С. Распределение условного времени до разорения страховой компании при дважды стохастических потоках страховых премий и страховых выплат // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 1(18). С. 91-101.
Gortsev A.M., Nezhelskaya L.A., Solovev A.A. Optimal State Estimation in MAP Event Flows with Unextendable Dead Time // Automation and Remote Control. 2012. V. 73, No. 8. P. 1316-1326.
Бахолдина М.А. Оптимальная оценка состояний модулированного обобщенного полусинхронного потока событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 2(23). С. 1021.
Бахолдина М.А., Горцев А.М. Оптимальная оценка состояний модулированного обобщенного полусинхронного потока событий при непродлевающемся мертвом времени // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2014. № 1(26). С. 13-24.
Bakholdina M.A., Gortsev A.M. Optimal estimation of the states of modulated semi-synchronous integrated flow of events in condition of its incomplete observability // Applied Mathematical Sciences. 2015. V. 9, No. 29. P. 1433-1451.
Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание длительности «мертвого времени» и интенсивностей синхронного дважды стохастического потока событий // Радиотехника. 2004. № 10. С. 8-16.
Васильева Л.А., Горцев А.М. Оценивание параметров дважды стохастического потока событий в условиях его неполной наблюдаемости // Автоматика и телемеханика. 2002. № 3. С 179-184.
Горцев А.М., Завгородняя М.Е. Оценка параметров альтернирующего потока событий при условии его частичной наблюдаемости // Оптика атмосферы и океана. 1997. Т. 10, № 3. С. 273-280.
Горцев А.М., Климов И.С. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий в условиях частичной его ненаблюдаемости // Радиотехника. 1991. № 12. С. 3-7.
Normey-Rico J.E. Control of dead-time processes. Advanced textbooks in control and signal processing. Springer, 2007.
Горцев А.М., Калягин А.А., Нежельская Л.А. Оптимальная оценка состояний обобщенного полусинхронного потока событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 2(11). С. 66-81.
Bakholdina M, Gortsev A. Joint probability density of the intervals length of the modulated semi-synchronous integrated flow of events and its recurrence conditions // Communications in Computer and Information Science. 2014. V. 487. P. 18-25.
Бахолдина М.А., Горцев А.М. Совместная плотность вероятностей длительности интервалов модулированного обобщенного полусинхронного потока событий и условия его рекуррентности // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2014): материалы XIII Междунар. науч.-практ. конф. им. А.Ф. Терпугова (20-22 ноября 2014 г.). Томск : Изд-во Том. ун-та, 2014. Ч. 2. С. 137-143.
Бахолдина М.А., Горцев А.М. Плотность вероятностей длительности интервала между соседними событиями модулированного обобщенного полусинхронного потока событий при непродлевающемся мертвом времени // Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения : материалы Междунар. науч. конф., посв. 80-летию проф., д-ра физ.-мат. наук Г.А. Медведева. Минск, 23-26 фев. 2015 г. / редкол.: Н.Н. Труш [и др.]. Минск : РИВШ, 2015. С. 17-22.
