Asymptotic analysis of queueing system MAP/GI/∞ with high-rate arrivals
In the paper, the infinite-server queueing system with the Markovian arrival process and with the general form of service time distribution is considered. The analysis is performed under the asymptotic condition of arrivals' rate infinite growth. The high intensive Markovian arrival process is defined by representation (ND
0, ND
1), where N is the scalar that characterizes the high rate of arrivals. Let D
0 and D
1 be square matrices. A rate of the arrivals is equal to NX. Here X = 0D
1e, 0 is a row vector of stationary probability distribution of the embedded Markov chain of the MAP, e is the column vector with entries all equal to 1. The service time for each customer is a random variable with the cumulative distribution function B(t). The approximations of the 2
and 3
orders for the characteristic function of number of customers in the stationary regime are obtained. The approximation of the second order is the Gaussian distribution with mean NXb and variance [NXb + Мф]. Here да да 2 b = j(1 - B(t))dt is the average service time, P = j(1 - B(t)) dt, к is defined by the expression к = 2g(D
1 - XI)e, and the row 0 0 vector g satisfies the linear matrix equation gD = 0(XI - D
1), where D = D
0 + D
1 and I is the identity matrix. The approximation of the third order is equal to h(u) = expjjuNib + j)[Nib + NkP] + [NXb + 3NkP + N|y]j ,
3 where j = V- 1 , у = J (1 - B(t)) dt, ^ = 6g
2(D
1 - XI)e - 3Kg, the row vector g
2 satisfies the following linear matrix equation k g 2 D = 0 + Xg. - - X|I - D1 The numerical analysis of the applicability of the obtained asymptotic results is also performed. It is shown that the asymptotic approximation of the second order (Gaussian approximation) provides enough accuracy when the arrivals rate is greater than rate of the servicing by 30 times or more (N > 30). On other hand, the third order approximation provides the similar accuracy for values N > 10. Therefore, it is reasonable to use the obtained Gaussian approximation as a more comfortable form for usage when N > 30, and we need take the approximation of the third order when a value of the parameter N is less than 30.
Keywords
система массового обслуживания,
MAP-поток,
неограниченное число приборов,
асимптотический анализ,
queueing system,
Markovian arrival process,
infinite-server system,
asymptotic analysisAuthors
| Moiseev Alexander N. | Tomsk State University | moiseev.tsu@gmail.com |
Всего: 1
References
Грачев В.В., Моисеев А.Н., Назаров А.А., Ямпольский В.З. Многофазная модель массового обслуживания системы распреде ленной обработки данных // Доклады ТУСУР. 2012. № 2(26), ч. 2. С. 248-251.
Маталыцкий М.А., Статкевич С.Э. НМ-сети как новые стохастические модели прогнозирования доходов различных объек тов // Вестник ГрГУ. Сер. 5. Экономика. 2009. № 1. С. 107-115.
Гарайшина И.Р. Исследование математических моделей процессов государственного пенсионного страхования : дис.. канд. физ.-мат. наук. Томск : ТГУ, 2005. 148 с.
Гасников А.В. и др. Введение в математическое моделирование транспортных потоков : учеб. пособие / под ред. А.В. Гасникова. М. : МФТИ, 2010. 362 с.
Heyman D.P., Lucantoni D. Modelling multiple IP traffic streams with rate limits // IEEE/ACM Trans. on Networking. 2003. V. 11, No. 6. P. 948-958.
Neuts M.F. A versatile Markovian arrival process // J. of Appl. Prob. 1979. V. 16. P. 764-779.
Lucantoni D.M. New results on the single server queue with a batch Markovian arrival process // Stochastic Models. 1991. V. 7. P. 1-46.
Breuer L., Baum D. An introduction to queueing theory and matrix-analytic methods. Springer, 2005. 271 p.
Kendall D.G. Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by the method of the imbedded Markov chains // Ann. Math. Statist. 1953. V. 24(3). P. 338-354.
Whitt W. On the heavy-traffic limit theorem for GI/G/o> queues // J. Adv. Appl. Prob. 1982. V. 14. P. 171-190.
Kingman J.F.C. On queues in heavy traffic // J. of the Royal Statistical Society. 1962. Series B 24(2). P. 383-392.
Iglehart D.L., Whitt W. Multiple channel queues in heavy traffic // Adv. Appl. Prob. 1970. V. 2. P. 150-172.
Iglehart D.L. Limit diffusion approximations for the many server queue and the repairman problem // J. of Appl. Prob. 1965. V. 2. P. 429-441.
Боровков А.А. О предельных законах для процессов обслуживания в многоканальных системах // Сибирский математический журнал. 1967. Т. 8, № 5. С. 983-1004.
Горбатенко А.Е., Назаров А.А. Исследование МАР-потока в условиях растущей интенсивности // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008. № 3(4). C. 66-70.
Лопухова С.В. Исследование ММР-потока асимптотическим методом m-го порядка // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008. № 3(4). C. 71-76.
Назаров А.А., Семенова И.А. Исследование системы ММР^да методом просеянного потока // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 4(17). C. 74-84.
Моисеев А.Н., Назаров А.А. Исследование системы массового обслуживания HIGI|GI|o> // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 2(23). С. 75-83.
Cox D.R. The analysis of non-Markovian stochastic processes by the inclusion of supplementary variables // Proc. Camb. Phil. Soc. 1955. V. 51. P. 433-441.
Henderson W. Alternative approaches to the analysis of M/G/1 and G/M/1 queue // J. Oper. Res. Soc. Japan. 1972. V. 15. P. 92-101.
Назаров А.А., Моисеева С.П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. Томск : Изд-во НТЛ, 2006. 112 с.
Рыков В.В., Иткин В.Ю. Математическая статистика и планирование эксперимента : учеб. пособие. М. : МАКС Пресс, 2010. 308 с.
