Queueing system H2|GI|<» with an infinite mean of service time
The paper deals with queueing systems with an unlimited number of devices and renewal arrival process, in which the lengths of inter-arrivals have a two-phase hyper-exponential distribution function: A(x) = q(1 -e-^) + (1 -q)(1 -e^2) . (1) Service times are independent and identically distributed with distribution function B(x) and they have infinite first moments, that is J (1 - B(x))dx = m . (2) 0 Due to expression (2), there is no stationary probability distribution of the number of customers in the considered system. Using the method of dynamic screening, the average value and variance of the number of customers in the system are obtained. Mean of the number of customers in the system at the instant T is given by expression 1 t M {i(T)} = - J(1 - B(x))dx , (3) a 0 where X =1 is an intensity of the arrival process. a Variance of the number of customers in the system at the instant T is determined by the following expression: ~T - y J (1 - B(x))(1 -B(x + y))dx dy, (4) 1 T ' D{i(T)} =1J (1 - B(x))dx + eJve~vya 0 0 where 9 = | q(1 q), and v = a . ^ XjX2a J a A numerical implementation of the discrete Gaussian approximation of the probability distribution P(i,T) is proposed. The range of applicability of the proposed approximation is determined using simulation approach.
Keywords
система с неограниченным числом приборов,
бесконечное значение среднего времени обслуживания,
рекуррентный поток,
метод динамического просеивания,
infinite-server queueing system,
infinite mean of service time,
dynamic screening methodAuthors
| Nazarov Anatoly Andreevich | Tomsk State University | nazarov.tsu@gmail.com |
| Khudyashova Ekaterina Evgenievna | Tomsk State University | kopnova.e@gmail.com |
| Moiseev Alexander Nikolaevich | Tomsk State University | moiseev.tsu@gmail.com |
Всего: 3
References
Гарайшина И.Р. Исследование математических моделей процессов государственного пенсионного страхования : дис.. канд. физ.-мат. наук, Томск, 2005. 148 с
Афанасьева Л.Г., Руденко И.В. Системы обслуживания GI|G|<» и их приложения к анализу транспортных моделей // Теория вероятностей и ее применение. 2012. Т. 57, вып. 3. С. 427-452.
Грачёв В.В., Моисеев А.Н., Назаров А.А. Ямпольский В.З. Многофазная модель массового обслуживания системы распре деленной обработки данных // Доклады ТУСУРа. 2012. № 2 (26), ч. 2. С. 248-251.
Морозова А.С., Моисеева С.П., Одинцов К.М. Математическая модель процесса изменения числа клиентов торговой ком пании в виде СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов // Научное творчество молодежи : материалы XI Всерос. Науч.-практ. конф., Анжеро-Судженск, 20-21 апр. 2007 г. Томск : Изд-во Том. ун-та, 2007. Ч. 1. С. 37-39.
Riordan J. Telephone traffic time averages // Bell Labs Technic. J. 1951. V. 30, No. 4. P. 1129-1144.
Takacs L. An introduction to queueing theory. New York : Oxford University Press, 1962.
Downton F. Congestion systems with incomplete service // J. Roy. Statist. Soc. Ser. B (Methodological). 1962. V. 24, No. 1. P. 107-111.
Mirasol N. M. Letter to the editor-the output of an M\G|да queuing system is Poisson // Oper. Res. 1963. V. 11, No. 2. P. 282-284.
Whitt W. On the heavy-traffic limit theorem for GI\G|да queues // Advances in Applied Probability. 1982. P. 171-190.
Yamada K. A heavy traffic limit theorem for G|M|да queueing networks // Probability Theory and Mathematical Statistics. Springer Berlin Heidelberg, 1988. P. 549-564.
Pang G., Whitt W. Two-parameter heavy-traffic limits for infinite-server queues // Queueing Systems. 2010, V. 65, No. 4. P. 325364.
Чернавская Е.А. Предельные теоремы для бесконечноканальных систем с тяжелыми хвостами распределений времен обслуживания : дис.. канд. физ.-мат. наук / МГУ им. М.В. Ломоносова. М., 2016. 93 с.
Bashtova E.E., Chernavskaya E.A. Limit theorems for infinite-channel queueing systems with heavy-tailed service times // Analytical and Computational methods in Probability theory and its Applications. 2017. P. 110-112.
Puhalskii A.A., Reed J.E. On many-server queues in heavy traffic // Annals of Applied Probability. 2008. V. 20. P. 129-195.
Reed J. The G/GI/N queue in the Halfin-Whitt regime // Annals of Applied Probability. 2009. V. 19, is. 6. P. 2211-2269.
Fralix B.H., Adan I.J.B.F. An infinite-server queue influenced by a semi-Markovian environment // Queueing Systems. 2009. V. 61. P. 65-84.
Моисеев А.Н., Назаров А.А. Бесконечнолинейные системы и сети массового обслуживания. Томск : Изд-во НТЛ, 2015. 240 с.
Machihara F. An infinitely-many-server queue having Markov renewal arrivals and hyperexponential service times // J. of the Operations Research Society of Japan. 1986. V. 29. P. 338-351.
Massey W.A., Whitt W. Networks of infinite-server queues with nonstationary Poisson input // Queueing Systems. 1993. V. 13. P. 183-250.
Ramaswami V., Neuts M. Some explicit formulas and computational methods for infinite-server queues with phase-type arrival // J. of Applied Probability. 1980. V. 17. P. 498-514.
Van Doom E.A., Jagers A.A. A note on the GI/GI/<» system with identical service and interarrival-time distributions // Queueing Systems. 2004. V. 47. P. 45-52.
Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания : учебник. М. : Изд-во РУДН, 1995. 529 с.
Моисеев А.Н., Назаров А.А. Исследование системы массового обслуживания HIGI|GI|<» // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 2 (23). С. 75-83.
Моисеев А.Н., Назаров А.А. Асимптотический анализ многофазной системы массового обслуживания с высокоинтенсивным рекуррентным входящим потоком // Автометрия. 2014. Т. 50. № 2. С. 67-76.
Назаров А.А., Моисеев А.Н. Исследование открытой немарковской сети массового обслуживания GI-(GI|<»)K с высокоинтенсивным рекуррентным входящим потоком // Проблемы передачи информации. 2013. Т. 49, вып. 2. С. 78-91.
