Asimptotic analysis of heterogeneous queuing system M|M| in a Markov random environment
In this paper, an inhomogeneous queuing system with an unlimited number of servers operating in a random environment is considered. The arrival process is a Poisson Process, the process of changing the state of the environment is a Markov chain, which is given by the matrix of infinitesimal characteristics. The service discipline is defined as follows: if the customer comes with some intensity, then it is served by a random time distributed according to an exponential distribution with the corresponding parameter, which does not change when, the state of the environment changes. We proposed the characteristic functions method and the asymptotic analysis method to study the system. Using partial characteristic functions, we obtained the matrix equation which allows us to determine the main characteristics of the system». Applying the asymptotic analysis method, we obtained the solution of this equation under the condition of an infinitely growing servicing time. It determines the average number of occupied servers of each type in the system. For a more detailed study, we used an asymptotic analysis of the second order, as a result we showed that the asymptotic characteristic function of the number of occupied servers of each type in the system has the form of a Gaussian characteristic function and the probability distribution of the number of occupied servers of each type in the system under the condition of an infinitely growing service time is a multidimensional Gaussian distribution.
Keywords
бесконечнолинейная система массового обслуживания,
случайная среда,
метод асимптотического анализа,
infinite-server queue,
asymptotic analysis method,
random environmentAuthors
| Polin Evgeny P. | Tomsk State University | polin_evgeny@mail.ru |
| Moiseeva Svetlana P. | Tomsk State University | smoiseeva@mail.ru |
| Rozhkova Svetlana V. | Tomsk Polytechnic University | rozhkova@tpu.ru |
Всего: 3
References
Моисеева С.П., Полин Е.П. Исследование математической модели бесконечнолинейной СМО с входящим MAP-потоком переменной интенсивности // Доклады 12-й Междунар. азиатской школы-семинара «Проблемы оптимизации сложных систем». 12-16 декабря 2016 г. Новосибирск, 2016. С. 380-384.
Таташев А.Г. Система массового обслуживания с переменной интенсивностью входного потока // Автоматика и телеме ханика. 1995. № 12. С. 78-84.
Дудин С.А., Дудина О.С. Многоканальная система обслуживания с марковским входным потоком нетерпеливых запро сов, функционирующая в случайной среде // Информатика. 2015. № 1. С. 45-55.
Eisen M., Tainiter M. Stochastic variations in queueing processes // Opens. Res. 1963. V. 11. P. 922-927.
Naor P., Yechiali U. Queueing problems with heterogeneous arrivals and service // Opens. Res. 1971. V. 19, No. 3. P. 722-734.
Yechiali U. A queueing tipe birth and death process defined as a continuous time markov chain // Opens. Res. 1973. V. 21, No. 2. P. 604-629.
Baykal-Gursoy M., Xiao W. Stochastic Decomposition in M/M/» Queues with Markov Modulated Service Rates // Queueing Syst. 2004. V. 48. P. 75-88.
O'Cinneide C.A., Purdue P. The M/M/» Queue in a random environment // J. Appl. Prob. 1986. V. 23. P. 175-184.
Blom J., Kella O., Mandjes M., Thorsdottir H. Markov-Modulated Infinite-Server Queues with General Service Times // Queueing Syst. 2014. V. 76. P. 403-424.
D'Auria B. M/M/» queues in semi-Markovian random environment // Queueing Syst. 2008. V. 58. P. 221-237.
Falin G. The M/M/» Queue in Random Environment // Queueing Syst. 2008. V. 58. P. 65-76.
Fralix B.H., Adan I.J.B.F. An infinite-server queue influenced by a semi-markovian environment // Queueing Syst. 2009. V. 61. P. 65-84.
Linton D., Purdue P. An M/G/» Queue with m customer types subject to periodic clearing // Opsearch, 1979. V. 16. P. 80-88.
Назаров А.А., Баймеева Г.В. Исследование системы М/М/» в полумарковской случайной среде // Известия вузов. Физика. 2015. Т. 58, № 11/2. С. 198-203.
Моисеев А.Н., Моисеева С.П. Исследование входящего потока для GRID-системы с адаптируемым выделением вычислительных ресурсов // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 3 (20). С. 81-87.
Полин Е.П. Исследование системы MMPP(n)|M(n)|» методом моментов // Труды Томского государственного университета. Т. 302. Сер. физико-математическая. Томск : Издательский Дом ТГУ, 2018. С. 306-311.
Назаров A.A., Моисеева С.П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. Томск : Изд-во HTJI, 2006. 112 с.
Убонова Е.Г., Панкратова Е.В. Гауссовская аппроксимация для системы массового обслуживания MMPP/M/» с разнотипным обслуживанием // Известия вузов. Физика. 2015. Т. 58, № 11/2. С. 225-230.
