The linear stability of an inviscid shear flow of a thermally non-equilibrium molecular gas.pdf Классические результаты по линейной устойчивости плоскопараллельных течений, полученные Гельмгольцем, Кельвином и Рэлеем, рассмотревшими случай идеальной несжимаемой жидкости, были распространены на задачи о течениях идеального газа неоднородной стратифицированной и проводящей жидкостей в полях различных массовых сил [1]. В последние годы в связи с проблемами управления потоками химически реагирующих, частично ионизированных, оптически возбужденных сред возник интерес к устойчивости термически неравновесных течений молекулярных газов. Обзор результатов исследований в этой области можно найти в монографии [2]. В работах [3-6] рассматривалась диссипация крупной вихревой структуры в сдвиговом потоке слабо неравновесного и колебательно-возбужденного газов. Изучалось воздействие релаксации колебательной моды на вихревую дорожку Кармана за цилиндром [7]. На основе энергетической теории устойчивости получены оценки влияния релаксационного процесса на критическое число Рейнольд-са в течении Куэтта [8-11]. Результаты всех этих работ позволяют заключить, что термическая неравновесность может существенно влиять на процессы эволюции возмущений различных пространственно-временных масштабов, ускоряя их диссипацию. В данной работе цитированные выше результаты по устойчивости плоскопараллельных течений обобщаются на течения колебательно-возбужденного сжимаемого газа. Основные уравнения В координатной плоскости (x, y) рассматривается плоскопараллельное сдвиговое течение, в котором основной (несущий) поток плотности pS (y) и температуры TS (y) направлен вдоль оси абсцисс x и имеет профиль скорости US =US (y). Возмущенное течение описывается системой уравнений двухтемпературной газовой динамики [2, 12]. Используя в качестве масштабирующих величин некоторые характерные длину L, скорость U0, плотность р0, температуру Т0 и образованные из них время t0=L/U0 и давление p0=p0U02, получим, что в безразмерных переменных эта система уравнений примет вид ^ я А д u■ д u - + u,-: дt J д x, V J д p д x др = 0, р д t д x■ P (дТ + u, ^1 + (у -1) pT ^ = Yvlb p (Tvlb - T), (1) V191 д x) д x tvt(1 - Yvib) ^ + щ ^ + (Tvlb - T) = 0, YM2p = pT, i, j = 1,2, д t д x, tvt где p, u, p, T, Tvlb, tvt - плотность, компоненты вектора скорости, давление, статическая и колебательные температуры газа и время колебательной релаксации соответственно, а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Параметры, входящие в уравнения системы (1), определяются следующим образом. Параметр Yvlb = cvlb /(ctr + crot + cvlb) определяет долю внутренней энергии газа, приходящуюся на колебательные моды молекул, и в каком-то смысле характеризует степень неравновесности последних; M = U0 /^yRT0 - число Маха, Y = (ctr + crot + R)/(ctr + crot) - показатель адиабаты, R - газовая постоянная и ctr, crot, cvlb - удельные теплоемкости при постоянном объеме, определяющие соответственно энергоемкость поступательных, вращательных и колебательной мод молекул газа. Все определенные здесь теплоемкости предполагаются постоянными. Система (1) описывает распространенную в аэродинамике ситуацию, когда характерные времена микроскопических процессов энергообмена между различными степенями свободы молекул газа оцениваются системой неравенств [2, 12]: ттт ~ trt 0 Для проверки первого условия Рэлея достаточно заметить, что выражение в квадратных скобках под интегралом в (11) неотрицательно. Поэтому для нарастающих возмущений при c > 0 мнимая часть A, = 0 тогда и только тогда, когда разность Wr = US - cr меняет знак в поле течения. Следовательно, для развития неустойчивости в рассматриваемом течении термически неравновесного газа необходимо выполнение первого условия Рэлея в той же форме, что и для случаев однородной и стратифицированной несжимаемой жидкости [1, 13] и идеального газа [14]: min US = u < cr < U = max US. (12) Из (12) следует, что для любого нарастающего невязкого возмущения комплексная фазовая скорость c = cr + ic, должна лежать в верхней полуплоскости ct > 0 в полуполосе, ширина которой определяется условием (12). Однако более жесткое условие на фазовую скорость c = cr+ici, известное как теорема о полукруге (Howards's semicircle theorem [1, 13]), здесь удается получить лишь при некоторых дополнительных условиях (см. условие (14)). При доказательстве теоремы о полукруге в качестве исходного соотношения рассматривается неравенство [1, 13] y2 J (US -u)(US -U)Qdy = I2 -(U + u)I1 + uUI0 < 0, (13) I0 = J Qdy, I1 = J UsQdy, I2 =J U2 Qdy. У2 У2 У2 где У1 У1 У1 Используя выражения (10) и (11), перепишем интегралы Ik (k= 1, 2) следующим образом: J У2 I1 = crI0 --, I2 = 2crI1 - (cr2 - c2)10 + K, J = a2M2 J WrQ^ p |2 dy. 2ci y1 Подстановка этих выражений в неравенство (13) позволяет преобразовать его к виду 22 cr -u+UI2 + c2 -(U - u)2 J ( u + U . Л Ia + -(---cr | + K < 0. При выполнении условия u + U V 2 (U - u)2 cr--| + c2 и тогда справедлива теорема о полукруге [1, 13]: « Для любой неустойчивой моды при cl > 0 значения комплексной фазовой скорости c = cr + ic, лежат в верхней полуплоскости в полукруге радиуса r0 = |U -u|/ 2 с центром в точке cr = (U + u)/ 2». Таким образом, условие (14) является достаточным для справедливости теоремы о полукруге. Для идеального газа (т.е. когда yvlb=0) получаем, что J ^ 0 и для нарастающих возмущений при ci > 0 из (10) следует неравенство ci K > 0. В результате достаточное условие (14) выполняется и имеет место теорема о полукруге. В силу отмеченной непрерывности перехода к случаю идеального газа неравенство (14) и теорема о полукруге будут справедливы и при малых, но конечных уровнях возбуждения, пока незнакоопределенное слагаемое в неравенстве (14) не меняет знак всего выражения. В общем же случае для произвольного уровня возбуждения выполнение неравенства (14) надо проверять при конкретных значениях входящих в него параметров. В качестве примера проведем проверку условия (14) для плоского сжимаемого течения Кутта колебательно-возбужденного молекулярного газа с параболическим профилем статической температуры потока: (Y - 1)PrM2 т где Pr - число Прандтля несущего потока. Отметим, что подобные профиля несущего потока использовались в работах [15-17] при исследовании устойчивости сжимаемого течения Куэтта идеального газа по отношению к малым возмущениям гидродинамических переменных. Из условия (12) следует, что первое условие Рэлея для (15) примет вид 0 < cr < 1. (16) Тогда условие (14) следует рассмотреть отдельно для интервалов 0 < cr < 1/2 и 1/2 < cr < 1. При 0 < cr < 1/2 из развернутой записи (14) следует оценка снизу: Us (У) = У, Ts (y) = 1 + (Y )2Г-(1 - y2 ), 0 < y < 1, (15) J\u+U - cr | + c,K > 0 (14) имеет место неравенство J V 2 - cr ) + c,K = ( 2 - cr) a2M2} 1 +a2M2c, J Yv (Y -1) aTvT L Y (R12 +A2) J (y - cr )l p |2 dy + Rj(1 + yv + a Tvt c,) + A2 p I2 dy > (R2 + A2) V 2 - cr | a4M2 tVt c J (y2 + 2 ry + * )dy Yv (Y-1) 1 1 Yv(Y-1) , R1c, Yvlb где r =----, q =------1--, Yv =" 2 YaTvT 2 4 2 YaTvT aTvT 1 - Yvlb Из последнего интеграла видно, что неравенство (14) будет выполнено, если квадратный трехчлен в подынтегральном выражении не будет иметь действительных корней на интервале интегрирования >"£[0, 1]. В свою очередь, для этого достаточно, чтобы y2 + 2 ry + q > 0 на интервале 0 < у < 1. Условие комплексной сопряженности (кратности) корней выражается неравенствами Y vib(T -1) YaTvT (1 - Yvib) R1 < 1, < 1. (17) axv После исключения из (17) комплекса axVT получается неравенство Y Yvlb < 2(1-y)' которое при рассматриваемых уровнях возбуждения 0 < Yvlb < 1 всегда выполнено. При 1/2 < cr < 1 для (14) оценка снизу получается в виде J (1 - Cr ) + ^ = (2 - C Yv (Y -1) aTvT L Y (R12 +A2) J 2M2j (> - cr )| p |2 dy + +a2M2c. j 0 >( Cr- I) °4M2 TVT 2 +A2) Pi2 dy > (R2 + A2) (y - Cr )2-(y - Cr + ^L YaivT axvT J R1(1 + Yv + axvt C) + A dy. В данном случае для выполнения неравенства (14) достаточно, чтобы выделенный в подынтегральном выражении квадратный трехчлен не обращался в нуль на интервале интегрирования ye[0, 1]. Анализ соответствующего условия комплексной сопряженности (кратности) его корней также приводит к неравенствам (17), которые не являются ограничительными для комплекса axvT, так как при axvT -^0 неравенство (14) будет выполнено. Одновременно, как было отмечено, из (14) не следует ограничения на глубину возбуждения yvib. Таким образом, получаем, что для плоского течения Кутта колебательно-возбужденного молекулярного газа достаточное условие (14) выполняется и имеет место теорема о полукруге. Далее рассмотрим второе условие Рэлея (обобщенное условие точки перегиба [1, 13]). Будем исходить из уравнения для амплитуды возмущения продольной скорости v (7), которое в самосопряженной форме имеет вид v = 0, v _ = v 1 = 0, ' ly=0 ly=1 US 1 + (18) Ts W V X где x = TS - M2 m2 W2. Введем новую переменную v = . После ее подстановки в уравнение (18) последнее примет вид XH = 0, h|>=0 = HU = 0. (19) US 1 + H"- X17 2 (x-1/2) Hy=1 Ts W V X Помножим уравнение (19) на комплексно-сопряженную функцию H и полученное равенство проинтегрируем по y в интервале от y\ до y2 с учетом однородных граничных условий. В результате получим следующую квадратичную форму: ( У2 F = J a^+A f Уц + Ts W V X х1/2 (х-1/2) 2 H|: dy = 0. H (20) У1 Представим % в виде -1/2 I |± 1/2 ± iф I |± 1/2 r I ■ • 1 f х,Л V х r ) = | Х| е =| Х| [cos ф ± i sln ф], ф = arctg (21) где X" Xr = Ts - M2 (mr2 e2 - m,2 e2), x, = -M2(mr2 ег2 + m,2 e2) e2 = Wr2 - W2, e? = 2WrW . 2/„.2 2 , „.2 2, Используя равенства (21), выделим из квадратичной формы (20) ее мнимую часть F. В результате получим, что F, запишется следующим образом: У2( F, = J \ -Гц W\2 + (Xi Wr -хr W,) K'r - (Xr Wr + X, W,) k; + S У1 (|x |-1/2COS ф ) sln ф -(x |-1/2Sln ф) cos ф H W +1 x |1/2| w| 2 -dy = 0, (22) где K = xU_ K = x ,US |x| lx При c,-0 (или W,-^0) можно считать, что 2 ~ 2 = (1 + Yv )(1 + Yv / Y) + a2tVt w2 m, и m, = ■ m,2 и mi = - (1 + Yv / Y)2 + a2tVT Wr2 Yv (Y-1) aTvT Wr Y[(1 + Yv/Y)2 + a2tvt Wr2; Xr и Xr = Ts -m2 M2 wr , Xi и Xi = -mm2 M2 Wr2, ф и ф = arctg( ^/хr), K ~ K = X r U' K ~ K = X i US Y = Yvlb Yv = 1 - Yvlb |X| а квадратичную форму (22) записать в виде F и F = J f (y) (23) -dy. У1 |W|2 Здесь функция f (y) определяется следующим образом: f (У) = . I ~ 11/2 TT/2 + X Wr a2 Wr2 Xi +(x, Wr - x r w, ) Kr- (x r Wr + x, W) K + S 11 n (x |-1/2cosф) sln ф -(x |-12 sln ф) cosф 2 H Поскольку всегда | H |2/| W |2 > 0, то квадратичная форма F. (23) равна нулю тогда и только тогда, когда найдутся такие точки (или точка) yp, в которых функция f (24) будет обращаться в нуль: f (y )| = 0. 'у=>р Условие (25) обобщает на случай колебательно-неравновесного газа условие Рэлея о необходимости существования точки перегиба на неустойчивом профиле скорости [1, 13]. В случае идеального газа (т.е. когда Yvib = 0 или yv = 0) имеем m2Г = 1, m2 = 0. Тогда можно считать, что Xr ~ TS -M2 W2, XX. = 0, Кг и US/ Xr, K = 0 , ф = 0 . В результате из (23) и (24) получаем следующее равенство: (25) y2 US X r -US X r X r H W -dy = 0, которое иметь место только тогда, когда выполняется условие US Xr -US X'r (26) X r = 0. y=>р Например, если рассматривается плоское течение Куэтта с параболическим профилем температуры (15), то из условия (26) следует, что обобщенная точка перегиба (Y-1)РГ 2 1+ Ур = cr и с учетом первого условия Рэлея на cr (16) лежит внутри интервала 0 < у < 1. Заключение В рамках модели двухтемпературной газовой динамики исследована задача линейной устойчивости плоскопараллельных сдвиговых течений термически неравновесного молекулярного газа. В результате было проведено обобщение условий Рэлея и теоремы о полукруге (теорема Ховарда) для таких течений [1, 13]. Показано, что для развития неустойчивости в сдвиговом течении термически неравновесного газа необходимо выполнение первого условия Рэлея (12) в той же форме, что для случаев однородной и стратифицированной несжимаемой жидкости [1, 13] и идеального газа [14]. Однако более жесткое условие на комплексную фазовую скорость, известное как теорема о полукруге [1, 13], удается получить лишь при некоторых дополнительных условиях, которые определяются неравенством (14). Рассмотрен пример проверки достаточного условия (14) теоремы Хо-варда для плоского течения Кутта колебательно-возбужденного молекулярного газа с параболическим профилем статической температуры потока (15). Для случай колебательно-неравновесного газа получено обобщенное условие о необходимости существования точки перегиба на неустойчивом профиле скорости (второе условие Рэлея), которое определяется равенствами (24), (25).

Скачать электронную версию публикации