On solving equations of lagrangian hydrodynamics.pdf 1. Уравнения Лагранжа Течение несжимаемой жидкости можно записывать в переменных Эйлера или в переменных Лагранжа. Обе формы этих уравнений были известны давно, но гидродинамики обычно предпочитают пользоваться переменными Эйлера. Это объясняется необычностью уравнений Лагранжа. В них нелинейные члены входят в форме, которая неудобна для расчетов и аналитических выкладок. Так, для двумерной задачи уравнения Лагранжа записываются в виде дх .. dy .. d f p Л dx .. dy .. d f p Л - х- +-y =--1 - + gy I, -x + - y =--1 - + gy I. (1) da da da ^ p J db db db ^ p J Предполагается, что сила тяжести является единственной внешней силой. К уравнениям (1) добавляется условие несжимаемости в виде детерминанта, который должен быть равен единице: дх_ dy _дх_ dy = 1 da db db da Искомыми величинами являются функции х(a,b, t), y(a, b, t) и p (a,b,t), которые должны определяться из системы трех дифференциальных уравнений (1), (2). Дополнительными условиями являются граничные условия, условия на свободной поверхности и начальные данные. Независимыми переменными являются параметры a и b , которые позволяют различать частицы. Система уравнений Лагранжа все еще недостаточно исследована с математической точки зрения. В классических работах [1, 2] этим уравнениям посвящены не более трех небольших параграфов. Из точных решений известна только волна Герстнера, распространяющаяся над бесконечно глубокой жидкостью. В задачах о разрушении плотины или о всплывании пузыря [3] предполагается существование решения в виде степенных рядов по времени с коэфициентами, зависящими от a и b. Сходимость для этих рядов не была изучена, но кажется правдоподобным, что они сходятся, по крайней мере, для достаточно малых промежутков времени. В последней из известных нам работ [4] переменные Эйлера и переменные Лагранжа используются одновременно в глубокой связи друг с другом. Но и в ней не делается попыток исключения условия несжимаемости (2) из уравнений Лагранжа с целью уменьшения числа искомых переменных величин. Поэтому в настоящей статье показывается, что условие несжимаемости (2) можно выполнить автоматически, если координаты частицы x (a, b, t) и y(a, b, t) выразить через одну и ту же произвольную функцию, зависящую от координат и времени. В пере-меных Лагранжа такая функция играет ту же роль что и функция тока в переменных Эйлера. 2014 № 3(29) Математика и механика 2. Условие несжимаемости Переменные a и b не обязательно должны обозначать начальные положения частиц жидкости. Вместо них можно применять и другие величины а и р , которые также являются координатами Лагранжа и изменяются непрерывно при переходе от одной частицы к другой. Уравнения движения (1) при этом не изменятся, а условие несжимаемости (2) в переменных а и р примет следующий вид: д( x, у) = д (a, b) 5(а,Р) д(а,Р). ( ) Для уравнения (3) можно дать решение, содержащее произвольную функцию. Для этого целесообразно рассматривать величины x, у и a, b одновременно как функции двух параметров а и р . Тогда решение уравнения (3) с помощью функции у(а,р,t) может быть представлено в следующем виде: x = a + Шp, у = Р-Ша; (4) a = а-Шр, b = Р + Ша. (5) Действительно, вычисляя функциональные определители (3) отдельно для левой и правой частей с помощью выражений (4) и (5), имеем 0,5 0 -0,5 Рис. 1. Пример расчета координат частиц жидкости в плоскостях а,в и a, b 3. Уравнения движения После введения функции у(а,р,t) отпадает необходимость в выполнении условия несжимаемости (2). Поэтому два уравнения движения (1) служат теперь для определения функции у и давления. В переменных а ив уравнения движения (1) записываются в виде (8) Sr.. оу .. д ( p ) dx .. оу .. д ( p - x +-у =--1 - + gy I, -x + -у =--1 - + gy 0,5 0 -0,5 da da da V p J др др др v P Если в них подставить величины x и у, выраженные через функцию у по формулам (4), то система уравнений (8) преобразуется к виду уар -У а уаа У р = -Фа , -У a- gy уар -У р урр У а = -Ф (9) V р- g У a aр ' в Здесь Ф = p / p + gв и нелинейные члены записаны в виде детерминантов. Посредством дифференцирования можно исключить правую часть Ф из системы уравнений (9). Тогда получаем, что функция у должна удовлетворять дифференциальному уравнению ф aa+y рр+^УОМ+d(ya1M = 0. Taa PP д(а, в) д(а, в) Из него видно, что имеется первый интеграл * aa+^ PP+^M + М = S (a> Р» = (11) д(а, в) где S (а, в) не зависит от времени. Если известна какая-либо функция у (а, в, t), удовлетворяющая уравнению (10) с подходящими граничными условиями на твердых стенках, то поиск давления из системы уравнений (9) сводится к решению уравнения Пуассона. В таких случаях обычно получается точное решение. Но возможны и приближенные математические модели, основанные на линеаризации уравнений (9), (10) или на теории «мелкой воды», как это обычно делается в уравнениях, записанных в переменных Эйлера. В любом случае применение функции у существенно упрощает решение прикладных задач, описываемых системой уравнений вида (1) и (2). (10) 4. Пример точного решения Решая задачу о стоячих волнах в слое жидкости, возьмем область переменных Лагранжа в виде бесконечной полосы: _оо

Скачать электронную версию публикации