Linear homeomorphisms of topological almost modules of continuous functions and coincidence of dimension.pdf Все неопределенные в статье понятия можно найти в [1]. В статье В.Г. Пестова [2] было доказано, что из линейной гомеоморфности пространств непрерывных функций Cp(X, R) и Cp(Y, R) следует совпадение размерностей dim X = dim Y, где dim X обозначает обычную лебегову размерность [1]. В данной статье вместо поля R рассматривается почти кольцо I = и вместо топологического векторного пространства Cp(X, R) - топологический почти модуль Cp(X, I) и доказывается аналогичный результат о совпадении размерностей. Под почти кольцом G понимается абелева группа по сложению и полугруппа по умножению < G, +, •>, причем существование единицы в G не предполагается (и закон дистрибутивности, вообще говоря, не имеет места). Если G наделено топологией и обе операции в G непрерывны, то G называется топологическим почти кольцом. Будем называть непустое множество A почти модулем над почти кольцом G, если выполнены следующие условия: 1) является абелевой группой; 2) для любых a, р e K, x e A, выполнено (xa)P = x(aP) и a(Px) = (aP)x. Пусть X - вполне регулярное Tj-пространство и G - произвольное топологическое почти кольцо. Рассмотрим пространство всех непрерывных функций {f | f: X ^ G}, наделённое топологией поточечной сходимости. введём на этом пространстве две операции: операцию сложения, в которой для любых g,h e{ f | f: X ^ G} положим (g + h)(x) = g(x) + h(x) и внешнюю операцию умножения (a,g) ^a-g(x) на число a из [0,1) соответственно. Получаем топологический почти модуль, который будем обозначать Cp(X, G). Определение 1. Топологические пространства X и Y называются G-эквива-лентными, если топологические почти модули Cp(X, G) и Cp(Y, G) топологически линейно гомеоморфны. Далее в качестве G будем рассматривать топологическое почти кольцо I = , где умножение определяется стандартным образом, а сложение -следующим образом: для любых x, y е I положим (x + y, если x + y < 1; x + y -1, если x + y > 1. Далее рассматривается только I-эквивалентность. Перейдем к изложению нашей модификации упомянутой выше теоремы В.Г. Пестова [2]. Отметим, что теорема Пестова являлась обобщением ряда предшествующих результатов [3-5] и была обобщена на случай равномерных гомеоморфизмов в [6]. Рассмотрим множество линейных непрерывных гомоморфизмов Lp(X,I)={f | f: Cp(X,I) ^I}, которое наделено топологией поточечной сходимости. Аналогично известной теореме об общем виде функционала на пространстве Cp(X, R) [7] сформулируем следующее утверждение. Лемма 1. Если f: Cp (X, I) ^ I - непрерывный гомоморфизм, то f (ф) = ^ "_1аг-ф( x;-) для всякого 0 , такие, что К , 2 f (O(g,x1,...,xn,e)) с [0,3)^(3,1), где O(g,x1,...,xn,e) - окрестность функции g в Cp (X, I). Можно считать, что xФ-xj при i Ц. Возьмем теперь фе Сp (X, I) так, что 1 2 ф(xi) = 0, i = 1,...,n. Покажем,что тогда f(ф) = 0. Ясно, что f (ф) с [0,3)^("3,1). Если к е N, то кфе O(g, x1,..., xn, e) для любого к, и поэтому | f (k ф) |< 1. 1 2 Если предположить, что f (ф) Ф 0, то для некоторого к: f (кф) с [3,3]. Получаем противоречие. Таким образом, f(ф) = 0. Выберем фг- е Cp (X, I) так, чтобы было фг- (xi) = -1, фг- (xf) = 0 при i Ф j, 2 i = 1,...n, и положим ai = 2f(фг-). Покажем, что для всякой функции феСp (X, I), f (ф) = а1 -ф( x1) +... ... + an • ф(xn). Положим у = 2 ф - ф(x1 )ф1 -... - ф(xn )фп . Очевидно, что ^еСp(X, I) и у(хг-) = 0 при всех i = 1,...n. Действительно, x)=1 Ф( x) - Ф( x1 )ф1(x) -...- Ф( xn )Фп (x)=2 ф( x) - ф( x) 1 = о. Тогда 0 = f (у) = 2 f (ф) - ф(Xj ) f (ф!) -... - ф(xn) f (Фп), n n получаем f (ф) = ^ 2ф(xi)f (ф.) = ^ aiф(xi), что и требовалось доказать. i=1 i=1 Рассмотрим следующее множество линейных непрерывных гомоморфизмов: Lp (X, I ) = { f |f: Cp (X, I) ^ I}. Это множество является абелевой топологической группой относительно операции сложения над почти кольцом I, то есть топологическим почти модулем. Назовем его сопряженным к Cp(X, I). Ясно, что если Cp (X, I) = Cp (Y, I), то Lp (X, I) = Lp (Y, I). Пусть теперь пространства X и Y являются I-эквивалентными. Введем следующее обозначение: L = Lp(X, I) (или Lp(Y, I)). Тогда X - максимальная линейно независимая система элементов в L. Отметим, что элементы из Lp(X, I) и Lp(Y, I) будем обозначать как X и y соответственно. Для элементов из X или Y «крышку» сверху мы будем просто опускать. Обозначим теперь через Bn (X) = {X | X = ^"ijaiXi е L, аг- е I, xi е X, i = 1,...,n} . Заметим, что система ненулевых элементов {xb x2, ..., xn} группы L называется линейно независимой, если из равенства kxx +... + knxn = 0(ki е I) следует, что kXj=... = knxn =0. Точнее, это означает, что ki = 0, если порядок элемента o(xi ) = да, или o(xi ) делит ki, если порядок o(xi ) элемента xi конечен. Далее положим lX (x) = min{n е N : X е Bn (X)}, An (X) = {X е L : lX (X) = n}. Определение 2. Пространство X назовем максимальной топологической системой образующих в L (или кратко максимальной ТСО), если X есть максимальная линейно независимая система элементов в L и для всех n е N базу открытых окрестностей каждой точки X = ^ ^/ах е An (X) образуют в Bn(X) множества вида ^"i_AiUi, где ai е Ai, At открыты в I|{0}, Xi еUi, Ui открыты в X и Ui n Uj = 0 при i Ф j, i, j = 1,2, ..., n. Лемма 2. Если X есть максимальная ТСО в L, то каждое Bn(X) замкнуто в L, n е N. Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент X е L \ Bn (X), тогда X = ^k=laiXi, ai е 11 {0}, Xi е X, i = 1,..k, k Ф n}. Так какX есть максимальная ТСО, то OX = ^._lAiUi, k Ф n, A, открыты в I|{0}, Ui открыты в X и Ui n Uj = 0 при i Фj, i, j = 1,2, ... ,k. Следовательно, OX с L \ Bn(X). Определение 3. Пространства X и Y назовем L -эквивалентными, если X и Y вкладываются в некоторый топологический почти модуль L в качестве максимальных топологических систем образующих. Пусть теперь X и Y вложены в топологический почти модуль L как максимальные ТСО, n e N, 5 = (mj,m2,...,mn) e Nn. Через L5 обозначим множество {x e L : lX (x) = n, x = £ п=

Скачать электронную версию публикации