Abelian groups with UA-ring of endomorphisms and their homogeneous mappings.pdf Идея данной работы возникла на основе статьи [1]. Заключается она в следующем: исследовать UA-свойства абелевых групп и их колец эндоморфизмов, используя данные о почтикольце однородных отображений [2-5]. Таким образом, мы обобщаем понятие «обобщенной эндопримальности» абелевой группы, введенное и исследованное У. Альбрехтом, С. Бреазом, У. Уиклессом [1]. В то же время мы по-новому определяем эндоморфные модули [2]. Это позволяет рассматривать обобщенно эндопримальные абелевы группы и эндоморфные модули с единых позиций. Вначале сформулируем необходимые для дальнейшего изложения определения. Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей, А и В - левые унитарные модули над кольцом R. Введем обозначение М^А, В) = {f: А^В | f(га) = f (a), геR, аеA}. Элементы множества МВ(А, В) называются однородными отображениями. Множество MR(A) = {f: A ^ A If(га) = fa), г е R, a е A} образует почтикольцо относительно операций сложения и композиции отображений. Всегда имеет место включение EndR(A) с MR(A). Определение 1. Пусть n - натуральное число. R-модуль А называется nэндоморфным, если MR(An) = EndR(An). Определение 2. R-модуль А называется эндоморфным, если он n-эндоморфен для всех nе N. Таким образом, обобщенно эндопримальная абелева группа [1, определение 3] - это абелева группа, которая является эндоморфным модулем над своим кольцом эндоморфизмов. Исследованию абелевых групп как 1-эндоморфных модулей над своим кольцом эндоморфизмов посвящены работы [3-5]. Лемма 3. Следующие условия эквивалентны: 1) А - n-эндоморфный R-модуль; 2) каждое отображение f е MR(An, A) аддитивно; 3) каждое отображение f е MR(An, A) может быть представлено в виде f (xb... ,xn) = u1x1 +... + u„xn, где u1,. ,un е EndR(A). Доказательство. Полагаем В = ©I=1nAi, Ai = A, ei: B ^ A - соответствующие проекции. Z-модульный изоморфизм Ф: Mr(B) ^ ©,=ГMr(B, Ai), f ^ (ef,... ,ef) дает равносильность первых двух условий леммы. 3) ^ 2) Для f(xb... ,xn) - u1x1 +... + unxn е Mr(A", A), где u1,...,un е EndR(A) и a1,. ,an, a\,... ,a'n е A, имеем f (a1 + a\,... ,an + a'n) = u1(a1 + a\) +... + un(an + a'n) = = u1a1 +... + unan + u1a'1 +... + una'n = f(a1,. ,an) + f(a'1,. ,a'n). Импликация 2) ^ 3) следует из изоморфизма MR(An, A) = HomR(An, A) = ©I=1n HomR(A, A) = ©I=1n EndR(A). Лемма доказана. Заметим, что конечная прямая сумма копий эндоморфного модуля будет эн-доморфным модулем. Определение 4. Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей. Кольцо R называется кольцом с однозначным сложением (UA-кольцом), если на его мультипликативной полугруппе (R, *) можно задать единственную бинарную операцию +, превращающую ее в кольцо (R, *, +). Определение 5. Кольцо R называется UA-кольцом, если любой изоморфизм мультипликативных полугрупп колец a: R ^ S является изоморфизмом колец. Покажем равносильность определений 4 и 5. Если a: R ^ S - мультипликативный, но не аддитивный изоморфизм колец, то новое сложение на полугруппе (R, *) можно определить по правилу x +' y = a - 1(a(x) + a(y)). Выполнение аксиом кольца проверяется непосредственно. С другой стороны, предположим, что на мультипликативной полугруппе (R, *) можно определить две различные бинарные операции + и +' так, что тройки (R, *, +) и (R, *, +') образуют кольца. Тогда тождественное отображение (R, *, +) ^ (R, *, +') не является изоморфизмом колец. Приведем некоторые примеры. Периодическая p-группа, имеющая прямое слагаемое Z(px) © Z(px), эндоморфна как модуль над своим кольцом эндоморфизмов [1, следствие 19]. Также p-группа, имеющая неограниченную базисную подгруппу, эндоморфна как модуль над своим кольцом эндоморфизмов [1, лемма 22]. Указанные группы имеют UA-кольцо эндоморфизмов [9]. Абелева группа A = Z(pm) © B, где pk B = 0 для некоторого целого числа k, не является эндоморф-ным модулем над своим кольцом эндоморфизмов [1, лемма 20] , ее кольцо эндоморфизмов не обладает свойством однозначности сложения [9]. Определение 6. R-модуль А называется модулем с однозначным сложением (UA-модулем), если на множестве А нельзя задать новое сложение, не изменяя действия кольца R на А. Определение 7. R-модуль А называется UA-модулем, если каждая биекция из Mr(A,B) является изоморфизмом для любого R-модуля В. Покажем равносильность определений 6 и 7. Если f A ^ B - ^-однородное биективное отображение из R-модуля А в R-модуль В, не сохраняющее сложение, то новое сложение на множестве А можно определить по правилу x+'y = Г V(x) + f (y)). Легко видеть, что для (A,+') выполняются все аксиомы модуля. При этом кольцо R действует на (A,+) и (A,+') одним и тем же образом. С другой стороны, если мы имеем два R-модуля (A,+) и (A,+') с одинаковым действием кольца R и различными операциями + и +', то тождественное отображение из (A,+) в (A,+') не является изоморфизмом. Кольцам с однозначным сложением посвящены работы [6 - 9]. Модули с однозначным сложением изучаются в [10 - 12]. В книгах [13] и [14] можно найти факты и понятия, используемые в данной статье. Предложение 8. Каждый эндоморфный модуль является UA-модулем. Доказательство. Пусть (А,+) - эндоморфный модуль над кольцом R. Предположим, что существует другая бинарная операция +', такая, что (А,+') - R-модуль с тем же действием кольца R на А. Рассмотрим отображениеf A2 ^ A, действующее по правилу f (x,y) = x +' y. В силу предположения, f (x,y) = ux + vy для некоторых эндоморфизмов u и v. Заметим, что группы (А,+) и (А,+) имеют один и тот же нейтральный элемент 0, поскольку кольцо R действует на них одним и тем же образом. Отсюда x = x +' 0 = f (x, 0) = ux, x = 0 +' x = f (0, x) = vx для всех xеA. Таким образом, u и v суть тождественные отображения, сложения + и +' совпадают. Предложение доказано. Заметим, что кольцо Z(2) является UA-кольцом, однако векторное пространство Z(2) © Z(2) не является 1-эндоморфным модулем. Отображение f Z(2)© Z(2) ^ Z(2)© Z(2), действующее по правилу f(1,1) = (1,1) и f(x) = (0,0) во всех остальных случаях, не сохраняет сложение. Во многих случаях абелевы группы, эндоморфные как модули над своим кольцом эндоморфизмов, имеют UA-кольцо эндоморфизмов. Предложение 9. Пусть А - периодическая группа, такая, что ее 2-компонента не изоморфна группе Z(2), а 3-компонента не изоморфна группе Z(3). Следующие условия равносильны: 1. А - эндоморфный модуль над кольцом End(A); 2. End(A) - UA-кольцо. Доказательство следует из результатов работ [1, §3; 9]. Хорошо известен класс g, состоящий из самомалых смешанных редуцированных абелевых групп, часть без кручения которых является делимой группой конечного ранга. Предложение 10. Пусть группа А принадлежит классу g и ее 2-компонента не изоморфна группе Z(2), а 3-компонента не изоморфна группе Z(3). Следующие условия эквивалентны: 1. А - эндоморфный модуль над кольцом End(A); 2. End(A) - UA-кольцо; 3. Если ^-компонента tp(A) группы А отлична от нуля, то она содержит прямое слагаемое Z(pk) © Z(pk), где pk - наибольший из порядков элементов группы tp(A). Для доказательства данного факта нам понадобится следующее утверждение [8, лемма 1]. Лемма 11. Предположим, что кольцо К обладает такой системой идемпотентов F = (ei | i e I}, что 1) для любого 0 Ф k e K найдется идемпотент ei e F, для которого kei Ф 0; 2) для всякого идемпотента ei e F существует ортогональный ему идемпотент ej e F, такой, что для x e K из ei хeiКвj = 0 = ejKei хei следует, что eiхei = 0. Тогда К - UA-кольцо. Доказательство предложения 10. Эквивалентность условий 1 и 3 следует из [1, теорема 40]. Пусть End(A) - UA-кольцо. Предположим, что некоторая ненулевая р-компо-нента tp(A) не содержит слагаемое Z(pk) © Z(pk), где pk - наибольший из порядков элементов группы tp(A). В этом случае кольцо End(tp(A)) не является UA-кольцом [9]. Имеет место прямое разложение A = tp(A) © B, где В - некоторая р-делимая группа. Откуда End(A) = End(tp(A)) х End(B). Построим отображение Р: End(tp(A)) х End(B) ^ End(tp(A)) х End(B), (r,s) ^ (a(r), s), где a: End(tp(A)) ^ End(tp(A)) - мультипликативный, но не аддитивный автоморфизм. Легко видеть, что отображение р является мультипликативным автоморфизмом, не сохраняющим сложение. Противоречие. Пусть выполнено условие 3. Каждая ненулевая р-компонента группы А имеет вид tp(A) = Z(pk) © Z(pk) © А'р для некоторой р-группы А 'р, не содержащей элементы, порядок которых превосходит pk. Пусть F - множество всех примитивных идемпотентов кольца End(A). Для любого 0 Ф ф e End(A) выполнено условие 1) леммы 11. В противном случае эндоморфизм ф аннулирует периодическую часть t(A) группы А и, следовательно, существует ненулевой гомоморфизм A/t(A) ^ A, что невозможно, поскольку группа А - редуцированная, а группа A/t(A) - делимая. Для любого е e F группа e(A) изоморфна группе Z(pk) для некоторыхр и k. Далее, A = e(A) © A'. Группа А' содержит прямое слагаемое e'(A), изоморфное Z(pm), где m > k и e' e F. Заметим, что eEnd(A)e' = Hom(Z(pm), Z(pk)), eEnd(A)e = Z(pk). В силу точности Z(pk)-модуля Hom(Z(pm), Z(pk)) условие 2) леммы 11 выполнено, End(A) - UA-кольцо. Предложение доказано. Пусть А - абелева группа без кручения ранга 1. Согласно [2, теорема 3.5; 8], End(A)-модуль А не является эндоморфным, а кольцо End(A) не обладает свойством однозначности сложения. Пусть А - сепарабельная абелева группа без кручения. Прямое слагаемое B ранга 1 группы A назовем полусвязанным, если в его дополнительном прямом слагаемом найдется прямое слагаемое ранга 1, тип которого сравним с типом B. Группу G назовем полусвязанной, если всякое ее прямое слагаемое ранга 1 полусвязанно. Предложение 12. Пусть А - сепарабельная абелева группа без кручения. Следующие условия эквивалентны: 1. А - эндоморфный модуль над кольцом End(A); 2. End(A) - UA-кольцо; 3. А - полусвязанная группа. Доказательство следует из результатов работ [1, предложение 29; 8]. Будем говорить, что группа А квазиравна группе В (А ~В), если А квазисодер-жится в В и В квазисодержится в А (т.е. если nA с B, mB с A для некоторых n, m е N). Квазиравенство А &®iеIАi, где I - конечное множество, называется квазиразложением или квазипрямым разложением группы А. При этом подгруппы Аi называются квазислагаемыми группы А [14, §4]. Абелеву группу без кручения A можно естественным образом вложить в Q-пространство Q®A = QA, которое является делимой оболочкой группы A. Естественный образ вложения подразумевает отождествление элемента aеA с элементом 1®a е QA. Каждый эндоморфизм а е End(A) единственным образом продолжается до линейного преобразования 1®а Q-пространства QA. Кольцо End(A) содержится в EndQQA) [14, §5]. Таким образом, End(A) = {а е EndQ(QA)\ aA с A}. Q-алгебра Q®End(A) = = QEnd(A) называется кольцом квазиэндоморфизмов группы A. Далее речь пойдет о сильно неразложимых абелевых группах без кручения конечного ранга. Факты, касающиеся этого класса групп и используемые в работе, могут быть найдены в книге [14]. Пусть А - абелева группа без кручения конечного ранга, такая, что N(End(A)) = 0. В этой ситуации группа А квазиравна прямой сумме ©i=i'Ai"(l) сильно неразложимых групп Аi, при этом каждое из колец QEnd(A) является телом и группыА1,... A/ образуют жесткую систему [14, теорема 7.3]. Предложение 13. Пусть А - абелева группа без кручения конечного ранга и N(EndA)) = 0. 1. End(A)-модуль А эндоморфен тогда и только тогда, когда n(i)>1 для всех i = 1,.,/. 2. Если End(A)-модуль А не является эндоморфным, то кольцо QEnd(A) не обладает свойством однозначности сложения. Доказательство. Первое утверждение доказано в [1, теорема 32]. Предположим, что n(k) = 1 для некоторого ке{1,...,/}. Тогда QEnd(A) = QEnd(Ak) х T. Кольцо QEnd(Ak) не является кольцом с однозначным сложением, поскольку тело является UA-кольцом тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет полиномиальному тождеству x(x + 1)(x2 + x + 1) = 0 [7, теорема 5.2]. Следовательно, кольцо QEnd(A) не обладает свойством однозначности сложения. Предложение доказано. Теорема 14. Пусть А - абелева группа без кручения конечного ранга, такая, что QEnd(A)/QN(End(A)) = Q. Тогда QEnd(A) не является UA-кольцом и группа А не является эндоморфным модулем над своим кольцом эндоморфизмов. Доказательство. Напомним, что из условий теоремы непосредственно вытекает, что кольцо QEnd(A) артиново и не содержит нетривиальных идемпотентов [14, замечание перед леммой 5.1, следствие 5.12]. Кроме того, данное кольцо является локальным с единственным максимальным идеалом QN(End(A)). На основании [14, теорема 5.18, следствие 5.19] заключаем, что ниль-радикал N(End(A)) нильпотентен. Следовательно, QN(End(A))lc = 0 для некоторого натурального числа к. Кроме того, имеется прямое разложение аддитивной группы QEnd(A) = R © QEnd(A), где R - подкольцо кольца QEnd(A), состоящее из всех квазиэндоморфизмов вида q®1. Каждый квазиэндоморфизм u е QEnd(A) представим в виде u = a + Ь, где а е R, Ье QN(End(A)). Заметим, что кольцо R содержится в центре кольца QEnd(A). В случае, когда QN(End(A)) = 0, получаем QEnd(A) = Q. Но поле рациональных чисел не является UA-кольцом [7, теорема 5.2]. Пусть QN(End(A)) Ф 0 и QN(End(A))2 = 0. Определим биекцию 0: QEnd(A) ^ QEnd(A) по правилу 0(x) = x, если x е QEnd(A) \ QN(End(A)), и 0(x) = - x в противном случае. Покажем, что отображение t сохраняет умножение. Зафиксируем обозначения: u = a1 + b1, v = a2 + b2, где a1, a2 е R, b1, b2 е QN(EndA)). Тогда 1) если a1, a2 Ф 0, то uv - обратимый элемент и 0(uv) = uv = 0(u)0(v); 2) если a1 = 0, a2 Ф 0, то 0(uv) = -uv = 0(u)0(v); 3) если a2 = 0, a1 ф 0, то 0(uv) = -uv = 0(u)0(v); 4) если a1, a2 = 0, то 0(uv) = 0(0) = 0 = (-u)(-v) = 0(u)0(v). Однако 0(1 + x) = 1 + x ф 1 - x = 0(1) + 0(x), 0 ф x е QN(End(A)). Пусть QN(End(A))k = 0, k > 2, причем k - наименьшее натуральное число с таким условием. В этом случае найдется элемент d е QN(End(A)), такой, что d = с1 ...ck-1 Ф 0, где с1,... ,ck-1 е QN(End(A)). Полагаем c = с1.с1-2. Рассмотрим биективное отображение 0: QEnd(A) ^ QEnd(A), определяемое правилом 0(x) = x, если x е QEnd(A) \ QN(End(A)), и 0(x) = (c + 1)x в противном случае. Покажем, что отображение 0 сохраняет умножение. Так же, как и выше: 1) если a1, a2 Ф 0, то uv - обратимый элемент и 0(uv) = uv = 0(u)0(v); 2) если a1 = 0, a2 Ф 0, то 0(uv) = (c + 1)b1(a2 + b2) = 0(u)0(v); 3) если a1 Ф 0, a2 = 0, то 0(uv) = (c + 1)(a1 + b1)b2 = c a1 b2 + a1 b2 + b1 b2 = 0(u)0(v); 4) если a1, a2 = 0, то 0(uv) = (c + 1) b1 b2 = b1 b2 = 0(u)0(v). Остается заметить, что 0(1 + ck-1) = 1 + ck-1 Ф 1 + d + ck-1 = 0(1) + 0(ck-1). Кольцо QEnd(A) не обладает свойством однозначности сложения. Второе утверждение следует из [1, теорема 33]. Теорема доказана. Заметим, что условиям теоремы 14 удовлетворяют сильно неразложимые абелевы группы без кручения А конечного ранга р, где р - простое число и N(End(A)) Ф 0 [16, теорема 4.4.12]. Автор благодарен коллективу кафедры алгебры Томского государственного университета за внимание к работе.

Скачать электронную версию публикации