Method of variations for maps representable by means of Stieltjes integrals.pdf Имеются классы аналитических функций, в которых функции представляются выражениями, содержащими интегралы Стилтьеса. О таких классах говорят, что они имеют структурную формулу. Г.М. Голузин [1], исследуя экстремальные задачи для звездных отображений, предложил вывод двух удобных вариационных формул и привел примеры применения их к нахождению экстремальных функций для некоторых вещественных функционалов. Во многих других экстремальных задачах завершение исследования встречается с необходимостью определять значения неизвестных постоянных, что составляет индивидуальную трудность в каждой конкретной задаче. Во многих случаях найдены способы преодоления таких трудностей, позволившие получить полное решение экстремальной конкретной задачи с указанием экстремальных функций [2-4]. В работе даются еще две вариационные формулы для классов функций, представимых интегралом Стилтьеса с непрерывно дифференцируемым ядром, усиливающие результаты Н.А. Лебедева и И.А. Александрова [5]. Применение этих формул позволяет записать необходимые условия в форме уравнений и неравенств для экстремальных функций в задачах об областях значений функционалов, а также систем функционалов на рассматриваемом классе функций. 1. Некоторые классы функций, представимые интегралом Стилтьеса Класс C - множество функций ад Р( z) = 1+Z cnzn, n=1 голоморфных в круге E = {z е С: |z| < 1} и имеющих в нем положительную вещественную часть. Рисс и Герглотц доказали, что для принадлежности функции p(z) классу C необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление интегралом Стилтьеса 1 + eit 7 p( z) = J-- d |(t), (1) 0 1 - e z где |(t) - вещественная функция, не убывающая на отрезке [0,2п] и такая, что |(2п) -|(0) = 1. Подкласс Cr с C функций pr (z) с вещественными коэффициентами имеет интегральное представление 2п 1 - z2 Pr (z) = J -- d|(t) 0 1 - 2z cos t + z2 и связан с классом Tr типично вещественных функций формулой zp(z) = {i - z2 ) q(z), pr (z) е Cr, q(z) е Tr. Функция q(z) е Tr вещественна на промежутке (-1, 1), а в остальных точках круга E удовлетворяет условию Imz Imq(z) > 0. Класс S - множество функций ад f (z) = z +X cnzn, n=2 голоморфных, однолистных в круге E, конформно отображающих этот круг и таких, что область D = f {E) звездна относительна нуля. Отрезок с концами в точках 0, w0 е D в силу звездности D лежит в D. Легко видеть, что область Dr = {w е С: w = f (z),|z| < r}, 0 < r < 1, звездна относительно нуля. Действительно, ее граница является замкнутой аналитической кривой L{f,r) = {w е С: w = f (z),|z| = r} с параметрическим уравнением w = f {reгф), 0 0 и n(t) - непрерывная на [a, b] вещественная функция, удовлетворяющая условию a -1 b -1 -< ±n(t) 0 и nk(t), k = 1,...,n, - непрерывные на [ak,bk] вещественные функции, удовлетворяющие условиям b, -1 ak

Скачать электронную версию публикации