On some linearly ordered topological spaces homeomorphic to the sorgenfrey line.pdf В работе используются следующие обозначения: N - множество натуральных чисел; Ж. - множество вещественных чисел, наделенное стандартной евклидовой топологией; символом S обозначим прямую Зоргенфрея (или «стрелку»), представляющую собой множество вещественных чисел, топология в котором порождена базой {(a,b]: a,b е Ж,a < b}; символом S^ обозначается множество вещественных чисел, наделенное топологией, порожденной базой {[a,b): a,b е Ж,a < b}. Очевидно, что S гомеоморфно S^. Топологическое пространство S^ =(Ж, х^), в отличие от S , будем называть «правой стрелкой». Пусть множества X, Y с Ж.. Обозначим символом XY топологическое пространство, в котором база окрестностей точки x определяется следующим образом: x е X \ Y : {(a,b]: a,b е Ж, a < b иx е (a,b]} ; x е Y : {[c, d): c, d е Ж, с < d и x е[с, d)} . В частности, если X = S, а Y = A, получаем пространство SA , в котором на множестве A задана топология «правой стрелки». Подпространсво (a,b)c SA обозначается (a, b) . Для произвольного подмножества A топологического пространства X и произвольного ординала а производная множество A(a) опредляется по трансфинитной индукции следующими формулами: A - множество предельных точек множества А, A(a) = ((а-1)) , если а - непредельный ординал и A(a) = P| A(e), если а - предельный ординал. р... > an >... и bk < b2k l0 такой, что при l > p выполняется неравенство x < x, < х, . Более того, если i > p и x, е I akl,bkl), то bkl < х, и, следоll0 г l L nt' n ) ' n, l0 ' вательно, |akl - bkl I < - . Тогда, если x, g F , то I nl nl I 2 l k(x )-v(xl )l = lx -v(xl )l< lx - xll+1 xl-y(xl )l< lx - xll+|an- bk„l\ p |у (x) - у (x,)| = |x - x, | < |x - x^ | < е /2. Таким образом, непрерывность отображения у доказана. Непрерывность отображения у-1 доказывается аналогично. ■ Следствие 1. Пусть x1,...,xn е S . Тогда S{x x } гомеоморфно S. Следствие 2. Пусть A с S - счетное дискретное множество. Тогда SA гомео-морфно S. Докажем что, если A с Ж. - произвольное счетное множество, замыкание которого также является счетным, то SA гомеоморфно S. Для этого потребуются некоторые вспомогательные утверждения. Лемма 1. Пространства (a,b](ab) и (a,b] гомеоморфны, где a,b е S и a a2 >... > an >... и b1 < b2 ... > an >... и p1 < p2

Скачать электронную версию публикации