Some properties of the set of maps in the pointwise topology.pdf Все неопределенные топологические понятия можно найти в [1]. Все рассматриваемые в статье топологические пространства - тихоновские и кардинально-значные инварианты считаются бесконечными, то есть, если по обычному определению кардинальный инвариант т получается конечным, то считаем т - К0. В частности, nw(X) - сетевой вес топологического пространства X, w(X) - вес топологического пространства X. Через Cp(X, Y) обозначается пространство всех непрерывных отображений из X в Y с топологией поточечной сходимости и через Cp (X) обозначается Cp (X, R). Теорема 1. Пусть P с YX - множество отображений из тихоновского пространства X в тихоновское пространство Y в топологии поточечной сходимости. Пусть Т - объединение всех множеств точек разрыва отображений из P. Тогда nw(P) < nw(X) • w(Y) • |Т|. Доказательство. Каждое отображение f из P непрерывно во всех точках из X\T (если бы существовали точка x e X \ Т и отображение f e P , такие, что f не является непрерывной в точке x, то x e Т, но это противоречит тому, что x e X \ Т), следовательно, сужение f |X\Т непрерывно. Поэтому f e Cp (X \ Т, Y) х YT для любого f из P. Таким образом, P с Cp (X \ Т, Y) х YT . Из [2] имеем nw (Cp (X \ Т, Y))< nw (X \ Т)• w (Y). Тогда nw (P)< nw (Cp (X \ Т, Y) х YT ) - nw (Cp (X \ Т, Y ))• nw (YT )< < nw (X \ T)• w (Y)• nw (Y)• |T| < nw (X)• w (Y)• w (Y)• |T| - nw (X)• w (Y)• |T|. Следствие 2. Пусть P с Кк - множество отображений из R в себя. Пусть Т -объединение всех множеств точек разрыва отображений из P. Тогда nw(P) < |Т|. Доказательство. Как известно, nw (R) - w (К) - К0, следовательно, по теореме 1 nw(P)< nw(К)• w(К)• IT - •Ко • IT - |Т|. Лемма 3. Пусть T - несчётное множество, p : T ^ (0; , а - несчётный регулярный кардинал, такой, что а < |T|. Тогда существуют T 'с T и p0 > 0, такие, что |T'| >а и p (t) > p0 для любого t е T' . Доказательство. T _ p-1 (0; +«,) _ p-1 и f -; ■+») _ U p- f1' ■+»). n_1fn ' n_1 f n ' < а для каждого n. Тогда |T| а . Таким образом, p0 _ - , T' _ p- [ -; + p 1 |f--; да | - искомые. n ~ | n Теорема 4. Пусть T - несчётное подмножество в R, X _ {f }tа и для любой точки t е T существует окрестность Ut функции ft, которая не содержит точек s е T, таких, что s > t. Доказательство. Если |T| < К0, теорема очевидно верна. Допустим, что |T| >К0. Пусть e(t)_р(f (t), ft(t-0)), где f (t -0)_ lim f (x). Из условий x^t -0 теоремы e(t)>0. По предыдущей лемме существуют е0 > 0 и T' с T, такие, что |T' |>а и s(t )>е0 для любого t е T'. Из определения одностороннего предела функции следует, что для каждого t е T' существует 5(t) > 0, такое, что g р(f (t-0), f(x)) < для любого x е^-5(t);t). Используя предыдущую лемму, выберем 50 > 0 и T' 'с T', такие, что |T' ' |>а и 5(t )>80 для любого ,, ,+", ,, k5n (k + 1)5П t е T . T _ U T п [-0;----), следовательно, существует n такое, что к_-да 2 2 ~ n5n (n + 1)5n T _ T п [-£ ; -2~°) имеет мощность, равную мощности T (а следовательно, и мощности T). Обозначим X _ {f . Рассмотрим Ut _{f е X; p(f (t), f (t)) t. Допустим, что это не так, т.е. s > t и р( (t), f (t))

Скачать электронную версию публикации