Energy estimate of critical Reynolds numbers in the supersonic couette flow of a vibrationally excited diatomic gas.pdf В [1] на основе энергетической теории исследовалась устойчивость дозвукового плоского течения Куэтта колебательно-возбужденного молекулярного газа. Течение газа описывалось системой уравнений двухтемпературной аэродинамики, в которых учитывалась зависимость коэффициентов переноса от температуры потока. Найденные значения Recr по порядку величины совпадали с результатами, полученными в аналогичной постановке для несжимаемого течения [2]. Это еще раз подтвердило известное представление о том, что дозвуковое течение Куэтта можно считать практически несжимаемым. Вместе с тем немногочисленные исследования [3-5], выполненные в постановке классической линейной теории, показывают, что в рамках данного подхода вопрос гидродинамической устойчивости течения Куэтта сжимаемого совершенного газа до последнего времени не имеет однозначного решения. В частности, в работе [3] было констатировано абсолютное стабилизирующее влияние вязкости и отсутствие неустойчивости вплоть до чисел Re = 5-106 при сверхзвуковых числах Маха M = 2^5. В то же время в более поздних публикациях [4, 5] были рассчитаны критические числа Рейнольдса в пределах Recr ~(2^5)-104 при числах M = 3^12. Таким образом, исходя из результатов численных расчетов [3-5], имеет место следующая ситуация. В рамках линейной теории устойчивости течение Куэтта совершенного газа устойчиво в ближней сверхзвуковой области M < 3 и может проявлять неустойчивость при дальнейшем возрастании числа Маха. Такое положение определило интерес к распространению начатых в [1] исследований на сверхзвуковой диапазон M = 2^5, которым посвящена настоящая работа. Полученные данные для зависимостей критических чисел Рейнольдса от параметров течения представляют самостоятельный интерес. Кроме того, использованная в работе модель двухтемпературной газодинамики при отсутствии возбуждения колебательной моды переходит в модель совершенного газа, что позволяет провести сравнение с результатами линейной теории устойчивости [4, 5]. Постановка задачи и основные уравнения Задача устойчивости течения Куэтта колебательно-возбужденного молекулярного газа рассматривается в расчетной области Q, представляющей собой прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям декартовой системы (xb x2, x3), а центр совпадает с началом координат. Непроницаемые бесконечные пластины, вдоль которых направлено основное течение, перпендикулярны оси x2. Исходной математической моделью течения газа служит система уравнений двухтемпературной аэродинамики, в которых учитывается зависимость коэффициентов переноса от температуры потока. В качестве температурной зависимости коэффициентов переноса выбран степенной закон Tn с показателем n < 1. Выбранная зависимость соответствует условиям относительно холодного несущего потока (мягким потенциалам межмолекулярного взаимодействия [6, 7]). Предполагается, что удельные теплоемкости не зависят от статической и колебательной температур потока и постоянны. В соответствии с физическими представлениями [7-9] модель двухтемпературной аэродинамики является общепринятой физико-математической моделью течений колебательно-возбужденного молекулярного газа, когда диссоциацией молекул, возбуждением верхних колебательных уровней и поправками на ангармонизм колебаний можно пренебречь. В качестве характерных величин для обезразмеривания использованы полуширина канала L по оси x2, модуль скорости потока U0 на непроницаемых стенках канала, постоянные плотность р0 и температура T0 основного течения и образованные из них время р0 = L/U0 и давление p0 = p0U02. Коэффициенты переноса обезразмеривались на их значения при температуре T0: сдвиговая и объемная вязкости на По и n b,0, а коэффициенты теплопроводности, обусловленные упругими энергообменами между поступательными степенями свободы молекул и неупругими обменами энергией вращательных и колебательных степеней свободы молекул с поступательными модами молекул, соответственно на Х^, Xrot,0, Xvib,0. В качестве основного (несущего) потока выбрано плоское течение Куэтта с линейным профилем скорости и однородным распределением плотности и температур: Us(x2) = (x2,0,0), Ts = TVib,5 = Ps = 1, ps = 1/(YM2), где pS - статическое давление, постоянное поперек канала. Представление мгновенных значений гидродинамических величин возмущенного течения в виде щ _ Us+ u', р _ 1 + р', T _ 1 + T', Tvib _ 1 + TVib, p _ 1/(YM2) + p' позволяет получить из системы уравнений двухтемпературной аэродинамики уравнения для возмущений р', u, T', T'vlb, p' основного течения, которые с точность до членов первого порядка малости по возмущениям примут вид [1] д р ' д р ' д u' +uSi^-+-- _ 0, д t ' д x' д x' дu' тт дu' 'дus,i дp 1 д2u' 1 f 1 Vs u -- + Us ,-- + uj-- _-- +--^ +-I а, +- I-- + дt S,jдx, j дx, дx Re дx2 Ref 1 3JSxд^^^ J J j J Гд Us, - д Us, - V n + T' (1) Re д xд x, д x f j 1 J + u дЛ + (1 д2 T ' + Yvib (TVib - T') д t S,j д x^ дГ' RePr д x2 Тух (1 - Yvib) ' дt S,j д x, j J (1 - Y vib ) Yvib f дTviK + u д Tv.b V_ 20 YYvib д2 T^ - Yvib (Tv'ib - T') 33RePr (1 - Yvib) д x2 tVx(1 - Yvib) YM2p' _ р ' + T', 1 _ 1,2,3, j _ 1,2,3. По повторяющимся индексам в уравнениях системы (1) подразумевается суммирование, а параметры, входящие в эти уравнения, определяются следующим образом: а1 _ Пь 0 /П0 - отношение объемной и сдвиговой вязкостей; а2 _ Xvib 0 /(Xtr 0 +X rot 0); параметр Yvib _ cvib /(ctr + crot + cvib) определяет долю внутренней энергии газа, приходящуюся на колебательные моды молекул, и в каком-то смысле характеризует степень неравновесности последних [1, 9]; безразмерные критерии Re _ UоЬро/По, M _UоЦYRTo и Pr _По (ctr + c rot) /(1 tr,0 + 1 rot, 0 ) есть соответственно числа Рейнольдса, Маха и Прандтля несущего потока, где Y _ (ctr + crot + R)/(ctr + crot) - показатель адиабаты, R - газовая постоянная и ctr, crot, cvib - соответственно удельные теплоемкости при постоянном объеме, определяющие энергоемкость поступательных, вращательных и колебательной мод молекул газа. В качестве краевых условий в задаче устойчивости принималось, что при x1 = ±п /а и x1 = ±п /5 возмущения гидродинамических переменных удовлетворяют периодическим граничным условиям, а на непроницаемых границах x2 = ±1 принимают нулевые значения. Здесь а, 5 - модули проекций волнового вектора возмущения k на оси координат (x1, x3). Нижний предел Yvib = 0 соответствует случаю невозбуждения колебательной моды молекул. С другой стороны, равнораспределение энергии по степеням свободы молекул не является здесь верхним пределом для параметра Yvib, поскольку закон равнораспределения энергии неприменим в неравновесной ситуации, описываемой системой уравнений (1), когда разрыв между статической температурой потока T и колебательной температурой Tvib может быть достаточно велик. В [8] показано, что при T = 300 K неравновесная теплоемкость cvib«1,8,R. Используя равнораспределение энергии в состоянии термодинамического квазиравновесия по поступательным и вращательным модам молекул, получаем, что параметр yvib и 0,42. С ростом разрыва между температурами Tvib и T значение yvib увеличивается, приближаясь в пределе к единице, когда энергия колебательной моды молекул существенно превышает температуру квазиравновесного термостата, определяемого поступательными и вращательными степенями свободы молекул. В расчетах максимальное значение параметра yvib было выбрано равным 0,4, с тем, чтобы остаться в рамках используемой модели, избежав возбуждения высоких колебательных уровней энергии. В работе [1] из системы уравнений (1) было выведено уравнение энергетического баланса для полной пульсационной энергии возмущений колебательно-неравновесного молекулярного газа, которое записывается следующим образом: E (t)=1 ((Tv'ib-T ')2)- (у - 1)RePrM v T'2 ^ T '2 + Гvib vib (2) Здесь положительно определенная квадратичная форма f 1 1 м'2 +- P'2 + Y M2 Y -1 1 - Yvib определяет полную пульсационную энергию возмущений, а угловые скобки обозначают усреднение по пространству расчетной области Q в виде л/а л/8 1 = | dxl | dx2 | dx3 (...). - л/8 - л/а Из уравнения (2) следует, что для фиксированных значений параметров M, aj, tVt и yvib уменьшение числа Рейнольдса, начиная с некоторого критического значения RecH, сделают правую часть уравнения (2) отрицательной. При этом dE^dt < 0 и любые возмущения будут затухать. Критическое число Рейнольдса Recr соответствует нейтральным возмущениям, когда dE^dt = 0, и вычисляется как минимум функционала Ф в правой части энергетического уравнения (2). Спектральная задача и ее качественные свойства Из условия экстремума функционала Ф (2) на множестве допустимых функций следуют уравнения Эйлера - Лагранжа, определяющие обобщенную дифференциальную задачу на собственные значения со спектральным параметром Re. С учетом профилей гидродинамических величин основного потока (2) эти уравнения принимают вид 1 VS D n д T Re , ■_- u2, (3) Д u1 +I а1 + 3удx1 2 дx2 1 VS D n д T Re Д u2 +I а1 + 3удx2 2 дx1 л ' I 1VSD Д u3 +i а1 + 3 fe^=0 20 e 2 Yv д u[ + д u'2 д x2 д x1 Д T - e1 Re(Tv'b -T), ДTvib _ e2Re(T' -T) 33 д u1 д u2 д u2 D _-1 + -^ + - 2 д xj2 д x22 д x32' д x1 д x2 д x3 ' а параметры e1, e2 и у v записываются следующим образом: 1 2 33Pr y b e1 _ -n (y - 1)M2 Pr, e2 _ --, Yv - Yvib 2 20YTyx а21 а1 +1jj + 52 1 - Y vib Граничные условия, которым удовлетворяют амплитудные функции u', , T' и T ' vib в уравнениях системы (3), аналогичны условиям, поставленным для системы уравнений (1). После подстановки в уравнения (3) вектора возмущений q'(x1,x2,x3) _ q(x2)exp[-1 (аx1 + 5x3)] (где q' _ (u[,u2,u3,T',Tv'ib), q(x2)_ (u,v, w,0,0v), а i - мнимая единица) спектральная задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд пульсаций u, v, w, 6 и 6v: д д д Д _-- +-- + где Re v u u + 1аj а1 + -3|v' -а5Iа1 + 3|w+2( 2 Re u а1 + -3 j v "- (а2 + 52) v + 1а f а1 + 3 j u' + i 5 f а1 + 3| w' - 'О^-' w-а51 а1 + -3Ju +15fа1 + -3Jv' _ 0, а2 + 52 | а + 1 (4) 0'' - (а2 + 52) 0 - e1(v' - 1аu) _ 20e2Yv 33 Re(0 - 0v), 0v - (а2 + 52) 0v _ e2 Re(0v - 0), x2 _±1 v lx2 _±1 _ 0|. _ 0, (5) _ v _ w ' lx2 _±1 x2 _±1 x2 _±1 где штрихи у неизвестных функций обозначают производные соответствующего порядка по переменной x2. Спектральная задача (4), (5) имеет следующие свойства. 1. Спектр собственных значений Re задачи (4), (5) вещественен. Это свойство следует из энергетического тождества для системы (4), (5), которое получается умножением уравнений (4) на комплексно-сопряженные функции u , v , w , 6 , 6v , суммированием их и интегрированием по интервалу x2e[-1, 1]. С учетом однородных граничных условий (5) имеет место следующее выражение: Re 1 Г/ * п 2Yv |0-0v|2 " - J (u v + uv )-' v 1 vl 2 4 3 v |2 +1 w' |2 +(52 +[а1 + 3] а2 v|2 + dx2 + Y (Y - 1)M2 xVT _ Л |2 +(а2 + 52 )| |0'|2 +(а2 + 52)|0|2 20 Yv (|9v |2 +(а2 + 52 |2) w |2 +■ dx2 + (Y -1)M2 Pr (6) +1 а2 +1 а, + - 152 33(y -1)PrM2 +аб((а1 + (u*w+uw* )dx2 -nJ (ur 0'r - u' 0г- )dx2 + 2а[а1 + ijj (urv-+ u' vr )dx2 ( 1 j 1 1 +25[01 + 3 j J (vw + v' wr )dx2 + аn J (v„0 - v 0r) ^ = ° где индексы r и i обозначают вещественную и мнимую части соответствующих комплекснозначных функций. Вещественность спектрального параметра Re определяется вещественностью всех слагаемых равенства (6). Вместе с тем квадратичная форма, которую определяет энергетическое тождество (8), не является положительно определенной. Это означает, что собственные значения могут быть также отрицательными, поэтому в расчетах следует искать минимальное по модулю собственное значение min |Re|. 2. Спектр собственных значений Re(a, 5) задачи (4), (5) симметричен относительно осей a = 0, 5 = 0 на плоскости волновых чисел (а, 5). Действительно, из уравнений системы (4) следует, что каждому собственному значению Re(a, 5) с собственными функциями u, v, w, 6, 6v соответствует равное ему собственное значение Re(-a, -5) с собственными функциями u , v , w , 6 , 6v . Также то же собственное значение Re(a, 5) соответствует паре волновых чисел (а, -5) с набором собственных функций u, v, -w, 6, 6v и паре волновых чисел (-а, 5) с набором собственных функций u*, v*, -w*, 6*, 6v*. В [10] показано, что если в качестве молекул несущего газа рассматриваются «максвелловские» молекулы [6, 7], то для задачи (4), (5) в случае длинноволновых продольных (а

Скачать электронную версию публикации