Dependent subspaces in C _pC _p(X) and hereditary cardinal inv.pdf 0. Обозначения и вводные замечания В данной статье рассматриваются только тихоновские топологические пространства, называемые «пространствами». В топологической терминологии и обозначениях придерживаемся монографии [1]. Напомним, что записи s(X), hl(X), hd(X) означают соответственно спрэд, наследственное число Линделёфа и наследственную плотность пространства X. Символами N, Ж. обозначаются множества натуральных и соответственно вещественных чисел. Основные сведения о пространствах непрерывных вещественнозначных функций Cp(X), определённых на пространстве X, в топологии поточечной сходимости, а также об основных конструкциях и терминах, связанных с ними, можно найти в [2]. В частности, запись Cp(X|A) означает пространство всех непрерывных функций на подпространстве A с X, допускающих непрерывное продолжение на всё X. Вместо Cp(Cp(X)) пишем CpCp(X). Обозначаем C°pCp (X) подпространство пространства CpCp(X), состоящее из функций, обращающихся в ноль в точке 0 е Cp(X). Элементы пространства C°pCp (X) называем функционалами. Если задано гомеоморфное вложение h : Cp (X) ^ Cp (Y), то, не уменьшая общности рассуждений, можно считать, что h(0) = 0. Вместе с таким вложением задано непрерывное отображение h* :Y^C°pCp(X) правилом h*(y)( е . Тогда f называется функционалом с конечным носителем, а множество К называется носителем функционала f Ниже без доказательств приводятся те факты о функционалах с конечным носителем, которые необходимы для дальнейшего изложения. Эти факты (леммы 1.2 - 1.5) установлены в статьях [4, 5]. Лемма 1.2. Функционал f = 0 » К = 0 . Лемма 1.3. Если f - функционал с конечным носителем К , ф, у е Ср (X) и ф совпадает с у в точках К , то f (ф) = f (у). Лемма 1.4. Каждый функционал с конечным носителем имеет единственный носитель. Множество всех функционалов с конечным носителем, с топологией, индуцированной из C°pCp (X), обозначаем L (X). Лемма 1.4 означает, что правилом f ^ Kf) корректно определено конечнозначное отображение К : L (X) ^ X . Различие между пространствами L (X) и Lp (X) видно из следующей леммы. Лемма 1.5. L (X) есть всюду плотное в Cp°Cp (X) линейное подпространство, содержащее Lp (X). Как и Lp(X), пространство Lр (X) можно «рассортировать» по количеству точек в носителях его элементов. А именно, обозначим L(n) ={f е Lp(X):|К(f )| = n}. Кроме того, обозначим En (X) = {A с X :| A\ = n} для всякого n е N. Будем считать множество En (X) наделённым топологией Вьеториса. Напомним, что стандартную базу этой топологии образуют множества вида U = (Uj,...,Un) = {A е En(X):A с U1 uuUn,AnUt ^0,i = 1,_,n}, где множества Ui открыты в X и Ui n Uj =0 при i Ф j . Справедлива следующая лемма, аналогичная предложению 2.5 из [6]. Лемма 1.6. Для каждого n e N отображение sn : L(n) ^ En (X), sn (f) = K(f) непрерывно. Доказательство. Пусть f e L(n), sn (f) = (xj,..., xn} e En (X), U - окрестность точки sn(f). Можем считать, что U = (U1,.,U^ и xi e Ui при i = 1,...,n. Укажем окрестность V элемента f e L(n), для которой sn (V) с U . В силу (ii) существуют функции фi e Cp (X), тождественно равные 0 вне Ui и такие, что f (фг- 0 при каждом i = 1,...,n. Рассмотрим образы ф; : CpCp(X) ^ Ж. этих функций при каноническом отображении вычисления Л: Cp (X) ^ CpCpCp (X) (см., например, [2]). n Положим V = (ф- (Ж \ (0}))n L(n), V = P|V . i=1 Ясно, что множество V открыто в L(n). Включение f e V следует из того, что фг (f) = f (фг )* 0 при всех i = 1,...,n. Наконец, убедимся, что sn (V) с U. Пусть ge L(n) таково, что sn(g) = (y1,...,yn}g U . Это означает, что для некоторого k, 1 < k < n , имеем Uk nsn(g) = 0 . Следовательно, фк (yi) = 0 для всех i = 1,...,n. По лемме 1.3, g (фк) = cpk (g) = 0 , а значит, g gVk и, тем более, g g V . ■ Лемма 1.7. Пусть f e L (X), K = K(f - (конечный) носитель f. Тогда найдётся непрерывное отображение f': Ж.K ^ М, такое, что f = f' о pK , где pK : Cp (X) ^ RK - отображение сужения. Доказательство. Из леммы 1.3 следует, что формулой f '(r) = f (pKl(r)), r e КK , корректно определено отображение f': MK ^ M , причём, очевидно, выполнено равенство f = f' ° pK . Осталось показать, что отображение f' непрерывно. Так как отображение f непрерывно, а pK - открыто, то достаточно установить равенство f ,_1(U) = pK (f l(U)) для произвольного открытого множества U с Ж.. Но оно элементарно выводится из того, что f = f' ° pK . ■ Условимся для каждого подпространства B с Lp (X) обозначать символом X(B) объединение носителей всех функционалов из B. Лемма 1.8. Пусть B с L (X). Тогда B допускает непрерывную факторизацию через X(B) (следовательно, зависит от X(B)). Доказательство. Пусть f e B . По лемме 1.7, f = f' о pK . Обозначим символом pK (b ) отображение сужения функций с X(B) на подмножество K с X(B). Определим отображение f0 : Cp (X|X(B)R формулой f0 = f' о pK(B). Тогда f0 непрерывно, будучи композицией непрерывных отображений. Кроме того, имеем f0 ° px(в) = f' ° PK: (B) ° PX(B) = f' ° PK = f . ■ 2. Основные результаты В этом разделе докажем основную теорему этой статьи (см. теорему 2.3 ниже), а также её приложения к наследственным кардинальным инвариантам (следствия 2.4 - 2.6). Предварительно установим некоторые вспомогательные факты. Зафиксируем число n е N и рассмотрим произвольное Y с En (X). Для каждого y = {xj,...,xn}е En(X) положим un(y) = {xj,...,xn}с X , а также Z = un (Y) =u{un (y): y е Y }с X . Лемма 2.1. Многозначное отображение un : Y ^ Z обладает свойствами: (а) Отображение un ровно n-значно и биективно; (б) Отображение un полунепрерывно сверху и полунепрерывно снизу. Доказательство. Пункт (а) очевиден. Справедливость (б) проверяется легко. Докажем, например, полунепрерывность снизу. Возьмём открытое множество G с Z и рассмотрим V = {y е Y : un (y) n G ^ 0}. Пусть v е V. Тогда найдутся дизъюнктные окрестности Ux всех точек x е un(v) с Z, такие, что Ux с G при x е G. Значит, стандартная окрестность U = (Ux : x е un (v)) точки v е Z в топологии Вьеториса содержится в V, то есть множество V открыто в Y. ■ Определение 2.2. Будем называть ровно n-значные, полунепрерывные сверху и полунепрерывные снизу отображения n-бинепрерывными. Заметим, что каждое непрерывное отображение, очевидно, является 1-бинепрерывным. Теорема 2.3. Пусть P - некоторое свойство топологических пространств, сохраняющееся при следующих операциях: 1. Переход к подпространству. 2. Переход к образу при непрерывном отображении. 3. Переход к образу при биективном n-бинепрерывном отображении для любого n е N. 4. Взятие объединения не более чем счётного семейства пространств, обладающих свойством P. Тогда, если B с Lp (X), B обладает свойством P, то и X(B) обладает свойством P. Доказательство. Пусть B с L (X). Зафиксируем n е N произвольно и рассмотрим Bn = B n L(n). Если B обладает свойством P, то по п. 1, Bn с B также обладает свойством P. По лемме 1.6, отображение носителя sn : Bn ^ En (X) непрерывно, поэтому, в силу п. 2, Yn = sn (Bn) также обладает свойством P. Далее, по лемме 2.1, отображение un : Yn ^ An = un(Yn) биективно и n-бинепрерывно. Значит, по п. 3, подпространство An с X обладает свойством P. Наконец, ясно, что X(B) = u {An : n е N}, и потому X(B), в силу п. 4, обладает свойством P. ■ Следствие 2.4. Пусть т - некоторый кардинал, B - произвольное подпространство в L (X), обладающее одним из свойств hl(B)

Скачать электронную версию публикации