Stability of a supersonic Couette flow of vibrationally excited diatomic gas.pdf В работах [1, 2] устойчивость плоского дозвукового течения Куэтта термически неравновесного молекулярного газа рассматривалась на основе нелинейной энергетической теории. Проведенное в этих работах обобщение теории на случай сжимаемых течений позволило получить значения критических чисел Рейнольдса Recr, в том числе и для слабо неравновесного газа. Найденные значения Recr по порядку величины совпадают с критическими числами Рейнольдса, полученными в аналогичной постановке для несжимаемого течения [3]. Этот результат подтверждает известное представление о том, что дозвуковое течение Куэтта можно считать практически несжимаемым. Вместе с тем экспериментальные данные по Recr в обоих случаях превосходят расчетные значения на несколько порядков. При этом для несжимаемой жидкости в настоящее время отсутствуют подходы, которые позволили бы сблизить данные теории и эксперимента. До последнего времени единственной альтернативой энергетической теории была классическая линейная теория устойчивости. В ее рамках плоское течение Куэтта несжимаемой жидкости изучалось многими авторами. Краткий обзор работ в этом направлении приведен в [4]. Центральным здесь является строгий математический результат [5] о его абсолютной устойчивости при всех числах Рейнольдса и произвольных длинах волн возмущений. Для случая течения Куэтта сжимаемого газа к настоящему времени сложилась не столь определенная ситуация. Действительно, приложению линейной теории устойчивости к исследованию плоского течения Куэтта с учетом сжимаемости посвящено гораздо меньшее число работ. Кроме ранних публикаций (см. библиографию в [4]), в которых рассматривались упрощенные модели, достаточно полные результаты получены в работах [4, 6] и в сравнительно недавних работах [7, 8], объединенных общей постановкой задачи. Асимптотические исследования устойчивости в невязком пределе, а также при больших, но конечных числах Рей-нольдса, представлены только в [4]. При этом для нахождения асимптотики спектра собственных мод для конечных чисел Рейнольдса использовался метод возмущений, отличный от традиционного подхода линейной теории [9]. В частности, не рассматривалось асимптотическое построение кривой нейтральной устойчивости. Основные численные результаты во всех трех работах получены методом кол-локаций с использованием QZ-алгоритма для нахождения спектра фазовых скоростей возмущений. Тем не менее результаты работ [6-8] противоречат более ранним результатам [4]. Авторы [4] констатировали сильное стабилизирующее влияние вязкости и отсутствие растущих вязких мод вплоть до чисел Re = 5-106 при числах Маха M < 5. Отсутствие растущих вязких мод было также зафиксировано на основе асимптотических поправок к результатам в невязком пределе. В то же время в численных расчетах [6-8] были найдены неустойчивые вязкие моды при близких числах Рейнольдса. Более того, авторами [6, 7] было обнаружено, что в некотором диапазоне длин волн, чисел Рейнольдса и Маха вязкость оказывает дестабилизирующее воздействие. В частности, возникает неустойчивость выделенной моды, устойчивой в невязком пределе. Возможной причиной такого расхождения является несовершенство реализации численного метода в [4], где использовалась авторская разработка, в отличие от работ [6-8], применявших профессиональное математическое обеспечение, которое в [6, 7] дополнительно тестировалось на основе альтернативного конечно-разностного метода. Общие характеристики линейной устойчивости плоскопараллельных течений колебательно-возбужденного газа рассматривалось в [10, 11], где было показано значительное стабилизирующее воздействие релаксационного процесса. Линейная устойчивость течения Куэтта в условиях сильного отклонения от термодинамического равновесия до последнего времени не исследовалась. Следует отметить, что в цитированных работах влияние объемной вязкости, отражающей слабую неравновесность внутренних степеней свободы молекул газа, исключалось с помощью соотношения Стокса. Поэтому обращение к линейной теории с целью исследования влияния термической неравновесности на характеристики устойчивости классического течения представляет самостоятельный интерес. Результаты, полученные на основе линейной теории для невозбужденного газа, в принципе позволяют надеяться на сближение по порядку величины расчетных и экспериментальных значений критических чисел Рейнольдса по сравнению с результатами [1, 2], по крайней мере, для сверхзвуковых чисел Маха. Постановка задачи и основные уравнения Рассматривается линейная устойчивость плоского течения Куэтта термически неравновесного двухатомного газа. В координатной плоскости (x, y) поток ограничен двумя бесконечными параллельными плоскостями, находящимися на расстоянии h друг от друга. Считается, что плоскость y = 0 покоится, а граница y = h движется равномерно в собственной плоскости со скоростью U0. Исходной математической моделью течения газа служит система уравнений двухтемпературной аэродинамики. В соответствии с физическими представлениями [12, 13] модель двухтемпературной аэродинамики является общепринятой физико-математической моделью течений колебательно-возбужденного молекулярного газа, когда диссоциацией молекул, возбуждением верхних колебательных уровней и поправками на ангармонизм колебаний можно пренебречь. В качестве характерных величин для обезразмеривания были выбраны ширина канала h, скорость границы U0, плотность р0 и температура T0 основного течения на движущейся границе канала и образованные из них время т0 = L/U0 и давление p0 = p0U02. В безразмерных переменных система уравнений двухтемпературной аэродинамики имеет вид ( Л д2и, д V. др + д р u д t д X: д и д и -- + и.-: v дt 1 дX,v j У д p 1 1 1 = 0, р 2 + Re а, +д x,. Re д x 3 у дх, дх I д T + д T ^ д и р1 ^ + и, ^1 +(у - 1)р T = д t д х, у д х, Y дT + YvP (Tv - T) + у(у -1) 2 +* * - Ж д x, д x,. v j 1 У 2Re RePr д x2 20 YYv дХ YvP (Tv - T) д Tv д Tv Y vp' -д7+и Й 33RePr дx,2 Y M p = p T, Yv = Y vib 1 - Y vib i, 1 = 1, 2, (1) где x1 = x, x2 = y, а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Параметры, входящие в уравнения системы (1), определяются следующим образом. Коэффициент aj = nb/n есть отношение объемной и сдвиговой вязкостей. Коэффициент у = cp/cv - показатель адиабаты, cv = cv t+ cv r, cp = cv+R - соответственно удельные теплоемкости при постоянных объеме и давлении, где выделены составляющие, обусловленные поступательным cv t и вращательным cv r движением молекул газа, R - газовая постоянная. Коэффициент yvib = cv v/(cV t+ cv r+ cv v) характеризует степень неравновесности колебательной моды, cv v - удельная теплоемкость при постоянном объеме, связанная с колебательным движением молекул газа, т - характерное время колебательной релаксации. Параметры Re = p0hU0/n и M = U0/(yRT0)12 есть соответственно числа Рейнольдса и Маха несущего потока. Pr = п^/Х - число Прандтля, где коэффициент теплопроводности X = X t+X r определяется поступательными и вращательными степенями свободы молекул газа. Нижний предел Yvlb = 0 соответствует случаю невозбуждения колебательной моды молекул. С другой стороны, равнораспределение энергии по степеням свободы молекул не является здесь верхним пределом для параметра yvlb. Поскольку закон равнораспределения энергии неприменим в неравновесной ситуации, описываемой системой уравнений (1), когда разрыв между статической температурой потока T и колебательной температурой Tvlb может быть достаточно велик. В [13] показано, что при T = 300 К неравновесная теплоемкость cvlb и 1,8R. Используя равнораспределение энергии в состоянии термодинамического квазиравновесия по поступательным и вращательным модам молекул, получаем, что параметр yvlb и 0,42. С ростом разрыва между температурами Tvlb и T значение yvlb увеличивается, приближаясь в пределе к единице, когда энергия колебательной моды молекул существенно превышает температуру квазиравновесного термостата, определяемого поступательными и вращательными степенями свободы молекул. В расчетах максимальное значение параметра yvlb было выбрано равным 0,4 для того, чтобы остаться в рамках используемой модели, избежав возбуждения высоких колебательных уровней энергии. Предполагается, что в невозмущенном стационарном потоке все параметры зависят только от поперечной координаты y, статическая TS и колебательная TvlbS температуры равны: TS (y) = Tvlb S (y). Для исходного течения ставятся следующие граничные условия: Us (0) = 0, US (1) = 1, dTS = 0, Ts (1) = 1. dy y=0 В результате получаем, что точное решение системы (1) имеет вид (Y - 1)PrM2 2 Us (y) = y, Ts (y) = TVlb, s (y) = 1 +JL-L:-(1 - у2), ps(У)= Ps (У) = (2) Ts (У) Y M2 Подстановка мгновенных значений гидродинамических переменных возмущенного потока в виде u1 = US + ux , u2 =u y , P = PS + ^ T = TS + T, Tvlb = Tv vlb, S + Tvlb , p = ps + P (где ux (x, y, t), uy (x, y, t), p(x, y, t), p(x, y, t), T(x, y, t), x, y, t) - возмущения компонент скорости, плотности, давления, статической и колебательной температур газа) в уравнения системы (1) и последующая их линеаризация относительно стационарного решения (2) приводит в первом приближении к системе уравнений для малых возмущений: др ( дu д u y др д t + U + u ^д2 U x д_К д x диx д t - + Us Ps l -+и,. д x ду2 д У S д x PS V д x д y = -дф + J_ д x Re = 0, дР s У д У +-l а, +-Rev 1 3 д 2u У д 2и ^ 2 -д u x дx2 дxдy ps&+us ^1 = -^ +J- V д t д x у д y Re Гд2и„ д2и 2 2 д2д 2и (3) +-I а1 +- ReV 1 3 д x 2 д y 2 дyдx дy2 д TS Ps I-+ US- + й y , д x д y У V д x д y д Ux д и, д!_ д t дT + y(Y - 1)M2 PsI + Yv Ps (TTvib -Ъ , 2Y(Y- 1)M2 Гдйх д1 dU 2 'тЛ 2 д2 T д2 T Y дy дx J dy д x2 д y дГ Re Pr Re д Te 1 д T 20 YY v vib vib vib + Us + и y Yv Ps д t д x д y д x2 33RePr д2 T^ , д 2 Tib 1 Yv Ps (Tib - T) д y 2 Y M2 p = psT + p Ts. Принималось, что на границах канала при y = 0 и y = 1 все возмущения обращаются в нуль и периодичны по продольной координате x. Представляем периодические по x возмущения в виде бегущих плоских волн: q(x, y, t) = (ux, uy, p T, ^ p)-a(x-ct) q (x, y, t) = q0( y) - e1 q0(y) = (и, аV, p,0, 0v, p), где а - волновое число вдоль периодической переменной x, c = cr+icj - комплексная фазовая скорость, i - мнимая единица. Подставляя (4) в уравнения системы (3), получим, что амплитуды возмущений будут удовлетворять следующим уравнениям: 1а Dp + apSv + psa = 0, -Ди -psDu -apsvUs -iae = 0, -Av- apsDv-e'= 0, Re Re (4) Y Д0 -psD0 - apsvT's - (y-1)a + 2Y(Y 1)M (u' + ia2v)) + YvPs(0v -0) = 0, (5) Re RePr Д 0v - YvPsD0v - aYvPsvT's -^(0v -0) = 0, YM2p = p5 0 + pTs n = 01 1 = 0 I n = 0v| 1 = p| n = p| 1 = 0,(6) ly=0 Iy=1 v ly=0 v ly=1 Г |y=0 Г |y=1 ' V / D = ia(Us - c), a = a(v' + iu), u n = u\ , = V\ „ = V , ly=0 ly=1 ly=0 ly=1 где Y vib d2 1 Д = a1 +e = p- --a dy 2 Re Yv = - Y vib а штрих у функций здесь и далее обозначает дифференцирование по переменной y. Система (5) вместе с однородными граничными условиями (6) определяет спектральную задачу, в которой собственными значениями являются комплексные фазовые скорости возмущений c = cr+ici, а числа Маха M, Рейнольдса Re и волновое число а служат параметрами. Методы решения спектральной задачи Для расчета собственных значений c = cr+ici неустойчивых мод система уравнений (5) сводилась к матричному виду и далее решалась численно в среде пакета Matlab. Использовался метод коллокаций, основанный на полиномиальной интерполяции собственных функций полиномами Чебышева [14, 15]. В качестве узлов коллокации (интерполяции) выбирались точки Гаусса - Лобатто 1 L ( п п 1 + cos l , N, Уп =■ п = 0,1, N в которых полином Чебышева N-й степени имеет экстремумы на отрезке y = [0, 1]. Дифференциальные операторы первого порядка, входящие в спектральную задачу, аппроксимируются на данном шаблоне матрицей коллокационных производных DlN размером (N+1)x(N+1), элементы которой определяются по формулам [14, 15] I * 1, 1 < I = j < N -1, I = j = 0, I = j = N, При этом элементы 1-й строки матрицы DlN являются коэффициентами разностной аппроксимации первой производной в 1-м узле коллокации на шаблоне {yk}, k = 0, 1, ..., N. Дифференциальные операторы второго порядка аппроксимируются суперпозицией dN = DlNDlN [14, 15]. ,i+1 (-1) si( у - У]) _ У] 2(1-У? ) {2 j = 0, N, j = 1,2, ..., N -1. DN,ij = Si = 2 N2 +1 6 2 N2 +1 В терминах введенных аппроксимаций задача (3) сводится к обобщенной задаче на собственные значения (линейному матричному пучку) относительно спектрального параметра c = cr+ici: (7) X (Gkj -cFkj)г] = 0, k = 0,1,2, ...,5N + 4. j=0 В (7) вектор неизвестных r размером 5(N+1) состоит из значений собственных функций в узлах коллокации: r (x2) = (Л^ Pl,., P N , ^ u1 ), , uN, v0, vb vv,0'vv,1' а матрицы G, F размером 5(N+1)x5(N+1) вычисляются с использованием специальной процедуры Matlab по формулам G = A1 ® DN + A2 ® DN + A3 ® In , F = A4 ® IN . Здесь знак «®» обозначает прямое (тензорное) произведение матриц [16]; IN -единичная матрица размером (N+1)x(N+1); Aj (j = 1, 2, 3, 4) - матрицы размером 5x5: (0 0 1 0 Re a 0 0 -la, +- Re I 1 3 0 0 0 0 20 YYv 33RePr A = 0 0 0 RePr 0 0 0 0 ia ( 1 -l a, +- Re I 1 3 2y(y - 1)M2^ Re 0 0 0 T, 4 = Y M2 0 0 -Ps ia2 ( 1 -l a. +- Re I 1 3 0 -a (y -1) 0 0 0^ 0 0 Ps 0 Y M2 00 0 0 -Ps -aPsU's ( -iUs i a T, 0 A 0 0 Y vPs T - Yv a4 0 _ iaP s Y M2 - _Ps_ Y M2 -a3 YvPs -iPs -a a1 0 -ia (y -1) 0 Y M2 T' Y M2 0 0 A3 = Л A4 = -a2 a2 a a5 -aYv PsTs (-i 0 0 0 0 0 -iPs 0 0 0 0 0 -ia2Ps 0 0 0 0 0 -iaPs 0 V 0 0 0 0 -iaYv a ( 4A . TT a . TT Ya YvPs a1 = Ъ~\ a1 + 7Г lPsUs. a2 - + iPsUs. a3 = +-+ iaPsUs . Re v 3 J Re Re Pr t Re 1 - Yvib a4 = i2!2l + fit + iaPsUs , a5 = ^- 1)M2US -рД. Yv =■ ^ 33RePr t Однородные граничные условия (6) для уравнения (7) учитываются неявно через оператор DlN и на дискретном уровне реализуются заменой матриц dN (k = 1, 2) на окаймленные матрицы размером (N-1)x(N-1) [14, 15], которые получаются при выполнении условий D1 = D1 = 0 D1 = D1 = 0 j - N, J - и> ui,0 ~ i,N - и> i = 0,1,...,N, j = 0,1,...,N, t = 1,2. Для нахождения всех собственных значений и функций обобщенной спектральной задачи (7) использовалась процедура Matlab, реализующая QZ-алгоритм, который позволяет одновременным ортогональным преобразованием привести пару матриц G, F к обобщенной верхней треугольной форме [17]. В результате применения данной процедуры для фиксированных значений чисел Рейнольдса Re и Маха M, объемной вязкости аь степени неравновесности колебательной энергии yvib, времени колебательной релаксации т и волнового числа а получается набор (N+1)-ro собственных значений c = cr+ici. Для проверки точности вычислений параллельно были проведены расчеты собственных значений c = cr+ici с помощью метода «стрельбы». Для этого уравнения (5) заменялись фундаментальной системой уравнений и граничными условиями для вещественных и мнимых частей функций р, и, V, 6 и 6vib. Полученная система при фиксированных наборах параметров Re, M, yvib, т и а интегрировалась численно с помощью процедуры Рунге-Кутты четвертого порядка на интервалах ye [0; 0,5] и ye [0,5; 1] с шагом Ay = 10-3. Шаг по волновому числу Да = 10-3. Точкой «прицеливания» служила середина канала y = 0,5. Значения cr и ci подбирались таким образом, чтобы вычисленные «слева» и «справа» в точке y = 0,5 значения функций pr, ur, vr, 6r, 6vib, r и р, u,, vi, 6i, 6vib, i совпадали с точностью до 10-8. Соответствующее такому совпадению значение c принималось в качестве собственного значения при заданном наборе параметров Re, M, а!, yvib, т, а. Сравнение результатов, полученных с помощью методов коллокаций и «стрельбы», показало, что различия в значениях c = cr+ici, наблюдаются лишь в шестом-седьмом десятичных знаках после запятой. Таким образом, была обеспечена необходимая точность вычисления инкрементов (декрементов) возмущений. Расчеты велись при следующих значениях параметров: yvib = 0-0,4; т = 10-2-10; а! = 0-2; M = 0,5-15; Pr = 3/4; y = 7/5. Значение волнового числа менялось в диапазоне а = 0-10 с шагом Да = 10-3. Число узлов коллокаций в интервале [0, 1] варьировалось в диапазоне от N+1 = 100 до N+1 = 500 и в большинстве расчетов принималось равным N+1 = 300. Результаты расчетов Классификация вязких мод возмущений на четные и нечетные осуществляется аналогично классификации этих мод в невязком приближении [4] и сохраняется для случая колебательно-возбужденного газа [11]. Параметрические расчеты спектральной задачи показали, что изменение значений времени колебательной релаксации в диапазоне 10-2 < т < 10 слабо влияет на поведение кривых ^(а^ьу^, M, Re) и ^(а^ьу^, M, Re). Поэтому ниже расчетные данные приведены для одного значения характерного времени т = 1. Расчет нейтральных кривых для n-й вязкой моды возмущений проводится следующим образом. Для фиксированных значений параметров аь yvlb и числа Маха M вычисляются двухмерные массивы инкрементов (декрементов) n-й вязкой моды jk (a j, Rek) = а j ci (а j, Rek), где одномерные массивы a,-, Rek рассчитываются по формулам a- = a0+j Да (j = 0, 1, ..., J) и Rek = Re0+k ARe (k = 0, 1, ..., K), Да и ARe - шаги по волновому числу и числу Рейнольдса соответственно. Массив On jk (aj, Rek) определяет поверхность ra,(a, Re) для n-й вязкой моды возмущений. Координаты точек, определяющих геометрическое место данной изолинии поверхности ra,(a, Re) на плоскости (a, Re), вычисляется по формуле | оП jk (aj, Rek) - C | < 10-8, где C представляет собой некоторое заданное числовое значение. При C = 0 получаем нейтральную кривую ro,(a, Re) = 0 для n-й вязкой моды возмущений. Используя подход, описанный выше для случая, когда фиксируются значения параметров a1, yvlb и Re, получим поверхность ю,(М, а) и нейтральную кривую ю,(а, М) = 0 на плоскости (a, М) для n-й вязкой моды возмущений. Графики зависимостей фазовых скоростей cr(a) для семейств четных и нечетных мод возмущений приведены на рис. 1, где сплошной и штриховой линиями показаны зависимости cr(a) для четных и нечетных невязких мод возмущений соответственно при yvlb = 0 и yvlb = 0,4. Из данного рисунка, следует, что варьирование числа Рейнольдса Re при фиксированных значениях параметров М, a1, yvib не оказывает влияния на cr(a). Из поведения кривых на рис. 1 следует, что рост значений параметра yvib приводит к уменьшению для cr < 0 и cr > 1 и к возрастанию для cre (0; 1) по модулю значений фазовых скоростей cr, но при этом их значения не выходят за границы cr = 0 и cr = 1. Для нечетных мод при a^-0 cr > 1 и для всех мод, кроме моды I, +да. В то же время для четных мод при a^-0 cr < 0 и для всех мод, за исключением моды II, -да. Выделенные моды I и II при a = 0 имеют конечные пределы. 2 Рис. 1. Фазовые скорости c,(a) при a! = 0 (а - М = 2, б - М = 5; 1,1' - мода I, 2, 2' - мода II, 3, 3' - мода III, 4, 4' - мода IV, 5, 5' - мода V, 6, 6' - мода VI, 7, 7' - мода VII, 8, 8' -мода VIII; о - Re = 5-105, х - Re = 5-106; сплошная линия - невязкие моды при yvlb = 0, пунктирная - невязкие моды при yvlb = 0,4) 2 -2 1 0 I 7' i|r=r=S=8 Лб'/ly/ M\r а 4 a Расчеты зависимостей cr(a) для четных и нечетных вязких мод возмущений показали, что первыми пересекают границы интервала cre [0; 1], в котором в соответствии с первым условием Рэлея [9-11] возможно развитие неустойчивости, вязкие моды I и II (см. рис. 1). При этом, как мы видим, моды I и II пересекают линию cr = 1 для M = 2 при а и 3,4, а для M = 5 при а и 1,9. Значения cr для старших четных (IV, VI и т.д.) и нечетных (III, V и т.д.) мод возмущений в диапазоне волновых чисел 0 < а < 3,4 для M = 2 и при 0 < а < 1,9 для M = 5 лежат вне интервала неустойчивости cre [0; 1]. Из рис. 1 следует, что рост числа Рейнольдса Re не оказывает влияния на изменение фазовых скоростей cr как четных, так и нечетных мод возмущений. а) Влияние вязкости на инкременты наиболее неустойчивых вязких мод возмущения в совершенном газе. На рис. 2 и 3 демонстрируется влияние варьирования числа Рейнольдса Re на поведение зависимостей инкрементов ю,- = iаci(а) для наиболее неустойчивых вязких мод I и II в совершенном газе (а! = yvlb = 0) при фиксированных числах Маха M = 2 и M = 5 соответственно. Из графиков рис. 2 следует, что при M = 2 для широкого интервала изменения числа Рейнольд-са Re значения ю, возрастают с ростом Re, но остаются в отрицательной полуплоскости ю,- во все диапазоне изменения волнового числа а. 0 -4 1 " -_ ----- ----- -Л \ \ а 3 4 5 6 а 2 s -2f" 4 0 Л _У \ ' - - б 3 4 5 6 а -12 Рис. 2. Зависимости ю,(а) для моды I (а) и моды II (б) в совершенном газе при M = 2 (линия в виде точек - Re = 107, штрихпунктирная - Re = 106, штриховая - Re = 105, сплошная -Re = да) Из рис. 3 следует, что графики зависимостей ю,(а) для наиболее неустойчивой моды II при M = 5 и различных значениях Re имеют два четко выраженных «пика», ширина первого из которых существенно меньше ширины второго. С ростом значений Re, как мы видим, ширина второго «пика» увеличивается, а ширина первого «пика» уменьшается. При этом высота первого «пика» падает, приближаясь в пределе Re^-да к нулю, а высота второго «пика» наоборот растет. Причем рост значений ю, в диапазоне волновых чисел а, принадлежащих области второго «пика», ограничен сверху кривой, полученной в невязком приближении Re^-да (сплошная линия на рис. 3). В полуплоскости ю,- < 0 рост значений Re сопровождается ростом значений ю,-. а Рис. 3. Зависимости 0 (течение неустойчиво), а вне - ю,- < 0 (течение устойчиво). Точки A1, A'1, A2, A'2 и B1, B\, B2, B'2 на нейтральных кривых ю,(М, Re, а, а1, Yvib) = 0 представляют собой соответственно левые и правые критические точки на плоскости (M, а). Из рис. 4 следует, что рост параметров а1, и Yvib не меняет форм областей неустойчивости мод I и II, но их границы с ростом возбуждения внутренних степеней свободы молекул газа смещаются в сторону больших волновых чисел а. При этом абсциссы точек A1, A2 на нейтральных кривых ю ,(М, Re, а, а1, Yvib) = 0 смещаются в сторону больших значений числа Маха М (абсциссы точек A'1, A'2), а абсциссы точек B1, B2 - в сторону меньших значений М (абсциссы точек B'1, B'2). Следовательно, с ростом значений параметров а1, Yvib размеры областей неустойчивости вязких мод I и II уменьшаются. 3,5 4,8 а 3,1 1,4 2,5 2,4 а 3 Л % э 1% а 3 м 3,6 Рис. 4. Изолинии инкрементов роста 0. С ростом а1, yvib значения максимумов падают, а значения волновых чисел а, при которых они достигаются, смещаются в область больших а. При этом мы наблюдаем, что на достаточно узких интервалах изменения волнового числа 2,68 < а < 2,78 для моды I и 2,29 < а < 2,40 для моды II рост значений параметров а1, yvlb приводит к дестабилизации первой и второй мод возмущений, а вне указанных интервалов к их стабилизации. Рис. 5. Зависимости инкрементов роста

Скачать электронную версию публикации