The group velocity of a wave packet formed by two free identical particles with different non-relativistic velocities.pdf В ряде задач исследуются квантовые системы, состоящие из двух частиц [1-3]. При этом преимущественно рассматриваются частицы, связанные взаимодействием в большей [1, 2] или меньшей [3] степени. Потенциал взаимодействия существенно влияет на вид волновой функции и в любом случае обусловливает непрерывный спектр ее гармоник. Установление квазиимпульса двухчастичной системы [1] и интерпретация волновой функции как ядра интегрального оператора (Гильберта - Шмидта) [3] предполагают определение групповых скоростей волновых пакетов, что не представляет затруднений в силу непрерывности их спектров. При движении частиц (не связанных взаимодействием) с неравными фиксированными скоростями частоты волн де Бройля образуют дискретный спектр, в связи с чем для определения групповой скорости волнового пакета формула d ю (1) Vg = Ik (1) [4] не подходит, поскольку предполагает, по крайней мере, кусочно-непрерывную зависимость ю(к). Здесь ю - циклическая частота, k - волновое число. Задача, таким образом, заключается в отыскании формулы групповой скорости для дискретных значений ю и к. Результаты решения этой задачи могут быть применены к классу частиц, не связанных полевыми взаимодействиями, в том числе нейтронам, которые в результате некоторых ядерных реакций образуют двухчастичные квантовые системы, например 235тт . 1 . 139 v„ . 95с, . т 1 92U+0n ^ 54Xe + 38Sr + 20n . Пусть две частицы образуют квантовую систему в пространстве М3, имеют одинаковые массы m и движутся с фиксированными нерелятивистскими скоростями v1 и vi. В начальный момент координаты частиц совпадают. Соответствующий им волновой пакет имеет вид Y (x, t) = Ce~i(a4t-k1x) + Ce-^-k2x), (2) где C определяется из условий нормировки волновой функции. При этом mv 52h mv (3) (4) (5) к = h ю T где h - постоянная Планка, v9 - фазовая скорость [4, 5]. Для названных условий имеют место две теоремы, первую из которых предваряет следующая Лемма. Справедлива формула izo г, I z2 - z, A 2(zi + z2 ) e-i + eiz2 = 2cosl --L I e2 = 2cos' z-- Доказательство. e 1 + e 2 = cos zL + i sin zL + cos z2 + i sin z2 = = cos zL + cos z2 + i (sin zL + sin z2) = = 2cos I z^iL I cos | 1 + 2i cos I ^^ | sin f zi + z2 z, + z2 A . f z, + z2 cosI --2 I+ isin1 --2 = 2cos^^2^L J e Лемма доказана. Теорема 1. Групповая скорость волнового пакета (2) определяется выражением ю2 -ю, к2 - к1 (6) v£ = Доказательство. В соответствии с леммой выражение (2) приводится к виду ю2-ю, к2 - к, A - 2 [(ю1 +ю2 )t-(ki+к2)х] ¥(х, t ) = 2С cos ^ t ---- х I e 2 J ю -ю, кт - к Модуль волновой функции = 2С cos За время t максимум модуля перемещается на расстояние x [6]. Таким образом, его скорость, или групповая скорость, x ю2 - ю1 t k2 kj Теорема доказана. Замечание. (6) можно представить в виде Дю Vg = Ak ' Таким образом (1) является предельным случаем (6). Теорема 2. Групповая скорость волнового пакета (2) равна сумме фазовых скоростей его гармоник ю1 ю2 v„ = Vm1 + Vmo =--+ - (7) ф1 ф2 k k Доказательство. Очевидно тождество 2 2 2m2Vj2 2m2vi В соответствии с (3) и (4) оно приводится к виду Ью1 Йю2 h k h k2 - ю2kj = 0 , Ю 2 k k2 Ю1 kj - Ю1 Ю 2 kj + Ю 2 kj k2 Ю1 kj ^2 , k1k2 (Ю2 - Ю1 ) = ro1k2 (k2 - k1 ) + Ю2k1 (k2 - k1 ) , ю2 - raj rojk2 + ю2 kj ttlj + ю2 k2 kj kj ^2 kj k2 Или с учетом (5) и (6) Vg = V

Скачать электронную версию публикации