Stability of a column in the presence of obstacles to buckling.pdf 1. Введение В данной работе исследуется устойчивость прямолинейного упругого стержня длины L , сжимаемого продольной силой P , при наличии препятствий выпучиванию. Рассматриваются два типа препятствий: физические и геометрические. К физическим препятствиям отнесена сосредоточенная сила F, приложенная в срединном или концевом сечениях и противодействующая изгибу стержня при потере устойчивости, а также распределённая по длине стержня нагрузка с интенсивностью q и моменты M, приложенные на концах стержня. В качестве геометрических препятствий рассматриваются жёсткие стенки, расположенные вблизи стержня и мешающие изгибу стержня при потере устойчивости. Предполагается, что стенки абсолютно жёсткие и смещение стержня за их пределы невозможно. Рассматриваются стержни с шарнирными и заделанными закреплениями концов. При этом один конец стержня остаётся неподвижным при изгибе вследствие потери устойчивости, а другой смещается. Длина l проекции стержня на его прямолинейную первоначальную ось изменяется в процессе изгиба стержня. Граничные условия, выражающие условия закрепления стержня, устанавливаются в соответствии с этим изменением. При решении задачи используются линейные дифференциальные уравнение 3-го и 4-го порядков. При этом краевые задачи имеют решения, определённые лишь с точностью до некоторого неопределённого множителя [1-4]. Для определения этого множителя используется изопериметрическое условие [5], выражающее неизменность длины стержня при изгибе. Стержень с грузом и упругой опорой посредине рассматривался в [6]. Устойчивость тяжёлого горизонтального стержня, лежащего на абсолютно жёсткой поверхности исследовалась в [7]. Различные случаи препятствий и несовершенств закреплений представлены в [8-14]. 2. Стержень на двух шарнирных опорах Рассмотрим стержень, шарнирно опёртый на концах (рис. 1) и сжимаемый продольной силой P . В середине пролёта к стержню приложена сосредоточенная сила F . УЛ F P---> Рис. 1 Традиционно при исследовании стержня на устойчивость под действием продольной и поперечной сил полагают, что поперечная сила направлена в сторону выпуклости стержня и способствует потере устойчивости и последующему изгибу. Строго говоря, в этом случае, стержень изогнут уже при самых малых значениях поперечной силы F . Это задача о продольно-поперечном изгибе стержня, а не задача об устойчивости прямолинейной формы равновесия. Для исследования устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня предположим, что стержень изгибается в сторону, противоположную направлению действия поперечной силы F. Такой изгиб становится возможным, если срединное сечение подпирается с противоположной стороны жёсткой опорой, например стенкой, которая препятствует изгибу стержня в её направлении. Стержень может изгибаться только в противоположную от стенки сторону. В этом случае стержень остаётся прямолинейным при начальных значениях продольной сжимающей силы. Так как поперечная сила F противодействует изгибу, то критическая сила превосходит значение силы Эйлера. Поместим начало системы координат в неподвижной опоре. Ось Ox совместим с неизогнутой осью стержня и направим в сторону подвижного конца, а ось Oy направим перпендикулярно оси Ox в сторону выпуклости стержня. Рассмотрим условия, при которых становится возможной изогнутая форма равновесия. На концах стержня действуют реакции опор R. Уравнение равновесия моментов имеет вид EJy" + Py - Rx = 0 при x < - , EJy" + Py - Rx + F ^ x - 2) = 0 при x > - . Здесь E - модуль упругости материала стержня; J - минимальное значение момента инерции поперечного сечения стержня. Дифференцируя оба уравнения дважды, приведём их к линейному дифференциальному уравнению четвёртого порядка с постоянными коэффициентами: y '' '+а2 y ' = 0. (1) Здесь а = 4PEJ - коэффициент. При этом граничные условия, определяемые условиями закрепления, запишутся в виде у (0 ) = у (l ) = J,"(0 ) = .у"(l) = 0. (2) Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид у (х) = Cj + C2 х + C3 cos ах + C4 sin ах. Нетривиальное частное решение дифференциального уравнению (1), удовлетворяющее граничным условиям (2), становится возможным при а =п/1 и определяется с точностью до произвольного постоянного коэффициента C . у (х) = C sin ах. (3) Неизвестный коэффициент C определим из условия постоянства длины изогнутой оси стержня L = j^]l + {у^fdx = const. 0 Полагая, что на начальном этапе процесса потери устойчивости у' (х) я/2. Следовательно, изогнутая форма равновесия стержня становится возможной при нагрузке, соответствующей значению al = л/2. При этом критическое значение нагрузки равно 0,25Pe. При значениях величины al, близких к значению л/2, коэффициент C4 становится неограниченно большим. Первым конечным слагаемым в выражении (15) можно пренебречь в сравнении со вторым бесконечным слагаемым и принять выражение прогибов в виде (3) при соответствующем значении a = я/ 2l. Неограниченность прогибов является следствием применения линеаризованного дифференциального уравнения прогибов, при составлении которого кривизна изогнутой оси стержня заменялась второй производной y" от функции прогибов. На практике прогибы не могут быть бесконечными, так как длина стержня остаётся почти неизменной. Полученный результат, скорее, позволяет пренебречь конечными слагаемыми в выражении (15) и представить конфигурацию изогнутой оси стержня, на начальном этапе изгиба, в виде синусоиды (16) (17) (18) ! \ П ■ nx y(x) = C sin-. w 2/ Неопределённый коэффициент C найдём из условия (4). Для функции прогибов y (x), определяемой выражением (16), получим C(/)= -V/(L-/). Повторим рассуждения второй главы и составим уравнение энергетического баланса (8). Выражая из получающегося уравнения L - / и подставляя найденную разность в формулу (7), после преобразования получим F 2 ES P = 0,25 Pe + 43 п Рассмотрим стержень с двумя заделанными концами, в срединном сечении которого приложена сосредоточенная сила F . В этом случае дифференциальное уравнение изгиба имеет вид (1). При этом граничные условия, определяемые условиями закрепления (рис. 4), запишутся в виде У (0) = У (/) = y ' (0 ) = У (/ ) = 0. УА I F I pp I --> Рис. 4 Нетривиальное частное решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (18), становится возможным при а = 2п// и определяется с точностью до произвольного постоянного коэффициента C : y (x) = C (1 - cos ax). Неизвестный коэффициент C , определённый из условия постоянства длины изогнутой оси стержня (4), равен (19) C(/) = -V/ (L - /). Составим уравнение энергетического баланса (8) и преобразуем его к виду 2F ^2/3 L -1 = L [ nES 4F 2 ES Тогда P = 4Pe + 3п2 4. Потеря устойчивости стержня вблизи жёсткой стенки Рассмотрим прямолинейный стержень, закреплённый шарнирно на малом расстоянии S от жёсткой стенки и параллельный ей (рис. 5). При значении силы равном силе Эйлера стержень отклонится от прямолинейного положения и, изгибаясь, упрётся в жёсткую стенку. Предполагается, что при потере устойчивости, стержень начнёт отклоняться в сторону стенки. Вначале стержень коснётся стенки в крайних точках срединного сечения. По мере увеличения прогиба область контакта стержня и стенки начнёт увеличиваться. При этом часть стержня, касающегося стенки, остаётся прямолинейной. При некотором критическом значении нагрузки прямолинейная часть стержня вновь изогнётся и стержень оторвётся от стенки, изгибаясь по всей длине в противоположную сторону. Происходит вторичная потеря устойчивости стержня. Кроме продольной сжимающей силы P на стержень действуют сосредоточенные поперечные реакции со стороны шарнирных опор и распределённая реакция со стороны жёсткой стенки. Обозначим абсцисс сечения стержня, ближайшего к началу координат и касающегося стенки, через X. Тогда длина области контакта стержня и стенки равна l - 2X . Дифференциальное уравнение изгиба стержня на участке x е [0, X] может быть записано в виде (1). Граничные условия для данного участка запишутся в виде y(0) = y"(0) = 0, y(X) = S, y'(X) = 0. (20) Предполагая, что стержень прямолинеен по всему участку контакта со стенкой, получим дополнительное условие y"(X) = 0. (21) Подставляя общее решение дифференциального уравнения (1) в граничные условия (20) и (21), получим систему уравнений относительно произвольных постоянных C1, C2, C3, C4. Нетривиальное решение этой системы возможно, если аХ = п . (22) 5 При этом C1 = -, C2 = C3 = 0, C4 = 1. X Уравнение изогнутой оси стержня ( ) 5 у (х) = - х + sin ах . V 7 X Учитывая определение коэффициента а, из условия (22) найдём выражение зависимости сжимающей силы P и координаты X : P = (23) X2 EJ или Х = пл/-. (24) P Рассматривая устойчивость прямолинейного участка стержня, соприкасающегося с жёсткой стенкой, найдём критическое значение силы, при котором начнётся изгиб этого участка и его отрыв от стенки. Это значение определяется формулой Эйлера для данного участка P = . (25) ((- 2Х)2 Приравнивая выражения силы, определяемые формулами (23) и (25), найдём X из полученного уравнения Х= 1. 4 Тогда критическое значение сжимающей силы, при котором произойдёт вторичная потеря устойчивости и отрыв стержня от стенки, P = ^ = ^ . l2 6 Рассмотрим стержень, находящийся посередине между двумя жёсткими стенками. Когда сжимающая сила достигнет критического значения равного 16Pe, стержень начнёт отрываться от стенки и менять форму равновесия с односторонней выпуклостью на форму равновесия с двусторонней выпуклостью. Одна половина стержня останется выпуклой в ту же сторону, в которую стержень был изогнут до достижения критической силы, а другая половина стержня изогнётся в противоположную сторону. При дальнейшем увеличении сжимающей силы наступит момент, когда установившаяся конфигурация изогнутой оси стержня с двумя полуволнами перестанет быть устойчивой и стержень сменит её на конфигурацию с тремя полуволнами. Выясним, при каком значении сжимающей силы это произойдёт. Для крайнего изогнутого участка стержня х е [0, X] справедливы те же граничные условия (20), (21) и уравнение изогнутой оси стержня имеет вид (1). При этом значение сжимающей силы P и координаты X связаны соотношениями (23), (24). В силу симметрии, участки стержня с односторонней выпуклостью имеют одинаковую длину. Рассматривая устойчивость прямолинейного участка, касающегося жёсткой стенки, для критической силы, при которой происходит потеря устойчивости установившейся двусторонней конфигурации изогнутой оси стержня, получим 4п12 EJ P = ■ (26) Приравнивая значения силы P , определяемые по формулам (23) и (26), получим уравнение относительно X, из которого найдём X = l/ 8. Подставляя X в формулу (23), найдём значение критической силы, при котором изогнутая форма стержня с двумя полуволнами потеряет устойчивость: р=^=64 ^. l2 e Аналогично, далее найдём значение критической силы, при котором форма равновесия изогнутой оси стержня с n полуволнами перестаёт быть устойчивой и стержень принимает форму равновесия с n +1 полуволнами: 16n2п2 EJ l2 = 16n2Pe . P = В случае жёсткого закрепления граничные условия для части стержня, соответствующей x е [0, X], запишутся в виде y(0) = y'(0) = 0, y(X) = 5, y'(X) = 0. Справедливо также дополнительное граничное условие, выражающее условие прямолинейности стержня на участке контакта со стенкой y"(X)=0. Подставляя общее решение дифференциального уравнения (1) в эти граничные условия, получим y (0 ) = C2 + C3 = 0, y'(0 ) = Cj +aC4 = 0, y (X) = C1X + C2 +C3 cos aX + C4 sin aX = 5, y'(X) = C1 -aC3 sin aX + aC4 cos aX = 0, y"(X) = -a 2C3 cos aX-a 2C4 sin aX = 0. Выражая C1, C3 из первых двух уравнений системы через C2, C4 и подставляя их в последние три уравнения системы, преобразуем систему к виду C3 = C2, C1 = -aC4, C2 (1 - cos aX)- C4 (aX- sin aX) = 5, C2 sin aX-C4 (1 - cos aX) = 0, C2 cos aX - C4 sin aX = 0. Нетривиальное решение полученной системы возможно, если sin aX cos aX-1 = 0, cos aX - sin aX то есть cos aX = 1 или aX = 2п . При этом значение сжимающей силы P = ^. (27) X2 Коэффициенты C1 = 5/X, C2 = C3 = 0, C4 = -5/aX . Уравнение изогнутой оси стержня на участке x е [0, X] ( ) / / • y (x) = - x--sin ax. X aX Рассмотрим устойчивость прямолинейного участка стержня, соприкасающегося со стенкой. Критическая сила, при которой этот участок потеряет устойчивость прямолинейной формы, выражается формулой (25). Приравнивая значения критической силы, получаемые по формулам (25), (27) и разрешая полученное уравнение относительно X, найдём X = l/3 . Тогда значение критической силы, при которой произойдёт вторичная потеря устойчивости, равно p== 36Pe. l2 е Выводы 1. Предложенный метод позволяет учитывать влияние поперечных сил и моментов, препятствующих выпучиванию стержня при потере устойчивости, на критическую силу, при которой происходит потеря устойчивости. Показано, что поперечные и моментные нагрузки оказывают существенное влияние на значение критической силы. 2. Получено значение критической силы, при которой происходит вторичная потеря устойчивости стержня, расположенного вблизи абсолютно жёсткой стенки.

Скачать электронную версию публикации