The choice of a regression model of the body weight on the height via an empirical bridge.pdf 1. Введение и предварительные сведения Для исследования зависимости массы тела человека Wt от роста Hi в [1] предложена модель пропорциональности массы тела квадрату роста. Отметим, что пропорциональность предполагается для лиц одной возрастной группы и одного пола. В [2] на основании масштабных исследований показано, что эта зависимость является наилучшей в классе степенных зависимостей. Эту пропорциональность можно проинтерпретировать в виде двух различных регрессионных моделей: ln Wi = ln(aH2) + в, и Wi = a + bH2 + b,. Отметим, что рост и массу тела индивидуума можно считать случайными величинами и предполагать независимость роста Hi и корректирующего фактора е,-. Первая из этих моделей после замены переменных Y = ln(W / H2), 6=ln a приводит к модели выборки Y, =6 + 8;, а вторая является моделью двухпараметри-ческой линейной регрессии. Для того чтобы проверить соответствие каждой модели реальным данным, предлагается упорядочить наблюдения по неубыванию Hi. Если модель неправильно описывает данные, то значения Yi будут систематически уклоняться от регрессионной кривой, и это уклонение можно выявить суммированием регрессионных остатков (разностей между наблюдаемыми и прогнозируемыми значениями). Для изучения значимости этих уклонений необходимо знать предельное распределение процесса центрированных и самонормированных частичных сумм регрессионных остатков. Этот процесс называется эмпирическим мостом [3]. Нормировка, как и вообще в разных версиях центральной предельной теоремы, необходима для сходимости процесса сумм остатков к предельному. Эмпирический мост - это процесс самонормированных сумм: вместо неизвестной дисперсии регрессионных ошибок используется выборочная дисперсия регрессионных остатков. Отметим, что в случае равенства суммы регрессионных остатков нулю п.н. (как в изучаемых ниже моделях) центрирования не требуется. Однако общее определение оставлено в статье для использования в других моделях. Если для описания данных предложено несколько моделей, то вычисление достигнутых уровней значимости позволяет выбрать модель, наилучшим образом описывающую данные. Подход к анализу соответствия данных вероятностным моделям, основанный на функционалах от эмпирического моста, разрабатывался в [3-5] и применялся к анализу текстов в [3], тестированию моделей цен на недвижимость и автомобили в [6, 7], поиску неоднородностей строительных конструкций в [8]. Предлагаемый авторами подход (в отличие от использования коэффициента детерминации) позволяет сравнивать модели с разным числом параметров. В работе [5] рассмотрен пример, для которого выбором констант коэффициент детерминации может быть сделан сколь угодно близким к 1, а реально достигаемый уровень значимости (для критерия, использующего конструкцию эмпиричекого моста) с ростом объема выборки стремится к нулю п.н. Этот пример показывает, что модель линейной регрессии может объяснять сколь угодно большую долю выборочной дисперсии, но не удовлетворять строгим требованиям на суммы остатков регрессии, предъявляемых критерием эмпирического моста, и количество параметров, а также характер зависимости от них влияют только на распределение предельного процесса, на основании которого вычисляется реально достигаемый уровень значимости. Таким образом, F-тест может принимать неправильную модель, а критерий эмпирического моста отвергать ее. Эмпирический мост для модели выборки слабо сходится к стандартному броуновскому мосту, а сходимость эмпирического моста в модели двухпараметриче-ской линейной регрессии требует доказательства. При этом предельный гауссов-ский процесс отличается от стандартного броуновского моста. Рассмотрим две вероятностные модели (одно- и двухпараметрическую): у. =9 + 6,, i = 1,...,n, n >1, Y, = a + bX, +6,, i = 1,.,n, n > 1, где 9,a,b e R - неизвестные параметры регрессии, 6j,...,6n (регрессионные ошибки) - независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и конечной ненулевой дисперсией с2. Также предполагается, что X, = |in, i = 1,...,n, - порядковые статистики, где случайные величины независимы, одинаково распределены с функцией распреде ления F и не зависят от случайных величин 61,..., 6n . Неизвестные параметры регрессии обычно оценивают по методу наименьших квадратов, получая оценки 9, a, b . На основании регрессионной модели строятся прогнозные значения Y, =9, Y, = a + bX,. Остатками линейной регрессии называют случайные величины 6, = Yi - Y,. Приведем определение эмпирического моста. Эмпирический мост - это кусочно-линейная случайная ломаная Z° = (Z° (t), 0 < t < 1} с узлами в точках ( A k А , Ak--A n k n n J 2 v Vct n где Ak = 61 + . + 6k, k = 1,.,n, Aq = 0, ст2 =6 - (б)2. ^2 р 2 При условии сходимости < ^ < при n ^го слабые пределы в пространстве непрерывных на [0,1] функций C(0,1) эмпирического моста и случайной ломаной, построенной по точкам ( - k - ^ k Ak--А, kn V n 0 найдутся 0

Скачать электронную версию публикации