Orthogonalities in the multiplicative group Q +.pdf Всё больше геометрические понятия проникают в пространство изучения алгебры. Отношение ортогональности в различных алгебраических структурах вызывает интерес математиков. Так, например, Davis изучает ортогональность в кольцах [1], им также предложен интересный подход к введению ортогональности в абелевых группах [2]. О понятии ортогональности в орторешётках см. [3] и [4]. Ортогональность элементов определяется также в любой l-группе (то есть в группе, на которой можно задать структуру решётки, согласованную с операцией в группе) [5]. В [5] отмечается, что понятие ортогональности играет важную роль во всей теории l-групп. В [6] полностью исследованы ортогональности в прямых суммах циклических групп вида Z © Zp, где p - простое число. Цель данной работы - получить некоторые результаты об ортогональностях мультипликативной абелевой группы положительных рациональных чисел Q+ . В [7] Haukkanen и другие вводят понятие ортогональности в абелевой группе с помощью аксиом, которые оказываются вполне естественными, если придать им геометрическую интерпретацию. Пусть G = (G, +) - аддитивная абелева группа. Пусть L - бинарное отношение в G, удовлетворяющее следующим аксиомам: (A1) Va £ G: 3b £ G: a L b, (A2) Va £ G \{0}: aLa, (A3) Va, b £ G: a L b ^ b L a, (A4) Va, b,c £ G : a L b л a L c ^ a L (b + c), (A5) Va,b £ G: a L b ^ a L -b. Отношение L называется ортогональностью в G [7]. Так как в настоящей работе будет рассматриваться мультипликативная группа, то аксиомы (A2), (А4), (А5) лучше переписать в следующем виде: (A2) Va е G \{1}: aLa, (A4) Va, b,c е G : a L b л a L c ^ a L (b • c), (А5) Va, b е G : a L b ^ a L b_1. Авторы [7] приводят различные примеры ортогональностей, исследуют ортогональности циклической группы Zn и строят некоторые ортогональности мультипликативной группы Q +, где Q + - множество положительных рациональных чисел. Авторы утверждают, что группа Q + обладает, как минимум, тремя ортогональностями и затем изучают их взаимосвязи. В настоящей статье мы приводим доказательства некоторых результатов, сформулированных в [7], показываем, что авторами [7] была допущена ошибка при построении одной из трёх ортогональностей, а также строим двумя способами бесконечное множество новых ортогональностей Q +. 1. Известные ортогональности в Q+ Пусть P - множество простых чисел. Очевидно, что любое рациональное положительное число может быть записано в виде c = П p" 'lc), _^еР где v (c) е Z для каждого p е P и лишь конечное число из них ненулевые. Если v (c) ^ 0, то p - простой множитель c . Рассмотрим множество S всех последовательностей (n2, n3,..., np,...), где индекс пробегает множество простых чисел и каждое np е Z . На множестве S определим операцию почленного сложения. Получаем аддитивную группу (S; +). (S; +) - свободная абелева группа счётного ранга [8, т. 1, с. 89]. С каждым элементом группы Q + связана последовательность целых чисел из S. Так, числу c ставится в соответствие последовательность (v2 (c),v3 (c),... ,v (c),...). В [7] приводятся без доказательства следующие утверждения (предложение 1, теорема 3, теорема 5). Приведём эти утверждения и их доказательства. Предложение 1. Отображение f: c ^(v2 (c),v3 (c),. ,v (c),.) является изоморфизмом группы (Q+; ^ на группу (S; ^. Доказательство. 1) Очевидно, что каждый элемент из (S; +) является образом элемента из (Q+; •} . 2) Разные элементы (Q+; ■) переводятся в разные элементы (S; +), поскольку разные рациональные числа имеют либо разные простые множители, либо разные показатели при этих множителях. 3) Покажем, что f сохраняет операцию. Пусть a,b £ Q + , тогда a = П p V p (a), b = П p" p (b). p£P p£P f (a • b) = f (П p"p(a)+Vp(b) A = (v 2(a) + v 2(b),..., v p (a) + v p (b),...) = V p£P = (v2 (a),..., v p (a),...) + (v2 (b),..., v p (b),...) = f (a) + f (b). ■ Каждый элемент S часто называют вектором. Определение 2[7]. Скалярным произведение чисел a и b будем называть скалярное произведение векторов f (a) и f (b): a b)=(f (a ), f (b ))= Zv p (a )v p (b). p£P Определим |c| , положив vp (|c|) = |vp (c) для всех p £ P [7]. Определим бинарное отношение L1 следующим образом: a L1 b » (|a|, |b|) = 0 [7]. Теорема 3. Отношение L1 является ортогональностью группы Q +. Доказательство. (А1) В роли b достаточно взять b = 1 = 20 • 30 •... • p0 •..., f ) f(lbl)=(0,0,^)^Va£G dai, H) = Zlvp(a)•0=0 . V p£P / (А2) (|a|,|a|) = Z |vp (a)2 = 0 » Vpvp (a) = 0 » a = 1. p£P (А3) Z lvp (a)lvp (b)=0 ^ Z lvp(b)llvp(a)=°. p£P p£P (А4) Z lvp (a)||vp (b) = 0 ^ Vp (vp (a) = 0 v vp (b) = 0), p£P Z lvp (a)||vp (c) = 0 ^ Vp(vp (a) = 0 v vp (c) = 0), p£P следовательно, Z |vp (a)|vp (b •c) = 0. p£ P (А5) Z lvp (a)lvp (b) = 0 ^ Vp ( Ivp (a) = 0 vlvp (b) = 0). p£P lv p(b)=0 ^ |v p (b~')=0 ^ Z lv p (a )|v p (b-)=0. p£ P Таким образом, бинарное отношение L1 является ортогональностью группы Q +. ■ 49 1 Пример 4. Пусть a = -, b = - . 50 3 a = 2-1 • 5-2 • 72, b = 3-1, = 21 • 52 • 72 = 2450, bl = 31 = 3, f (a) = (-1,0, -2,2,0,0,.), f (b ) = ( 0,-1,0,0,.), f (| a|) = (1, 0,2,2,0,0,.), f (| b|) = (0,1, 0,0,.), (|a|, |b|) = 1- 0 + 0-1 + 2 • 0 + 2 • 0 + 0 + ... = 0. 49 1 Таким образом, - L -. 50 1 3 Теорема 5. Бинарное отношение L2, определённое как a L2 b » (a, b) = 0, является ортогональностью группы Q + . Доказательство. Аксиомы (А1), (А2), (А3) проверяются аналогично тому, как это делалось в доказательстве теоремы 3. Покажем справедливость аксиом (А4) и (А5). (А4) a l2 b л a l2 c ^ p (a )v p (b )= p (a )v p (c ) = 0, pеP pеP Xv p(a )v p(b •c) = Zv p(a )(v p(b)+v p(c)) = pеP pеP = Xv p(a )v p(b)+Zv p(a )v p(c)=°. pеP pеP (А5) a l2 b ^ p (a )v p (b ) = 0 ^ -^V p (a )v p (b ) = 0 ^ a l2 Г1. pеP pеP В силу справедливости аксиом (А1) - (А5), отношение L2 является ортогональностью группы Q +. ■ 22 Пример 6. 6 L2 -, однако 6^1 3. 6 = 21 • 31, 2 = 21 • 3-1, 3 6,-\ = 0 ^ 6 L2 3 2 3 6 Последняя ортогональность группы Q +, указанная в [7], связана с работой Eugeni и Rizzi [3]. В этой работе авторы определяют отношение делимости в Q+ следующим образом: n m . . -у- » n | m л v | u. v u Замечание 7 [3]. Для любых двух чисел a,b е Q+ существует НОДу(a,b), такой, что Авторы [7] определяют отношение LER следующим образом: a L ER b » НОД у( a, b ) = 1 » НОД (m, n) = НОД (u, v ) = 1. В [7] утверждается, что LER - ортогональность. Однако, проверяя, является ли LER ортогональностью, мы приходим к противоречию с аксиомой (А5): из того, что 2 3 16 Пример 8. Пусть a = - ,b =-(b- = -). 9 16 3 и (m, n) = (u,v) = 1, не всегда следует (m, v) = (u, n) = 1. Однако 2. Новые способы построения ортогональности в Q+ Нам удалось построить бесконечное множество ортогональностей мультипликативной группы Q+ следующими двумя способами. Рассмотрим произвольную последовательность положительных действительных чисел K = {ki}. Обозначим через pi i-е простое число. Для любых a,b е Q+ можно составить следующую сумму: sa,b =Xki 'v (a ^ (b ), i=1 где лишь конечное число слагаемых отлично от нуля. Зададим отношение LK следующим образом: a LKb «. sa b = 0. Теорема 9. Для произвольной последовательности K = {k;} ,е^ положительных действительных чисел отношение LK - ортогональность в Q+ . Доказательство. Зафиксируем произвольную последовательность {k}. (А1) Достаточно положить b = 1. Тогда Va е ^ s = £ki -vPi (a)^vPi (1) = 0. i=1 (А2) Так как Vi k > 0, то Z ki (a )•%■ (a )=0 ^a=L i=1 ад ад (А3) Zki • vA (a V vA (b)=0 ^ Zki •vpi (b )^vpi (a)=0. i=1 i=1 ад ад (А4) a LK b л a LK c ^ Zki •vpi (aV vPi (b) = Zki • vPi (a) • vPi (c) = 0, i=1 i =1 ад ад Zki (a )^vpi (b • c)=Zki • vA (a Hv Pi (b )+vpi (c))= i=1 i=1 ад ад =Zki -v Pi (a )v Pi(b )+Zki -v Pi(a )v Pi(c )=0. i=1 i=1 ад (А5) a LKb ^ Zki •vpi (a)• VPi (b) = 0 ^ i=1 ад ад Zki •vpi (a )^vpi (b-)=-Zki 'vpi (a )^vpi (b)=0 ^ a lk b-. i=1 i=1 Таким образом, отношение Lk является ортогональностью в Q + . Пример 10. Пусть K = {«}„£N . a = - = ^-j3, b = 540 = 22 • 33 • 51, 625 54 f (a) = (3,1, -4,0,...), f (b ) = ( 2,3,1,0...), sab = h 3 • 2 + 2-1-3 + 3 • (-4)-1 = 0. Тогда a LK b . Рассмотрим второй способ построения бесконечного множества ортогональностей Q +. Пусть числа r1,r2 £ Q + такие, что для любых s, t £ Z \ {0} выполняется < ф r2t . Для любых a, b £ Q+ положим a L, ^ b » 3u, v £ Z \ {0}: (a = r1u л b = r2v ) v (a = r2v л b = r1 u ) v a = 1 v b = 1. Теорема 11. Отношение L, r2 - ортогональность в Q +. Доказательство. Проверим справедливость аксиом (А1) - (А5). (А1) Положим b = 1. Из определения отношения Lr следует, что для любого a справедливо a L, ,2 1. (А2) Если предположить, что a L a и a ф 1, то a = r“ = r2v, однако < ф r2t ни для каких s, t £ Z \ {0}. (А3) очевидно. (А4) a L b ^ a = r1“, b = r2v, a Lv2 c ^ a = r1“, c = r2^. Тогда Таким образом, отношение Lr1 r2 - ортогональность в Q + . 2 3 Пример 12. Пусть r1 =-, r2 = -. Заметим, что для любых s, t е Z \ {0} выполняется r1s * r2*. Предполагая противное, получаем, что для некоторых или 2s • 3 s = 3l • 5 t, что невозможно. тогда a Lr r b. r1,r2 тогда a Lr r b. r1,r2 3. Связь ортогональностей в Q+ В данном разделе мы ответим на вопрос, как ортогональности, описанные выше, соотносятся друг с другом. Обозначим через R объединение всех Lr1 r2 ортогональностей, а через D - объединение всех LK ортогональностей. Имеет место следующая Теорема 13. Всякая ортогональность Q + содержится в R. Доказательство. Пусть a, b е Q + , a L b . Покажем, что существуют r1, r2 е Q +, удовлетворяющие условию Vs, t е Z \ {0} (r1s * ), что a Lr b . В роли r1 достаточно взять a , а r2 принять равным b . Тогда при u = v = 1 a = 1u и b = r2v, а значит, a L b . Заметим, что as * b‘, используя предложение 1(d) из [7], имеем a L b ^ as L b‘. В силу антирефлексивности отношения ортогональности as * b‘. ■ Следствие 14. Объединение всех ортогональностей Q + совпадает с R. Докажем теорему о связи ортогональностей. Теорема 15. Имеют место следующие включения: L1 cL2 с D с R, причём каждое из включений является строгим. Доказательство. 1) Докажем L1 cL2 . Пусть a L1 b . a L1 b ^ Z|vp (a)||vp (b) = 0 ^ Vp(vp(a) = 0 vvp(b) = 0) ^ p£ P ZV p (a )V p (b ) = 0 ^ a L2 b. p£ P Пример 6 иллюстрирует, что обратное включение не имеет места, а значит, включение L1 cl2 является строгим. 2) Докажем включение L2 c D. Пусть a L2 b . Покажем, что найдётся такая последовательность K = {ki}, что a LK b . ад a L2 b ^ Z V p (a )v p (b ) = 0 ^ 3{ki } : Z kiV Pi (a )v Pi (b )= 0 , в частн0сти, при p£P i=1 {ki } = {1} a LKb . Для доказательства того, что DС L2, приведём пример. Пример 16. Пусть K = {ki } = {-} . a = 21 -37 -59, b = 24-32-5-2, f (a) = (1,2,9,0...), f (b ) = ( 4,2, -2,0...), Sa,b = 1 • 1 • 4 +|-2-2 + 3-9 -(-2) = 0, следовательно, a LK b . Заметим, что a^b, а значит, включение L2 c D строгое. 3) D c R в силу теоремы 13. Обратное включение неверно. 2 2 Так, например, пусть , = 9, r2 = 5 (Vs,t £ Z \ {0}: r1s ф r2t).

Скачать электронную версию публикации