Left-invariant measures on topological n-ary subsemigroup of binary groups.pdf 1. Терминология и обозначения Терминология и обозначения, относящиеся к n-арным алгебраическим системам, в основном, соответствуют монографии [5]. Последовательность a1,...,ak,c1,...,cn элементов множества X обозначаем akc1n. Отображение [ ]: Xn - X называют n-арной операцией на X. Данная операция ассоциативна, если для любой последовательности х12n-1 £ X2n-1 имеют место следующие равенства: [ x1n-1 [ xn2n-1 ]] = [ xj [ xj+" ] x8+-+1 ] (j = 1,2,.,n -1). Непустое множество X с ассоциативной n-арной операцией называют n-арной полугруппой. n-Арную полугруппу будем обозначать (X; [ ]} или одной буквой X. n-Арную полугруппу (X, [ ]) называют n-арной группой, если каждое из уравнений [ xa1n-1 ] = a и [ a1n-1х ] = a разрешимо для любой последовательности a^ 1a £ Xn . При n = 2 n-арную группу будем называть бинарной группой. Непустое множество I с X называют идеалом n-арной полугруппы (X; []>, если [ х/хх"- ] £ I для любых x1n-1 £ Xn-1, любого х £ I и любого j = 0,1,.,n-1. Если же [x1n-1x ]£I для любых х"-1 £Xn-1 и любого х£I, то I называют левым идеалом n-арной полугруппы (X;[ ]). Пусть K с X , хП 1 е Xй 1. Множество { [хП 1k] | k е K} обозначаем называют трансляцией и-арной Отображение полугруппы (X; х ]) . При i = и -1 трансляцию будем называть левой трансляцией, а при i = 0 правой трансляцией. n-Арная полугруппа (X^ ]), наделенная топологией т, называется топологической полугруппой, если и-арная операция непрерывна по совокупности аргументов. Топологическую и-арную полугруппу будем обозначать парой (X, т). Ниже, не оговаривая особо, предполагаем, что все рассматриваемые топологии хаусдорфовы. Идеал I с X называем идеалом с открытыми трансляциями на элементы X, если для любого U с I, U ет и любой трансляции X множество X ( U ) является открытым в (X, т). Левоинвариантной мерой на топологической и-арной полугруппе (X, т ) называем счетно-аддитивную неотрицательную функцию ц, определенную на наименьшем ст -кольце В (X) подмножеств X, содержащем семейство К (X) всех компактных подмножеств X, конечную на каждом компактном множестве, такую, что ц( В ) = sup{ц(С) | С с В,С еК(Х)} для любого В еВ(X) и ц([ af-1B ]) = ц(В) для любых af 1 е Хп 1 и В еВ (Х), таких, что множество [ af-1B ] принадлежит В(Х). Элементы ст -кольца В(Х) называют борелев-скими подмножествами топологического пространства (Х, т). Тогда существует наибольшее (по включению) множество I среди подмножеств X, удовлетворяющих условию (i). I будет идеалом (X;[ ]), обладающим открытыми трансляциями на элементы X . Доказательство. Пусть {V} - семейство всех подмножеств X, удовлетворяющих условию (i). Покажем, что множество I = U{ V | V £{ V}} также удовлетворяет условию (i). Имеем I с X и I £tg пт . Пусть U с I и U £tg . Тогда по предположению теоремы U £т . Если же U £т ,то U = U{ V п U | V £{ V}}. Имеем V п U £ т . Отсюда следует, что U £tg . Таким образом, множество I удовлетворяет условию (i), т.е. I £ {V} и, по построению, является наибольшим подмножеством (по включению) семейства V . Покажем, что I является идеалом X. Пусть xn 1 £ X" 1. Имеем: [ xjI x"+1 ] = х1 •... • Xj • I • x • j+1 •. • xn-1 с X и является открытым подмножеством ( G TG ). Следовательно, [ x'(I x"-1 ] £tg пт. Пусть U с [ xjI x^+1 ] и U £т . Тогда множество W = х- 1 •. • х-1 • U • х--1 •. • XJ+ = X-1 (U )£ т , так как трансляция X (х) = [ xJxx”+1 ] (x £ X) является непрерывным отображением топологического пространства (X, т ) в себя и W с I. Следовательно, W £tg в силу выполнения для I условия (i). Имеем х1 •... • Xj • W • x •j+1 •. • xn-1 = U £ tg . Отсюда вытекает, что для множества [ x/Ix"- ] условие (i) выполняется и поэтому [ xjIx"+1 ] с I. Таким образом, I - идеал (X, [ ]). Покажем, что если V с I, V £ т , то для любой трансляции X полугруппы X множество X(V)£т. В самом деле X з X(V) = [ xjV x"+1 ] = = x1 •. • Xj •V• Xj+1 •. • xn-1 £ tg , так как V £tg , в силу условия (i) для I. Следовательно, X (V) £ т . Теорема доказана. Следующий пример иллюстрирует теорему 1. Пример 2. Пусть группа G - множество действительных чисел с операцией сложения, tg - естественная топология на множестве действительных чисел, n = 3 и X = { 1,3,5}и( 6; + да), топология т является сужением топологии tg на X. Тогда (X, т ) - топологическая n-арная полугруппа. Очевидно, что если U £tg и U с X , то U с( 6, + да) и, следовательно, U £т . В качестве множества V возьмем непустое открытое в tg подмножество (6, + да ). Тогда условие (i) теоремы 1 будет выполнено. Очевидно, что множество I = ( 6, + да ) будет открытым идеалом (X, т ), обладающим открытыми трансляциями на элементы X, и будет являться наибольшим по включению среди подмножеств X, удовлетворяющих условию (i). Теорема 2. Пусть на (Х^ ]) задана хаусдорфова топология т, такая, что (Х, т) является топологической и-арной полугруппой. Тогда следующие условия равносильны: (а) на (Х, т) существует ненулевая левоинвариантная мера ц, такая, что для любой последовательности х1п-1 е Хп-1 существует компактное множество K, такое, что ц( [ Kef-1 ] ) > 0 ; (б) (Х, т) обладает открытым локально компактным идеалом I с открытыми трансляциями; (в) на (G, •) существует локально компактная топология тG, такая, что ( G, % ) является топологической группой, сужение топологии % на Х слабее топологии т, (Х, т) обладает открытым идеалом I, причем, сужение топологий т и тG на I совпадают. Доказательство. Пусть выполнено условие (а) теоремы и ц - ненулевая левоинвариантная на (Х, т) мера. Пусть af-2 е Хп-2 и a = a1 • a2 •. • an-2 е G . На группе (G; •) зададим бинарную операцию * следующим образом: х * у = хa1n-2у (х, у е G). Легко проверяется, что (G; *) является бинарной группой, а (Х; *} - устойчивым подмножеством (G; *), a-1 является нейтральным элементом (G; *) и a- • х_1 • aявляется элементом, обратным для х. Очевидно, что х * у = [ хa1n-2у ] для любых х, у из Х и что бинарная операция * в {Х; *) непрерывна по совокупности аргументов. Мера ц является левоинвариантной мерой на (Х; *). Пусть х е Х . В силу условия (а) найдется компактное множество K в топологическом пространстве (Х, т ) такое, что ц( K * х) = ц( [ Kaf -2х ]) > 0. Из теоремы 4.8 работы [4] следует, что на (G; *) существует локально компактная топология % , такая, что (G; *) становится топологической группой, существует непустое множество V с Х, такое, что V ет(3 пт и сужение топологий ^ и т на V совпадают. Покажем, что (G; •) с топологией % является топологической группой. В топологическом пространстве ( G, тG ) операция х ^ a- • х-1 • a- (х е G) непрерывна, а операция (х, у) ^ х • a • у (х,у е G) непрерывна по совокупности аргументов. Полагая в последней операции y = a- • b, получаем непрерывность операции х ^ х • a • a-1 • b = х • b , для любого b е G . Аналогично устанавливаем непрерывность сдвига х ^ b • х (х е G). Так как х • у = х • a •( a- • y), то бинарная операция (х, у) ^ х • у непрерывна по совокупности аргументов. Наконец, из равенства х- = a •( a-1 • х- • a-1 )• a следует, что операция х ^ х- (х е G) непрерывна в (G, т,^ ). Из теоремы 1 сразу вытекает справедливость условия (в) теоремы. Если выполнено условие (в), то из теоремы 1 вытекает справедливость условия (б). Пусть выполнено условие (б) и пусть a е I, х е Х. Тогда х = ( хan-1 )(a) и х-1 = an-1 •(х• an-1) . Так как х• an-1 = I х • a-...-a _ и-1 то отсюда вытекает, что открытый идеал I является системой образующих для G . Заметим, что сужение топологии т на I является локально компактной топологией, (I; х ]) является топологической и-арной полугруппой. Из теоремы и следствия 2 к ней работы [6] вытекает, что на G существует локально компактная топология та^ , такая, что ( G, та^ ) является топологической полугруппой, I ет(3 и сужение топологии тG на I совпадает с сужением т на I. Пусть a е I. Так как для каждого компактного множества K с Х имеем K с an-1K с I и af-1K является компактным подмножеством в топологии т, то an-1K является компактным подмножеством топологического пространства ( G, т0^ ). Отсюда следует, что K также, является компактным подмножеством ( G, % ). Из этого вытекает, что каждое борелевское подмножество (Х, т) является борелевским подмножеством (G, % ). Пусть X - левая мера Хаара группы ( G, % ). Отметим, что если K - компактное подмножество G положительной меры, х е G, то X (Kk) > 0 . Сужение ц меры X на борелевские подмножества (Х, т) будет удовлетворять всем требованиям условия (а). Теорема доказана.

Скачать электронную версию публикации