On a paper by Khmyleva and Bukhtina.pdf Приведем следующие определения. Определение 1. Система {xn элементов банахова пространства X называ ется базисом Шаудера, если для любого элемента x £ X существует единственная числовая последовательность {ап , такая, что ряд ^anxn сходится к элеn =1 менту x по норме пространства X. Определение 2. Система {xn ненулевых элементов банахова пространства X называется системой представления, если для любого элемента x £ X сущестад вует числовая последовательность {an} такая, что ряд ^anxn сходится к n=1 элементу x по норме пространства X . Очевидно, что любой базис Шаудера является в то же время и системой представления; но обратное утверждение неверно, т.е. существуют системы представления, которые не являются базисами Шаудера. Хорошо известно, что в каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис Шаудера, т.е. базис Шаудера {xn} для которого ||xn|| = 1 и (xn, xm ) = 0 для любых n, m £ N, п ф m. Тот факт, что существует базис, где 1 заменена на любое другое положительное число, тривиален. Поэтому, естественно, возникает вопрос о существовании базиса, где углы между любыми двумя элементами одинаковы, но не равны нулю, т.е. 0 заменен на другое число. Первый, известный нам, ответ на этот вопрос дается в следующей привлекательной теореме Хмылёва и Бухтиной [1]: Теорема [1]. Пусть H - гильбертово пространство, {xn - последователь ность элементов пространства Н, удовлетворяющая условиям: a) ||хп || = 1 для любого и е N, b) (хп, хш ) = a , 0 0. Доказательство. Известно (см. например, [3, задача 549]), что при этих условиях последовательность {хп }ff=1 слабо сходиться к некоторому элементу х0. Поэтому в равенствах (хш,хп) = a , переходя к пределу сначала при m ^да, получаем (х0, хп) = a , при V и е N . (1) А потом предельным переходом при и получаем окончательно, что a = (0, х0 ) = | |х0||2, (2) и поэтому a > 0. Утверждение доказано. Из этого утверждения следует, что нет надобности использовать символ модуля для числа a в формулировке вышеприведенной теоремы. Более того, как показывает следующий уточненный вариант этой теоремы, вообще нет никакой нужды налагать на число a какие-то условия, кроме условия a Ф 0 . Теорема. Пусть H - гильбертово пространство, {xn }""=1 - последовательность элементов пространства H , удовлетворяющая условиям: a) ||xn|| = 1 для любого п £ N, b) (xn, xm ) = a , a Ф 0, n, m £ N, n Ф m. Тогда последовательность {xn не является базисной в пространстве Н. Доказательство. Как уже отмечено, известно (см., например, [3, задача 549]), что при этих условиях последовательность {xn }"= слабо сходиться к некоторому элементу х0 . Так как х0 принадлежит замкнутому линейному многообразию, порождаемому множеством {xn }""=1 (см., например, лемму 27 из [4, с. 81]), то для доказательства достаточно показать, что элемент х0 не имеет разложения: x0 = a1 • x1 + a2 • x2 +... + an • xn +.... Пусть это разложение имеет место. Тогда, используя (1) и (2), имеем a = (x0,x0) = a•(a1 + a2 +... + an +...), a =(x0, xn) = an -(1 - a) + a •(a1 + a2 +... + an +...). Отсюда получается a = an (1 - a) + a , и поэтому an = 0, Vn £ N. Это означает, что x0 =9 . А это противоречит (2). Теорема доказана. Замечание. При доказательстве теоремы считается, что a Ф1, так как при a = 1 система элементов {xn линейно зависима (случай равенства в неравен стве Коши - Буняковского - Шварца возможен только в этом случае). Приведенное доказательство этой теоремы показывает справедливость следующего более общего результата: Теорема. Пусть H - гильбертово пространство, {xn }""=1 - последовательность элементов пространства H , удовлетворяющая условиям: a) ||xn|| = 1 для любого п £ N, b) (xn, xm ) = a , a Ф 0, n, m £ N, n Ф m. Тогда последовательность {xn не является системой представления в под пространстве Н, порожденного этими элементами (и поэтому и в пространстве Н). Автор выражает благодарность А.А. Гусейнли за полезное обсуждение.

Скачать электронную версию публикации