Mathematical modeling of the two-phase flow.pdf Продукты сгорания металлизированного топлива представляют смесь газа и полидисперсного ансамбля жидких частиц оксида металла, используемого в качестве добавки в топливе. Подавляющее большинство исследователей для описания дискретной фазы используют одномерную функцию распределения частиц по размерам, подробный библиографический список этих работ представлен в обзорах [1, 2] и монографии [3]. В процессе движения частицы разных размеров сталкиваются, это сопровождается их слиянием и дроблением, кроме этого, крупные частицы дробятся за счёт взаимодействия с газом. Следовательно, частицы, имеющие равные размеры, но разную предысторию («рождённые» за счёт слияния, дробления и не участвующие во взаимодействии) отличаются друг от друга импульсом и энергией. Решение задачи двухфазного течения в данном случае требует введения функции распределения частиц не только по размерам, но и по скоростям и температурам внутри каждой фракции. По данному пути пошли авторы работы [4]. Перераспределение энергии сталкивающихся частиц внутри фракции учитывается через энергию хаотического движения частиц. Последующее развитие этой модели представлено в [5]. Работа [4] базируется на дискретной модели взаимодействия частиц. Попытка построения статистической модели с использованием непрерывного подхода описания взаимодействия частиц предпринята авторами работы [6]. Однако надо отметить, что операция осреднения ансамбля частиц по параметрам в этой работе проводится формально и, зачастую, не согласуется с физическим смыслом. Целью данной работы является рассмотреть течение газо-капельной среды в рамках статистической модели с использованием непрерывного подхода описания взаимодействия частиц жидкой фазы. 1. Кинетический подход моделирования дисперсной среды Для описания полидисперсного ансамбля жидких частиц в многомерном фазовом пространстве введем функцию распределения f = f (m, U, T, r, t), где m, U, T - масса, скорость, температура частиц; r, t - пространственная и временная координаты. Кинетическое уравнение для функции распределения запишем в виде f + UV.f + V,, -f+-TjLf = I. (1.1) dt m o! cm Здесь F - сила, действующая на частицу со стороны несущей среды; q - тепловой поток между частицей и несущей средой; c - теплоемкость материала частицы; Vr, Vn - операторы градиента в физическом и скоростном пространствах; f = f (m, U, T, r, t) - введена для краткости записи; I - интеграл столкновения. Рассмотрим уравнение (1.1) при фиксированном значении массы m, которая входит в него как параметр. Индивидуальную скорость частицы можно представить в виде суммы средней U0 и пульсационной составляющей U' скорости частиц массой m : U=U0 + U'. Также можно ввести среднюю T0 и пульсационную составляющую T' температуры для частиц массой m : T = T0 + T'. Уравнение (1.1) в новых переменных U', T' запишем в виде f + U’Vrf -dU0Vn, f - U'Vvf: VrU0 + Vn,fF f V-dt r dt U U r 0 П f m ) dt dT' (12) -f U 'V rT0 +-f-^f 1 = I, 5T' r 0 dT lей ) где Vu - оператор градиента в пространстве пульсационных скоростей; (:) d d V двойное тензорное умножение; - = -+ . dt dt Для получения системы уравнений, описывающей течение полидисперсной среды, вводится понятие признака частиц. Признаком может быть любая величина, характеризующая частицу и переносимая вместе с ней у = у(m,U,T,r,t). Среднее значение признака частиц (у) по ансамблю частиц с массами (m, m + dm) определим равенством да да /да да (v(m) = j dT | yfdU / j dT j fdU. 0 -да / 0 -да Умножая кинетическое уравнение (1.2) на признак у и интегрируя по всему пространству скоростей и температур, получим уравнение переноса признака частиц d t (((m Kv(m)»+f (m )(v(m )VrU0 +Vr ( (m )(v(m )U' })- [( + U Vr V(m)> + (F - )^' y(m)-(VU' V(m)tf') : VU + - f (m) где Д(у( m)) =' представляет собой выражение для скорости измене- U' T' ния признака у -частиц массой m за счёт столкновений. Подставив в уравнение (1.3) в качестве признака частиц моменты скорости (U', U'U',...), температуры (T',T'T',...), смешанные моменты (TU,T'T'U',...), получим систему моментных уравнений. В работе [4] показано, что при исследовании течения продуктов сгорания металлизированных топлив в камере сгорания и сопловом блоке РДТТ можно ограничиться рассмотрением системы уравнений, включающей моменты второго порядка. Многократные интегралы в правой части уравнения (1.3), описывающие скорость изменения признака у вследствие столкновений, в общем случае слишком сложны для практических приложений. Однако, если предположить, что изменение признака у при столкновении определяется только средними параметрами сталкивающихся фракций, их можно записать в упрощенном виде. Итак, пусть функция распределения сталкивающихся частиц зависит только от массы этих частиц. В этом случае число и параметры образующихся при столкновении осколков будут зависеть только от масс взаимодействующих частиц. Плотность распределения осколков, образующихся при столкновении частиц с массами m1 и m2 по массам m , обозначим ф(m, m1, m2). С целью упрощения дальнейших рассуждений умножим левую и правую части уравнения (1.3) на dm. Полученное дифференциальное равенство представляет собой выражение для скорости изменения признака частиц из диапазона [m, m + dm]. Найдем вклад, который вносят в это выражение осколки сталкивающихся частиц. Для этого вычислим число столкновений между частицами с массами из диапазонов [m1, m1 + dm1 ] и [m2, m2 + dm2 ]. Каждая частица массы m2 обтекается «жидкостью» из частиц массы m1. Объем «жидкости», обтекающей частицу за единицу времени, равен Э(m1,m2 )я(г1 + r2 )2 |U0 (m1)- U0 (m2), где Э (m1, m2) - коэффициент, учитывающий изменение траектории малых частиц. В единице объема содержится f (m1 )dm1 частиц из диапазона [m1,m1 +dm1] и f (m2)dm2 частиц из диапазона [m2,m2 + dm2]. Поэтому на одну частицу массы m2 в единицу времени приходится Э(m1,m2 )n(r1 + r2 )2 |U0 (m1 )-U0 ( m2 )f (m1 )dm1 столкновений с частицами из диапазона [m1, m1 + dm1]. Суммарное число столкновений в единицу времени в единице объема между частицами из рассмотренных диапазонов будет Э(m1,m2)n(r1 + r2 )2 |U0 (m1) -U0 (m2 ) f (m1 )dm1 f (m2 )dm2 . (1.4) Число осколков массы m , попадающих в диапазон [m1, m1 + dm1 ] при каждом столкновении, согласно сказанному выше, ф(m, m1, m2) dm. Эти осколки приносят во фракцию частиц из диапазона [m1, m1 + dm1 ] количество признака у , равное (у)ф(m, m1, m2) dm . (1.5) Перемножая (1.4), (1.5) и интегрируя по всем массам сталкивающихся частиц, найдем вклад в изменение признака (у) осколков столкновений 1 адад dm~J {k (m1, m2 -Уф(m, m1, m2 )f (m1 )f (m2 )dm1dm2 . (1.6) 2 0 0 Здесь k(m1,m2) = Э(m1,m2 )я(r1 + r2 )2 |U0 (m1 )-U0 ( m2 ) . Столкновение частиц массы m с другими частицами приводит к их уничтожению, следовательно, скорость уноса признака

Скачать электронную версию публикации