Special functions generated by rising and central factorial powers.pdf Математические модели многих процессов и явлений часто приводят к задачам, точные решения которых классическими методами получить невозможно. Увеличение количества неэлементарных функций приводит к расширению круга задач, которые могут быть решены в замкнутом виде. При этом особое внимание уделяется исследованию новых функций с целью их использования для решения сложных теоретических и практических задач. Тригонометрические функции cos х, sin х задаются как степенные ряды cos X = У ^ X2n, sin X = Y-LiL_ X2n+1, n=0 (2n)! n=c(2n +1)! определенные с помощью факториалов (убывающих факториальных степеней). Заменив в этих рядах убывающие факториальные степени соответствующими возрастающими факториальными степенями, авторы [1] изучили новые неэлементарные функции действительной переменной Cos x, Sin x. Аналогично, в [2, 3] представлено исследование функций действительной переменной Cosc X, Sinc X, построенных с помощью центральных факториальных степеней. Показано, в частности, что новые функции являются решениями обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго (функции Cos х, Sin х) и третьего (функции Cosc X, Sinc X) порядка с полиномиальными коэффициентами. В [4] рассмотрены неэлементарные функции типа интегралов Френеля, определенные в виде степенных рядов с использованием возрастающих факториаль-ных степеней. Автором [5-8] изучаются некоторые другие подобного рода функции действительного и комплексного переменного. 1. Факториальные степени Для произвольных чисел х е R и m е N факториальной степенью m с шагом k е R называют выражение [9] xm{k} = х(х + k)(х + 2k) •... • (х + (m - 1)k). Факториальную степень называют возрастающей, если k > 0, и убывающей, если k < 0. В случае k = 0 имеем обыкновенную степень, т.е. xm{0} = x". По умолчанию, x0{k} = 1. Возрастающую факториальную степень m с шагом 1 и убывающую факториальную степень m с шагом (- 1) будем обозначать через xm и xm соответственно, т.е. xm = xm{1} = x(x +1) •... • (x + m -1), xm = xm{-1} = x( x -1) •... • (x - m +1). Очевидно, что n! = 1n = nn. Основные свойства возрастающих и убывающих факториальных степеней выражаются с помощью формул Д xm = mx^-1, Д xm = mx^-, где Дf(x) = f(x + 1) -f(x) - разность функции f (x), а Д f (x) = f (x) - f (x -1) опаздывающая разность этой функции. Комбинаторный закон двойственности возрастающих и убывающих фактори-альных степеней выражается с помощью равенств (-m)n{-k} = (-1)n mn{k}, (-m)n{k} = (-1)n mn{-k}. Для произвольных чисел x e R и m e N центральной факториальной степенью m с шагом k > 0 называют выражение [10] xm[k ] = x (x+!f - k)(x+rnf--2k у... •( x - rnf-+k причем x0[k] = 1. Центральную факториальную степень m с шагом 1 будем обозначать через x[m], например x5[1] - x[5] Jx-3Ifx-11 xfx +1 Ifx + 3 2 A 21 V 2 A 2, x6[1] = x[6] = (x - 2)( x -1) x2 (x +1)( x + 2). Для центральных факториальных степеней с шагом 1 имеет место формула 5 x[m] = mx[m "1], аналогичная соответственным формулам для возрастающих и убывающих факто-риальных степеней. Здесь 5f (x) = f (x + 1/2) - f (x - 1/2) - центральная разность функции f (x). Легко показать, что x[m] = x(x + m/2 - 1)m. Другие свойства и некоторые применение факториальных степеней можно найти, например, в [11] - [14]. Отметим, что возрастающим, убывающим и центральным факториальным степеням в комбинаторном анализе часто присуща двойственность: если комбинаторная задача приводит к тождеству с использованием, например, убывающих факториальных степеней, то обычно существует содержательная комбинаторная задача, приводящая к двойственному тождеству с участием возрастающих или центральных факториальных степеней. 2. Неэлементарные функции Cos x, Sin x, Cosc x, Sine x, определенные с помощью возрастающих и центральных факториальных степеней Обозначим через Cos x, Sin x, Cosc x, Sine x функции действительного переменного, определенные с помощью степенных рядов [1, 2]: Cos x = > i-Cx6" = 1 - - + x4 (1) - +... ; 2n =o (2n) 2 • 3 4 • 5 • 6 • 7 6 • 7 • 8 • 9-10 Sin x = > (-1)"_ x x ,.2n+1 . (2) 1 3 • 4 • 5 5 • 6 • 7 • 8 • 9 n o (2n +1) Sinex = >>-( 1)[n i] П=0(2п + 1)[2n+1] x2n+1 = x - x + (4) 1 5 3 7 7 9 5 11 13 2 2 2 2 2 2 Легко убедиться, что . ^ (-1)n (2n -1)! 2n Cos x =1 + >----- x (5) (6) (7) (8) (4n - 3)! n=1 n=1 Sinex = >> (-1)n4n(2n-1)!!x2+1 (6n +1)!! n=1 (4n -1)! , 1 ^ (-1)n (n - 1)! 2n Cosc x =1 + -> ----- x2n, 2 S (3n -1)! Sin x = >>(-1)n-1(2n - 2)! x2"- В [1 - 3] доказано, что x„ (4~x Л (vx лл V 2 x - sin-C cos-S 4 V 2 J x„ (sTx Л + sin xS cos-C 4 V 2 J V 2 „ Cos x = 1 + 2yfx Sin x = 2Tx где C(p) = J cos t2dt, S(p) = J sin 12dt - интегралы Френеля [15], а также установ- 0 0 лена связь между функциями Cos x, Sin x, Cosc x, Sinc x и обобщенной гипергеометрической функцией 1F2(a1; bb b2; z) с помощью формул Cosx = 1 Coscx = 1 x2 • 1 f2 ( 5 7 x2 1 6 • 1 V 4 4; - 64 J *L 1 f2 ( ;4 5 x2 1 4 1 V ;3 3 27 J ( 3 5 x2Л Sin x = x • j F2 1; 4 4 64 / 2 Л 5 7;- x_ '6,6 ; 27 Sinc x = x • 1F2 Напомним, что обобщенная гипергеометрическая функция sFq(al,^.,as; bb...,bq; z) определятся как сумма обобщенного гипергеометрического ряда [16] sFq ((..., as ; V - bq ;Z )) П=0 ЬП •...• bn n! в области его сходимости, где аЩ,...,аЩ ,ЬЩ,...,ЬЩ - возрастающие факториальные степени с шагом 1. На рис. 1 - 4 приведены графики функций Cos x, Sin x, Cosc x, Sine x. На рис. 1, 2 пунктиром проведены параболы (y + 1) 2 = ± nx и y2 = ± nx соответственно, а на _ f 1А2 7nx 2 7nx рис. 3, 4 - соответственно параболы I y + I = и y = . Рис. 1. График функции y = Cos x Рис. 4. График функции y = Sine x Рис. 2. График функции y = Sin x Рис. 3. График функции y = Cosc x 3. Неэлементарные функции типа интегралов Френеля, определенные с помощью возрастающих факториальных степеней Обозначим через S1(x), Q(x) функции (9) (10) C1(x) = J Cos 12dt; S1(x) = J Sin t2 dt. Из формул (9), (10), учитывая (5), получаем разложения функций Sj(x), C1(x) в степенные ряды, абсолютно сходящиеся на всей числовой оси: q(x) = x + Y (-1)n(2n-1)! x4n+1 ; 1 П=1(4п - 1)!(4n +1) x) = £ (-1)n"(2n - 2)! x4n-1. 1 П=1(4п - 3)!(4n -1) Графики функций C1(x), Sj(x) приведены на рис. 5, 6. (11) (12) Рис. 5. График функции y = Ci(x) Рис. 6. График функции y = S1(x) Теорема 1. [4] Для всех x e R имеют место тождества f -2 x~ „( xА . x2 f ^ А cos-CI - 1 + sin-SI - 4 121 4 12 - x, C1(x)= 4 f x2 ( x x2 „f^А S1( x) = 4 sin-CI - I-cos-S 4 121 4 V 2 где C(p), S(p) - интегралы Френеля. На рис. 7 - 12 представлены графики функций комплексного переменного C1(z), S1(z), где z = x + iy. Рис. 11. График функции Re (S1(z)) Рис. 12. График функции Im (S1(z)) Покажем, что функции Cj(x) и >IV -135x2y"' + (16x5 + 339)y"-384у' = -384, (22) у(0) = 0, y(0) = 1, y''(0) = 0, у'"(0) = 0; 27x3уIV - 81x2у "'+ (16x5 +177x) у " + (32x4 -192)у ' = 0, у(0) = 0, у'(0) = 0, у"(0) = 0, у'"(0) = 2. (23) Доказательство. Из (18) и (19) следует, что функции C2(x) и S2(x) удовлетворяют начальные условия из (22), (23). Покажем, что эти функции являются решениями соответственных дифференциальных уравнений. Обобщенная гипергеометрическая функция 2F3(ab a2; bb b2, b3; z), через которую в соответствии с (20) выражается функция C2(x), удовлетворяет обыкновенное линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка [16] (ст(ст + bj - 1)(ст + b2 - 1)(ст + b3 -1)-z(o + aj)(CT + a2))w(z) = 0, где с - дифференциальный оператор ст = zd. Таким образом, функция dz . 5 4 5 9 w(z) = 2f3| 1-; - - -; z 2 31 4 3 3 4 из (20) является решением дифференциального уравнения ст| ст + 3jfa + |Уст + -4J-z(CT + 1)fa + 5 I Iw(z) = 0, а учитывая, что 2 d о d 3 d d 3 d ct2 = z - + z2-- CT3 = z- + 3z2-- + z--dz dz2 dz dz2 dz3 4 d _ 2 d ,3 d 4 d CT7 = z- + 7 z2-+ 6 z3-+ z4-, dz dz2 dz3 dz4 после несложных преобразований убеждаемся, что она удовлетворяет дифференциальное уравнение -3...IV , 33 _2т , Г 137_ 2 А „ Г . 13 А , 5 z3 wlv + - z2w"' + \- z - z2 J w" + \ 5 - - z J w'-4 w = 0. (24) Произведем в (24) замену независимого переменного по формуле z = - x V27. Тогда 27 , . 729 , . „ , ч ,,, 19683 w =---W' , w =- (xwx - 3wx), wz = - --(x2w'Z - 9xwx + 21wx ) , 4x3 x' z 16 x7...... " 64 x1 w? = ^^(x3w^V - 18x2w* + 111xwx - 231wx ) 256x15 и, подставляя в (24), получаем, что функция w(x) = 2 F3 Г 5. 4 5 9. - x4 А ,4; 3,3,4; 27 - частное решение линейного однородного уравнения 27 x3 wIV + 405x2 w'" + (16x5 + 1554)w" + (1386 +160x4)w' + 320x3 w = 0. Наконец, подставляя в последнее уравнение w(x) = 20x ~5(1 - C2(x)), после упрощений получаем, что функция y = C2(x) удовлетворяет дифференциальное уравнение из (22). Покажем теперь, что функция S2(x) является решением дифференциального уравнения из (23). Аналогично предыдущему доказывается, что обобщенная гипергеометрическая функция Г 3 5 7 7 А u(z) = 2 F3 \- ,1;-,-,-; z I 23 v 4 6 6 4' J является решением дифференциального уравнения 3 iv 27 2 „, Г 83 2 А „ Г 245 11 А , 3 z u +-z u + \ - z-z2 Iu + \---z Iu - u = 0, - решением дифференциального урав- Г 3 1,5 7 7,v 4, ; 6,6,4; 27y а функция u(x) = 2 F3 нения 27x3uIV -81x2u"' + (16x5 + 177)u" + (32x4 - 192)u' = 0. После замены в последнем уравнении w(x) = 3x~3S2(x) (с учетом (21)), получаем, что функция S2(x) удовлетворяет уравнения из (23). ■

Скачать электронную версию публикации