Fully inert subgroups of completely decomposable finite rank groups and their commensurability.pdf Все группы, если специально не оговорено, предполагаются абелевыми. Напомним, что подгруппа H группы G называется чистой, если HfnG = nH для каждого натурального n; вполне инвариантной, если фH £ H для всякого ф из кольца эндоморфизмов E(G) группы G. Подгруппа H группы G называется вполне инертной, если фактор-группа (H + фЩШ конечна (эквивалентно подгруппа Hf^H имеет конечный индекс в фИ) для всякого ф e E(G); если это свойство выполнено только для фиксированного ф, то подгруппа H называется ф-инертной. Ясно, что каждая конечная подгруппа и подгруппа, имеющая конечный индекс в некоторой вполне инвариантной подгруппе, являются вполне инертными. Если H - чистая подгруппа группы без кручения G, то фактор-группа G/H также является группой без кручения. Отсюда следует, что все чистые вполне инертные подгруппы групп без кручения вполне инвариантны. Сумма и пересечение двух вполне инертных подгрупп снова являются вполне инертными подгруппами [1, лемма 2.2]; в случае же бесконечного семейства вполне инертных подгрупп ни их сумма, ни их пересечение вполне инертными подгруппами в общем случае не являются [1, пример 2.7]. Подгруппы H, K произвольной (в том числе и некоммутативной) группы G называются соизмеримыми, если подгруппа KfH имеет конечный индекс в H и в K. Ясно, что в группе без кручения чистые соизмеримые подгруппы совпадают. Вполне инертные подгруппы абелевых групп изучались в [1-3]. Соизмеримость является отношением эквивалентности [2, лемма 2.3]. Ясно, что подгруппа H группы G вполне инертна тогда и только тогда, когда H соизмерима с H + фЖ для каждого ф e E(G). Подгруппа, соизмеримая с некоторой вполне инертной подгруппой, сама является вполне инертной [1, следствие 2.9]. Согласно [2], всякая вполне инертная подгруппа свободной группы соизмерима с некоторой вполне инвариантной подгруппой; а в [3] показано, что всякая вполне инертная подгруппа p-группы, разложимой в прямую сумму циклических групп, также соизмерима с некоторой вполне инвариантной подгруппой; делимые группы таким свойством в общем случае не обладают [1]. В [3, теорема 4.2] построен пример сепа-рабельной p-группы континуальной мощности, содержащей вполне инертные подгруппы, не соизмеримые с вполне инвариантными подгруппами. В [4-7] и в др. работах исследовались инертные подгруппы некоммутативных групп (согласно [4], термин инертная подгруппа предложен профессором О. Кегелем), т.е. такие подгруппы H группы G, что HnH имеет конечный индекс в H для любого g e G, где H - подгруппа, сопряженная с H при помощи элемента g. Интересный пример инертной подгруппы - подгруппа SL(n,Z) в SL(n,Q) [4]. Каждая нормальная подгруппа инертна; всякая подгруппа конечного индекса из нормальной подгруппы инертна; и, более общо, подгруппы, соизмеримые с инертными подгруппами, сами инертны. Отметим также, что в [8] изучались такие автоморфизмы ф абелевой группы G, что H и фH соизмеримы для всякой подгруппы H группы G. Если B, G - группы и X - непустое подмножество в B, то через Hom (B, G)X обозначим подгруппу в G, порожденную всеми подмножествами fX, где f e Hom (B, G). Некоторые примеры вполне инертных подгрупп построены в [1-3], приведем также следующие. Пример 1 [1, лемма 2.3]. В группе без кручения G конечного ранга всякая конечно порожденная подгруппа H максимального ранга вполне инертна. Действительно, фактор-группа G/H периодична, поэтому если ф e E(G), то фактор-группа фH/(HПфH) как конечно порожденная периодическая группа конечна. Пример 2. Пусть A - группа без кручения, p, q - различные простые числа, pA ф A, qA ф A, и G = (©aA)©(©pA), где а и р - равные бесконечные кардиналы. Тогда подгруппа H = (©аpA)©(©p qA) не является вполне инертной. Имеем | G/H | > к0, и легко строится эндоморфизм ф группы G со свойством H + фH = G. Пример 3. В группе без кручения G ранга 1 каждая ее подгруппа H является вполне инертной. Действительно, всякий эндоморфизм ф группы G действует как умножение на некоторое рациональное число m/n. Поэтому n(H + фИ) с H. Значит, факторгруппа (H + фЩ/H = фH/(HПфH) конечна как ограниченный гомоморфный образ группы фH ранга < 1. В [1, определение 1.3] абелева группа называется инертной, если она вполне инертна в своей делимой оболочке. Поскольку группа существенна в своей делимой оболочке, то из инъективности делимых групп следует, что инертные группы совпадают с классом групп, являющихся вполне инертными подгруппами в каждом своем существенном расширении. Пример 3 отражает тот факт, что всякая группа без кручения ранга 1 инертна [1, пример 4.7]. Группа без кручения инертна тогда и только тогда, когда она является однородной вполне разложимой группой конечного ранга [1, теорема 4.9]. Пример 4. Пусть G - группа без кручения ранга 1. Тогда следующие условия эквивалентны: a) всякая вполне инертная подгруппа группы G соизмерима с некоторой вполне инвариантной подгруппой; b) всякая подгруппа группы G является вполне инвариантной; c) pG tG для каждого простого числа p. a) ^ c). Если pG = G, то всякая ненулевая вполне инвариантная подгруппа группы G также p-делима, поэтому она не может быть соизмеримой с циклической подгруппой группы G, которая согласно примеру 3 вполне инертна. c) ^ b). Если pG т G для всякого простого числа p, то кольцо эндоморфизмов группы G изоморфно кольцу целых чисел Ж, поэтому всякая подгруппа группы G вполне инвариантна. Импликация b) ^ а) очевидна. Итак, во всякой группе без кручения ранга 1, p-делимой хотя бы для одного простого числа p, имеются вполне инертные подгруппы, не соизмеримые с вполне инвариантными подгруппами. Пример 5. Пусть H - вполне инертная подгруппа группы A, не соизмеримая ни с одной ее вполне инвариантной подгруппой; B - такая группа, что Hom(B,A) = 0. Тогда H®B - вполне инертная подгруппа группы G = A©B, не соизмеримая ни с одной вполне инвариантной подгруппой группы G. Хорошо известно, что делимая часть D = D(G) всякой группы G всегда выделяется прямым слагаемым G = D©R (R - редуцированная часть группы G); D определяется однозначно, а R - с точностью до изоморфизма. Если X- вполне инвариантная подгруппа в G, то X = (DnX)©(RnX). Из инъективности делимых групп следует, что если хотя бы одна из подгрупп DHX или RHX не является периодической, то DHX = D. Для вполне инертных подгрупп это свойство уже не справедливо. Пример 6. а) Пусть G = Q©R, где Q - аддитивная группа рациональных чисел (т.е. делимая группа без кручения ранга 1), R - редуцированная группа без кручения ранга 1, 0 Ta е Q и 0 тЬ е R. Тогда подгруппа H = (a)©(b) является вполне инертной. b) Пусть G = Q©Zp», где Zp» - квазициклическая p-группа (т.е делимая p-группа ранга 1), 0 Та е Q и X- нетривиальная подгруппа в Ж^. Тогда подгруппа H = (a)©X является вполне инертной. c) Пусть G = Zp»©Z, где Ж - аддитивная группа целых чисел и X- нетривиальная подгруппа в Zp». Тогда подгруппа H = X©Z является вполне инертной. d) Пусть G = Жpa©A, где группа A не имеет ненулевых p-делимых факторгрупп. Тогда подгруппа A вполне инертна в G. Действительно, во всех трех первых случаях подгруппа H существенна в G, и в случае а) H - прямая сумма двух бесконечных циклических групп, в случаях b) и с) - прямая сумма бесконечной циклической группы и циклической p-группы. Поэтому для всякого ф е E(G) фактор-группа 9H/(Hfl9H) является ограниченной группой конечного ранга, такая группа конечна. d) Следует из того, что fA - конечная подгруппа в для каждого f е Hom(A^p»). Пример 7. Пусть A Ш Ж - группа без кручения ранга 1, кольцо эндоморфизмов которой изоморфно Ж. Тогда если 0 Ф a е A и H = ^©Ж, то H является вполне инертной подгруппой в G = A©Ж, не соизмеримой ни с какой вполне инвариантной подгруппой группы G. Подгруппа H вполне инертна согласно примеру 1. Если теперь F - вполне инвариантная подгруппа, соизмеримая H, то H/(FHH) - конечная группа, поэтому nЖ с F для некоторого натурального n. Откуда nG с F. Имеем nGHH = = (nAn

Скачать электронную версию публикации