Associated contact metric structures on the 7-dimensional unit sphere S.pdf 1. Предварительные сведения Напомним основные понятия о контактных многообразиях. Определение 1 ([1]). Дифференцируемое (2n+1)-мерное многообразие M2n+1 класса C™ называется контактным многообразием или имеет контактную структуру, если на нём задана глобальная дифференциальная 1-форма п, такая, что ^A(dn)n ф0 всюду на M2n+1. Контактная структура задает 2n-мерное распределение E-{XeTM2n+1:п(X)-0}, которое называют контактным распределением, и ненулевое векторное поле 4, такое, что п© -1, dn(5, X) - 0 для всех векторных полей X на M2n+1. Это векторное поле определяет 1-мерное распределение, дополнительное к распределению E, и называется характеристическим векторным полем контактной структуры. Определение 2 ([1]). Говорят, что дифференцируемое многообразие M2n+1 имеет (п, 4, ф)-структуру, если оно допускает поле ф эндоморфизмов касательных пространств, векторное поле 4 и 1-форму п, удовлетворяющую условиям П©-1, ф2--I , (1) где I - тождественное преобразование TM2n+1. Также имеют место следующие условия: 0 и п ° ф- 0 в определении (п, 4, ф)-структуры, вытекающие из условий (1). Определение 3 ([1]). Если многообразие M2n+1 с заданной (п, 4, ф)-структурой допускает риманову метрику g, такую, что g (ффX ,фY) - g (X ,Y)-п( X )n(Y) для любых векторных полей X, Y , тогда говорят, что M2n+1 имеет (п, 4, Ф, g)-структуру или почти контактную метрическую структуру и g называется совместимой метрикой. Определение 4 ([1]). Пусть многообразие M2n+1 имеет почти контактную метрическую структуру (т), 4, Ф, g), g - совместимая метрика и пусть определена 2-форма Ф : Ф (X ,Y) = g (X ^Y). Почти контактную метрическую структуру (п, 4, Ф, g) с Ф = dп называют ассоциированной почти контактной метрической структурой для контактной структуры п или более проще её также называют контактной метрической структурой (П, 4, Ф, g), а метрику g - ассоциированной метрикой. 2. Контактная метрическая структура на 7-мерной единичной сфере S7 Рассмотрим S7 как сферу в пространстве C4, то есть S1 = {(z:,z2,z3,z4) e C4: |z1|2+|z2|2+|z3|2+|z4|2 = 1}. На сфере S1 подействуем справа группой G={e1' ,0 < t < 2п} . Её можно отождествить с единичной сферой S1. Группа G действует по правилу t /1 it 2 it 3 it 4 it \ z • e = (z • e , z • e , z • e , z • e ). Тогда S1/Sl = CP3. Получим отображение S7^CP3, которое называется расслоением Хопфа. Прообразом каждой точки пространства CP3 при этом отображении является окружность S1 ={e1t} . Контактная структура на сфере S1 строится следующим образом. Действие S1 на S1 порождает характеристическое векторное поле 4 [2]. Его значение в комплексных координатах пространства C 4(z) = |L (z• et) = z•i• e1t|t=0 = i• z = i(z1,z2,z3,z4) . Контактная форма определяется как п(X) = g0(4,X) для всех векторных полей X на сфере S1, где g0 - риманова метрика на сфере S1. Вычислим риманову метрику g0 в комплексных координатах: g0(4,X) = (4,X)|C4, X = (X1,X2,X3,X4); (4,X) = (i • z,X) = i(z1 X1 + z2 X2 + z3 X3 + z4X4), где dz (X) = X , i = 1,4 . Получим выражение формы п в комплексных координа- 4 тах пространства С : n=iz1dz1 +iz2dz2 +iz3dz3 +iz4dz4 . (2) С учётом в данном выражении для формы п соотношения z1 z1 + z2z2 + z3z3 + z4z4 =1 на координаты (z1,z2,z3,z4) получим ограничение формы п в пространстве С4 на сферу S1. Проверим условие nA(dп)3 Ф0 на S1. Для этого найдем это выражение в С4, а затем ограничим его на S1. а л 10 O^^zl n) =6z Adz Adz Adz Adz Adz Adz Adz + +6 z3 A dzl A dz1 A dz 2 A dz 2 A dz5 A dz4 A dz3 + +6 z2 A dz1 A dz1 A dz3 A dz3 A dz4 A dz 4 A dz 2 + +6 z1 a dz2 a dz2 a dz3 a dz3 a dz4 a dz4 a dz1 = 6izц, где ц= dzl Adz1 Adz2 Adz2 Adz3 Adz3 Adz4 Adz4 . Нетрудно заметить, что вычисленное выражение nA(dn)3 в ограничении на сферу S1. Следовательно, так определённая 1-форма n(X) = g0(|, X) является контактной формой. Определим по контактной форме п контактное распределение E: E={XeTS7: n(X) = 0}. ОчевидноX±r , где r - радиус сферы, r = (z1,z2,z3,z4). Контактное распределение задается уравнениями: Г 1-1 2-2 3-3 4-4 I i(z X + z2 X + z3 X + z4 X ) = 0, I z1 X1 + z2X 2 + z3X3 + z4X4 = 0, где X e E, X = (X1,..., X4) - искомые координаты. Аффинор ф определяется из соотношения dn(X,Y) = g0(X,ф7) и обладает свойствами ф2 |E = -I и ф(|) = 0. Таким образом, определены все характеристики контактной структуры на сфере S1: п, dn, 4, E, ф. 3. Связь между контактной структурой на сфере S7 и почти комплексной структурой в пространстве CP3 При отображении S7^CP3 контактные метрические структуры и почти комплексные структуры соответствуют друг другу, то есть данное отображение аффинор ф переводит в почти комплексную структуру J. Рассмотрим проекцию n:C4\{0}^CP3. Используя естественную комплексную координатную систему ( z1,z2,z3,z4) в пространстве С4\{0}, имеем фундаментальную форму Ф в пространстве СР3, а также метрику Фубини - Штуди g (X,Y) = Ф(JX, Y) для любых векторных полей X, Y. Докажем, что d п = п*Ф. Рассмотрим в пространстве C4\{0} форму 4 X zkdzk k=1 X z"z" Ф = -4iddln[]Гzkzk | = -4id V k=1 k-k z V k=1 ) Xdzkdzk |-|Xzkdzk |.|Xzkdzk k=1 ) V k=1 ) V k=1 „k-k zz = -4i ,^-k z z Форма Ф проектируется на форму Ф, то есть п Ф = Ф . Рассмотрим ограничение формы Ф в пространстве C4\{0} на сферу S1: S7 = { (z1,z2,z3,z4)е C4: |z>12 +|z212 +|z312 +|z4|2 = 1}, zeS7: zlz1 + z2z2 + z3z3 + z4z4 =1. z1 z1 + z 2 z 2 + z3 z3 + z 4 z 4 =1, Продифференцировав равенство получим £ zkdzk + £ zkdzk = 0, k=1 k=1 £zkdzk = -£zkdzk . k=1 k=1 Ф |S7 = -4i ((£ dzk л dzk ] + (£ zkdzk ]л[£ zkdzk ||= -4i£ dzk л dzk . VV k=1 ) V k=1 ) V k=1 )) k=1 Рассмотрим глобальную дифференциальную 1-форму n (2), определенную в разделе 2, n=iz1dz1 +iz2dz2 +iz3dz3 +iz4dz4 = i£zkdzk . k=1 Вычислим внешний дифференциал формы n: 4 dn=i£dzk лdzk . k=1 Сравнивая выражения формы Ф |s7 и дифференциала dn, получим dп = Ф |S7 * или dп = п Фis7 с точностью до коэффициента из C. 4. Метрика Фубини - Штуди Пусть CP есть 3-мерное комплексное проективное пространство с однородными координатами z0,z:,_,z3. Пусть U0 - открытое подмножество в пространстве zk CP3, определенное условием z0 ф0 . Пусть wk =-, k = 0,.. .,3. Метрика Фубини z Штуди в пространстве CP3 определяется (в координатной плоскости U0) следующим образом: 3 3 3 3 (1 + £w'W)(£dwi • dw') - (£w'dw') • (£w'dw') ds2 = 4-^-i=1- 3 (1 + £ w'w' ) i=1 Данная метрика в пространстве CP3 кэлерова. Определим метрику в пространстве CP6 в комплексных локальных координа тах w1, w2, w3. 3 3 3 3 (1+ £w'W)(£dw' ■ dw') - (£w'dw') • (£w'dw') ds2 = 4--'=1-'=-^-= (1 + £ w'W) '=1 1+Xw' ■ w' \{dwl ■ dw1 + dw2 ■ dw2 + dw3 ■ dw3) =1 -(w1 ■ dw1 + w2 ■ dw2 + w3 ■ dw3}(wldwl + w2 ■ dw2 + w3 ■ dw3) ] = 4 r[(1+w2 w2 + w3 w3 jdw1 ■ dw1 +(1+ww1 + w3 w3 )x 2 ~~ 2 / 1 1 2 - 2 \ 3 3 1 2 1 2 xdw ■ dw +(1+w w + w w )dw ■ dw -w w dw ■ dw -w2w3dw2 ■ dw3 -w3wldw3 ■ dw1 - w3w2dw3 ■ dw2 ] = r[(1 + w2w2 + w3w3)wl ® dw1 + (1 + w2w2 + w3w3)dw' ® dw1 ■ +(1+w'w1 + w3w3)dw2 ® dw2 + (1 + w'w1 + w3w3)dw2 ® dw2 + +(1+w'w1 + w2w2}dw3 ®dw3 + (1 + w'w1 + w2w2)dw3 ®dw3 - - wlw2 dw1 ® dw2 - w'w2 dw2 ® dw1 - wlw3dwl ® dw3 --wlw3dw3 ® dw1 -w2w'dw2 ® dw1 - w2wldwl ® dw2 --w 2w3dw2 ® dw3 - w2w3dw3 ® dw2 - w3wldw3 ® dw1 --w3wldwl ® dw3 - w3w2dw3 ® dw2 -w3w2dw3 ® dw2 ]. -w'w2 W3 Матрица метрики g имеет вид W1 -w2 w1 -w3 w1Л W2 -w3 w2 1-3 2-3 -w w -w w -w'w2 -w'w3 W2 -w2w3 g=m W1 -w2 w1 где W1 =1+| |w||2 - w'w1, W 2 =1+| w||2 - w2 w2, W3 = 2 |w||2 - w3 w3. m = Рассмотрим правый верхний блок и приведём его к более удобному виду: 2 W7 - w2 w1 - w3 w - w'w2 W 2 -w3 w 1-3 - w w 2 -3 -w2 w W3 (1+1 N12 )2 (1+1 N12 )2 Г1 0 0> (1+1 w2) 0 1 0 - V 0 0 1У ^ wlwl w2 w1 w3 w1 ^ 1 -2 2 -2 3 -2 w w w w w w 1 -3 2 -3 3 -3 w w w w w w V У У 1 Г1 0 01 w1 (1+1 w2) 0 1 0 w2 V 0 0 1У Й3 ' 1 2 34 w w w I V у 0 01 0 1 0 0 0 1 (1+1 w2) ^ 0У V ww 0 (1+1 HI2) Тогда метрика примет вид _ 2 (1+1 w2 )2 (1+1 w2) Обозначим компоненты: 0 (Ьав)' 0 -_(0 0'• -_ f 1 -1 2 -1 3 -1 Л w w w w w w 1 -2 2 -2 3 -2 w w w w w w (bap)_ где Ввиду данных обозначений метрика g может быть представлена матрицей: g тл* ((w2 2 - 4 (i+i и2) Фундаментальная 2-форма эрмитовой метрики g задается: Ф _-2'Еgap dwaAdw , (3) где gap - элементы матрицы эрмитовой формы ds2 _ 2^gapdza- dz p . a,P 5. Ассоциированные контактные метрические структуры на S7 и ассоциированные почти комплексные структуры на CP3 Из определения контактной метрической структуры следует, что dn(X,Y) = g(X,ф7). Если зафиксировать d\, 4, то по аффинору ф можно определить метрику g. То есть за счет вариаций аффинора ф можем построить новые примеры ассоциированных контактных метрических структур. Так как при отображении S'^-CP3 существует связь между контактной метрической структурой и почти комплексной структурой, аффинор ф соответствует почти комплексной структуре J, то необходимо построить новые примеры ассоциированных почти комплексных структур в пространстве CP3. Большой класс почти комплексных структур образуют ассоциированные почти комплексные структуры. Почти комплексная структура J называется положительной ассоциированной с формой Ф, если для любых векторных полей X, Y выполняются условия: Ф(JX,JY) = Ф(Х,Y) и Ф(Х,JX)>0, если Xф0 [3]. Построим в пространстве CP3 ассоциированную почти комплексную структуру J, отличную от стандартной почти комплексной структуры J0. Положительную ассоциированную почти комплексную структуру можно получить в следующем виде: J = Jо (1+- Л)-1, где R - симметрический эндоморфизм R:TCP3 ^TCP3 антикоммутирующий с iI 0 почти комплексной структурой J0. При этом R = (1 - JJ0) (1+JJ0), J0 = Матрица R, антикоммутирующая с матрицей J0 , имеет вид 0 -iI ( 1 1 1A 1_ '2 1 2 2 2 '3 3 3 3 '3 V / Re 0 . где Rв = R= v Rp V а Это легко проверить. Вычислив J0R и RJ0 Re "a 0 iRe v R V а видим, что J0 R = -RJ0 f iRa 0 -iI 0R 0 -R v Rp V а 0 0 0 -/■r! -R 0 i 0 iI 0 0 -iI Для симметричности оператора R достаточно, чтобы матрица gR = gapR была бы симметрической. Из выражения (3) метрики g следует, что для этого матрицы AR и BR должны быть симметрическими. Вычислим матрицу AR: Re a 0 0 R 0 0 Re AR = v R V a Для симметричности матрицы AR достаточно взять матрицу R^ симметрической, а именно: ( 1 1 1A 1 \ 1 2 2 r2 r2_ r3_ 1 2 3 I r3 r3 r3j Для симметричности матрицы BR достаточно выполнения следующего равенства: b -RP =b-RP. Rf = ар У yP а В результате произведения матриц b^ и R^ , получим /1 -1 2 -1 3 -1 w w w w w w 1 -2 2 -2 3 -2 w w w w w w 1 -3 2 -3 3 -3 w w w w w w V J V ri ri ri ^ г8 г2 '1 '2 '2 '2 r3 r 9 3 ' wr11 wr12 wr13N = wr21 wr22 wr23 r 3 r3 J V wr31 wr32 wr33 J где 1 -11 2 -11 3 -11 1 -11 2 -12 3 -12 wr11 = w w г + w w г2 + w w г3 ; wr12 = wwr2 + w w r2 + wwr3 ; 1 -11 2 -12 3 -1 3 1 -2 1 2 -2 1 3 -2 1 wr13 = wwr3 + wwr3 + wwr3 ; wr21 = wwr1 + wwr2 + wwr3; 1-2 1 2-2 2 3-2 2 1-2 1 2-2 2 3-2 3 wr22 = wwr2 + wwr2 + wwr3 ; wr23 = wwr3 + wwr3 + wwr3 ; 1 -3 1 2 -3 1 3 -3 1 1 -3 1 2 -3 2 3 -3 2 wr31 = w w r1 + w w r2 + w w r3 ; wr32 = w w r2 + w w r2 + w w r3 ; 1 -11 2 -12 3 -13 1 -3 1 2 -3 1 3 -3 1 wwr3 + wwr3 + wwr3 = wwr1 + wwr2 + wwr3, 1 -2 1 2 -2 2 3 -2 3 1 -3 1 2 -3 2 3 -3 2 w w r3 + w w r3 + w w r3 = w w r2 + w w r2 + w w r3 . 13 ^ yy yy 13 ^ yy yy 13 - yy yy 12 Решая данную систему, получим общее решение: ( 1 w2 Т w2 2 (w2w2 - w3w3) r2 = w3r3 - 1 r2 + "-^--r3 + "^'3 w w w w w w 3-2 (4) ) >2 )2 r. / 2 - 2 1 -1 3 - 3 (w w -w w + w w V) 3 1 2-2 w (w w -w (,,,' )22 2 wV w r22, r32, r33 - любые. где комплексные числа r3 , r2 , r3 , r3 Можно найти несколько частных решений системы (4) и соответствующие им ассоциированные почти комплексные структуры. Случай 1. Пусть r3: = 0, r32 = 0, 1 -12 3 1 = w w W . Следовательно, 3 1 2 -3 2 1 -2 3 r=WWW, r=www. тогда r2 = 0 . ( w'w2 w3 1 -2 3 www Re = 1 2-3 www Эндоморфизм R:TCP3 ^ TCP3 определен только в локальной карте U0. Про должим его на всё пространство CP нулем, т.е. R = 0, где TCP3\(n') (U0) п': TCP3 ^ CP3 - естественная проекция. Для этого умножим матрицу R на глад обращающуюся в нуль на бесконечности быстрее, чем воз- 1 кую функцию f (w) 1 2 3 1 ~~ 2 3 12 3 растают выражения: www , www или www . В качестве функции f (w). например, можно взять функцию вида f (w) = (1+||w||)4 . Окончательно имеем вид эндоморфизма 0 Rf v R(x 0 _ 1 R= f (w) Определенная данным эндоморфизмом R почти комплексная структура J = J0(1+R)(1 - R)совпадает со стандартной структурой J0 в «бесконечной точке» пространства CP3, J (да) = J0(). Проведем простые вычисления для нахождения (1+R)(1 - R)-1: (1 - R)(1+R) = (1 - R)(1+R); (1 - R)-1(1 - R)(1+R) = (1+R); (1 - R)-1 = (1+R)(1 - R2)-1. 1 (Re RT 0 R? Rly 1 R2 =- (f (w))2 | wV2w3 3 ((f (w))2 1 1-R2 =1 1- (f (w))2 (1+R); r|wVw3|2 11>0; ((f (w))2 (1 - R)-1 = (1+R)(1 - R2)-1 = ((f (w))2 -1 w1w2w312 (1+R)(1 - R 2)-1 = (f (w))2 (1 + 2R + R2); ((f (w))2-jwV w3|2 (1+R)(1 - R)-1 = I + 2 R + 2- | w1w2w312 (I + R). Д,.,2,,,3 |2 ((f (w))2 -1 w'w2 w Окончательно получим ((f(w))2 | w1w2w312 -R +- ((f (w))2-|wVw312 J - J0 + 2 J0 ((f (w))2-|wVw312 Нетрудно проверить, что J2 =-1. При вычислении используем равенство RJ0 =-J0R . Найдем еще три частных решения системы (4). Случай 2. Пусть r^ = -w'w2w3, r22 = 0, r23 = (w1)2 w3, r33 = (w1)2 w3, тогда r12 = w:w3(w2 -w3), r11 = w3(2w2w3 - w2w2 + w1!1). Следовательно, f 3 2 ^3 1 2 ^2 1 3 _2 3 1 2 3 \ w (2w w + w w - w w ) w w (w - w ) -w w w Rf - w:w3(w2 - w3) 1 2 -3 -w w w (w1)2 w3 (w1)2 w3 0 (w1)2 w3 Эндоморфизм R:TCP3 ^ TCP3 определен только в локальной карте U0. Продолжим его на всё пространство CP3 нулем. Для этого умножим матрицу R на гладкую функцию 1/ f (w), обращающуюся в нуль на бесконечности быстрее, чем R 3 2 - 3 1 1 2 1 3 _2 3 возрастают элементы матрицы R^ : w (2w w + w w - ww ), ww (w - w ), 1 2 _о i ^ _о -w w w , (w ) w . В качестве функции f (w), например, можно взять функцию вида f (w) = (1+| |w| |)4. Случай 3. Пусть = 0, r22 = 0, r33 = 0; r21 = w'(w2w2 -w3w3), r11 = w2(w1w1 -w2w2 + w3w3). Следовательно, f 2 1 1 2 ^2 3 3 1 2 ^2 3 3 w (ww - ww + ww ) w (ww - ww ) r32 = (w1)2 w3, тогда w1 (w2w2 - w3w3) Re = (w1)2 w3 (w1)2 w3 Эндоморфизм R:TCP ^ TCP определен только в локальной карте U0. Продолжим его на всё пространство CP3 нулем. Для этого умножим R на гладкую функцию 1/ f(w) , обращающуюся в нуль на бесконечности быстрее, чем возрастают элементы матрицы R^ . В качестве функции f (w), например, можно взять функцию вида f (w) = (1+1|w||)4 . Случай 4. Пусть r31 = 0 , r22 = 0, r32 = 0, r33 = (w1)2w3, тогда r11 = w3(w1w1 -w2w2), 1 1 -2 3 r2 = w w w . Следовательно, 0 Re = f 3 1 1 2 1 3 w (ww - ww ) www w1w2w3 0 0 (w1)2 w3 0 0 Матрица эндоморфизма R имеет вид 0 r( v R(x 0 1 R =f (w) В качестве функции f (w), например, можно взять функцию вида f (w) = (1+||w||)4 . Более подробно рассмотрим случай 1. Для эндоморфизма R, соответствующего первому случаю, найдем соответствующую почти комплексную структуру J. В качестве функции f (w) возьмем следующую функцию: f (w) = (1+1 w|)4 . Тогда матрица почти комплексной структуры J имеет вид if2(w\ w2, w3)R,p -il il V-if2(w1, w2, w3) r( J = fx(w\ w2, w3) где 1 w2 w3) = (1+| w |)8 +| w'w2 ^ Л (1+1 w|)8 -1 w'w2 w3|2 f2(w\ w2, w3) = (1+1 w|)8 +1 w1w2w312 Проверим найденную почти контактную структуру на интегрируемость. Найдем выражение для матрицы почти комплексной структуры J в действительных координатах пространства R8. Имеют место следующие соответствия: f (w1,w2,w3) ^ fj(x1,У, x2,y2,x3,y3), f2 (w1, w2, w3) ^f2 (x1,y1,x2 ,y2 ,x3 ,y3 ) , (1+1 w|)8 =(1W (x1)2 + (y1)2 + (x2)2 + (y2)2 + (x3)2 + (y3)2 )4, |w1w2w312 = (x1 x2x3 - x3y1 y2 - x1 y2y3 - x2y1 y3)2 + +(x>x3y2 + y'x2x3 + x1 x2y3 -y1 y2y3)2 . 2(1+1 w|)4 Таким образом, в действительных координатах матрица почти комплексной метрической структуры J имеет следующий вид: J = fx if2(Re- R() = 2 f2 if2 (R!-R() -2I + f2 ( -2I - f2 (r!+R!) fi (r!-r!) -21 + f, iR(F+ где (Imi 0 0 ] 2 f2 0 Im2 0 V 0 0 Im3 ) Imj = xlx3y2 - x2 x3y1 + x1 x2y3 + y1 y2y3. Im2 = х2 х3 y10 - х1 x3y2 + x1 x2y3 + y1 y2у3. Im3 = х1 х3 y 2 + х2 х3 y1 - х'х2 y3 + y1 y2 y3, 0 0 A 1± f>Re2 0 0 1± f2Re3 у (1 ± /2RCI -2/ + f2( Rae + Rae) = -2 f2 Re1 = х1 х2 х3 + х3y1 y2 - х1 y2y3 + х2y1 y3, Re2 = х1х2 х3 + х3y1 y2 - х2y1 y3 + х1 y2y3, Re3 = х1 х2 х3 - х3y1 y2 + х1 y2y3 + х2y1 y3. Вычисляя тензор Нейенхейса N для почти комплексной структуры J с помощью системы аналитических вычислений Maple, получим N Ф 0 (108 ненулевых компонент). Следовательно, построенная структура J не интегрируема. Полученная структура позволяет получить новые классы ассоциированных контактных метрических структур (п, 4, Ф, g). Вычислим ассоциированную метрику gJ в матричном виде. Согласно равенству g(X,Y) = Ф(JX,Y), имеем ф0 =- g0 J0. Следовательно, форма Ф0 имеет матрицу вида Ф0 =- ( 0 gapA (i/ 0 1= ' 0 ^ V gap 0 / V 0 -i/ J= ,-igaP 0 J Воспользовавшись полученным выражением, имеем ( 0 ig -A и 'Sap 0 gJ =Ф0 J = fi(w\ w2, w3) ( V igaP у i/ if2(w\ w2, w3) RP -if2(w1,w2,w3)RP -i/ ( r /"...1 ,,,2 ,,,34„ Dp / 'ap Y У f (w1, w2, w3) gag Re = fKw1, w2, w3) f2(w1, w2, w3) gap R где gap Rf=' ' W1 - w2 w1 - w3 w m1 - w'w2 W 2 -w3 w -w'w3 2-3 -w w W3 3-1 -1 2 3 3-1111 w'w2 w 0 w'w2 w3 1 2-3 www Таким образом, матрица ассоциированной метрики g имеет следующий вид: Л ( gJ = g>,|a g ^ц g I) где gXu= g Ш и gX|= g^u 1 -1 2 -2 3 1 -12 3 -3 Л - w w w w w - w w w w w W 2 w1w2 w3 1 2 - 2 3 -3 -w w w w w W3 wV w3 g^u = m1f1f2 1 -1 2 3 -3 1 2-2 3 -3 -w w w w w -w w w w w W1 2 -1 3 -1 Л -w w - w w f Wlwlw2w3 1 -1 2 -2 3 -w w w w w gxu= m1f1 - w'w2 3-2 - w w W2 1-3 2-3 W3 -w w -w w m1 =- 2 W1 =1+| |w||2 - wV (1+1 HI2 )2 W2 =1 + 1 |w||2 -w2w2, W3 =1+1 |w||2 -w3w3, 2(1+1 w|)4 1, w2, w3) = (1+1 w |)88 +1 w1w2 w3|2 1 (1+1w|)8-1w w2w |2 f2(wl, w2, w3) = (1+1w|)8 +1w1w2w3|2 ' Аналогичным образом были рассмотрены случаи 2-4. Таким образом, построены новые примеры ассоциированных контактных метрических структур (п, 4, ф, gJ) на 7-мерной единичной сфере S1. Кроме того, найденное семейство ассоциированных метрик gJ соответствует неинтегрируемому семейству ассоциированных почти комплексных структур J в 3-мерном комплексном проективном пространстве СР3.

Скачать электронную версию публикации