On the determination of constants in the Schwarz - Christoffel integral by P.P. Kufarev's method.pdf Проблема констант в интеграле Кристоффеля - Шварца Внешность односвязного многоугольника с заданным расположением вершин в области Z отображается на верхнюю полуплоскость W формулой Кристоффеля -Шварца - = П (W - ak )ak . (1) dW |iv k Само это отображение, сводящееся к вычислению интеграла по контуру, лежащему в области W, не представляет особых затруднений, но интеграл вида (1) получен в предположении, что известны прообразы вершин (ak). Однако в действительности задаются лишь вершины многоугольника Zk, а точки ak остаются неизвестными. Это обстоятельство представляет главную трудность при практическом осуществлении конформного отображения. Многими авторами [2, 3] предпринимались попытки решить проблему параметров ak, но при следовании обычным путем, задача всегда сводилась к нахождению корней сложной системы нелинейных уравнений между этими величинами. Однако еще в 1947 г. профессором Томского университета П.П. Куфаревым [4] был предложен совершенно необычный способ нахождения параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца. Краткое описание метода П.П. Куфарева Метод Куфарева [5] применим к многоугольникам, имеющим хотя бы один прямолинейный разрез, то есть к таким, например, как показано на рис. 1. Причем последнее звено (4-5) не должно в точности доходить до вещественной оси. Имеются, таким образом, как внешние (1-5), так и внутренние (6-9) вершины, пронумерованные соответственно. (W) (7) па4 ai а2 1 9 5 a3 Вычисляя для нее частную производную по переменной t и дифференцируя равенство (3) по W, находим 5Ф = d3 7/dt dW д2 7 1 57 d 2 7 1 (5) 57/dW (6) d2 7 dtdW dt (X - W)2 dW X - W dW2 Из двух формул (5) следует, что функция Ф (W, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению 5Ф= 1 1 5Ф dt "(X - W)2 X - W dW ' С другой стороны, исходя из формулы (1), имеем Ф^, t) = ln [JL) = ln (W - X) + X ak ln(W - ak), (7) 5Ф dt 5Ф dW -k"k W - X k=1 W - ak Подставляя частные производные функции Ф (W, t) из формулы (7) в (6), получаем k=1 aka. W - X k=1 W - ak i -A ak«k = 1 1 W -i ~Z W -ak "(i - W)2 + i- W 1 n -+Zr 1 ^ 1 (8) W - i k1W - ak (i - W )2 Сгруппируем члены в последнем выражении следующим образом: -f i-Z^4+Z^4 «k -4 = 0. (9) w - i V k=1 i - «k J k=1 w - «kf k «k - i1 Так как равенство (9) должно выполняться при произвольных значениях W, то отсюда можно найти 1 A ak „ i = -]--, ^ = -Zakak + const, k = 1,..,n. (10) «kk=1 k=1 Формулы (10) являются необходимыми и достаточными условиями тождественности уравнений (2) и (3) [5]. Они представляют собой дифференциальные уравнения для нахождения прообразов вершин многоугольника. Эти прообразы изменяются вместе с параметром t согласно уравнениям (10). Свойство преобразования Куфарева Посмотрим, что происходит с вершинами многоугольника в плоскости Z. Запишем полную производную от Z по t, допуская, что W также зависит от t. Тогда получим dZ=dZ+^Zw=^Zfw. (11) dt dt dW dW V i - W J Здесь использована формула (3). Если в (11) положить W = то, в силу (10), правая часть (11) будет равна нулю. Это означает, что вершины многоугольника в плоскости Z, не совпадающие с концом разреза i, не зависят от параметра t и остаются неподвижными. Далее, если подставить в уравнение (11) W = i и учесть, что dZ/dW содержит множитель (W-i), то получим dZ_ dt a, =- Л7 1 n 1 =П («k - i)ak . (12) dL dt dZ dt w=i dw i - w k=1 Если через L обозначим длину разреза, то n ak = П1 «k - i| . (13) W =i k=1 Приведенные рассуждения приводят к следующему выводу: Если при t = t0 известны константы Кристоффеля - Шварца (прообразы %) при отображении верхней полуплоскости на многоугольник, то уравнения (10) и (13) описывают изменения этих констант при добавлении к n-угольнику прямолинейного разреза длины L(t). Это замечательное свойство метода Куфарева можно использовать для определения констант Кристоффеля - Шварца практически любого односвязного многоугольника, составленного из прямолинейных разрезов, выпускаемых в определенной последовательности. Интегрирование дифференциальных уравнений (10) и (13) следует производить до того момента t, для которого длина соответствующего разреза достигнет заданного значения. Проблема начальных условий При численном интегрировании дифференциальных уравнений (10) и (13) имеется небольшое затруднение. Прообраз вершины разреза 1 заключен между двумя величинами a,

Скачать электронную версию публикации