The pseudo-Helmholtz and dual Helmholtz planes with the Finsler geometry.pdf Известна классификация Г.Г. Михайличенко двумерных феноменологически симметричных геометрий [1], то есть геометрий, для которых шесть взаимных расстояний между четырьмя произвольными точками функционально связаны. Расстояние понимается в обобщенном смысле как значение некоторой функции, для которой метрические аксиомы не обязательно выполняются. Было доказано, что феноменологически симметричные геометрии наделены максимальной подвижностью, то есть для них существуют группы движений максимальной размерности равной трем [2, 3]. Классификация таких двумерных геометрий содержит как хорошо известные геометрии (евклидова, псевдоевклидова, симплектическая, сферическая и т.д.), так и неизвестные (собственно гельмгольцева, псевдогельмгольцева, дуальногельмгольцева и симплициальная). В данной работе применяются методы изучения финслеровых пространств для исследования псевдогельм-гольцевой и дуальногельмгольцевой двумерных геометрий. Эта статья является продолжением работы [4], опубликованной автором, в которой исследуется собственно гельмгольцева двумерная геометрия как финслерово пространство. 1. Псевдогельмгольцева и дуальногельмгольцева плоскости Возьмем в арифметической плоскости R2 метрические функции [1]: 2Р ar(c)th f (x, y) = [(x1 - У)2 - (x2 - y 2)2]e x- y , где в = const, в Ф 0, в Ф 1, x1 Ф у1, причем при 1 -arcth- = - ln---- и u1 2 1 - u2/ u1 2 2 2 X - y u1 2 u2/ u1 +1 g(x, у) = (x1 - у1)2 e2 где x1 Ф У . Рассмотрим касательную плоскость Tx (R2) к R2 в произвольной точке x = (x1, x2). Обозначим через T(R2) касательное расслоение. Зададим в прямом произведении R2 х T (R2) метрическую функцию в ar(c)th- f (u) = J(l u1)2 - (u2)2 e u', (1) где u e Tx (R2), u1 Ф 0 . Касательный вектор u e Tx (R2) называется неизотропным по отношению к функции (1), если для него определено значение этой функции. Множество неизотропных касательных векторов относительно метрической функции (1) в точке x обозначим через Dfx(R2) с Tx(R2). Пусть Df (R2) с T(R2) - расслоение неизотропных касательных векторов. Очевидно, метрическая функция (1) определена в прямом произведении R2 х Df (R2). Аналогично в прямом произведении R 2 х T (R 2) задаем метрическую функцию u2 g (u) = uV, (2) где u e Tx (R2), u1 Ф 0, и определяем неизотропный по отношению к функции (2) касательный вектор u e Tx (R2) как вектор, для которого определено значение этой функции. Множество так определенных неизотропных касательных векторов в точке x обозначим через Dgx(R2) с Tx(R2). Введем обозначение Dg (R2) с T(R2) для расслоения таких неизотропных касательных векторов. Очевидно, метрическая функция (2) определена в прямом произведении R2 х Dg (R2). Определение 1. Тройка (R2, Df (R2), f) задает псевдогельмгольцеву двумерную геометрию (плоскость), а тройка (R2, Dg (R2), g) - дуальногельмгольцеву двумерную геометрию (плоскость). Теорема 1. Метрические функции (1) и (2) положительно однородны степени один. Доказательство. Действительно, „ , ^ , Хы2 Хы2 I--7Т в ar(c)th - п - f (Xu) = у](Xu )2 -(Xu2)2e Xu = Xf(u), g(Xu) = (Xu1)eXu =Xg(u), для любого X > 0. □ Таким образом, псевдогельмгольцева и дуальногельмгольцева двумерные геометрии являются финслеровыми пространствами [5]. Очевидно, метрическая функция (1) положительна в области 2 u < 1, то есть u f (u) > 0, причем u е Df (R2). Теорема 2. Псевдогельмгольцева геометрия является положительно опреде ленной двумерной финслеровой геометрией в области 2 u < 1, при в > 1. u Доказательство. Вычисляем производные первого порядка: 2 f 2 2par(c)th-- = 2(u1 -pu 2)e u1 ди1 2 дГ 2 1 2Р ar(c)th- -Ц- = 2(-u 2 +Pu1)e u1, дu2 д2 f 2 дu1дu1 ~ (u1)2 - -(u 2)2 д 2 f 2 „P((u1)2 + (u 2)2) - 2Р дu1дu2 ~ (u1)2 - (u 2)2 д 2 f 2 ,(2Р2 - 1)(u>)2 + (u2)2 дu2дu2 ~ (u1)2- - (u2)2 Затем вычисляется определитель д2 f 2 д 2 f 2 Д = дu1дu1 дu1дu2 д2 f 2 д 2 f 2 = 4(Р2 дu 2 Dul дu 2дu 2 2..L.2 потом производные второго порядка: „К^лп2 2 (u1)2 + (2Р2 - 1)(u2)2 - 2Bu1u2 2вar(c)th"T -e u , 2 u 2 2 4par(c)th- который положителен при |p| > 1. Элемент в левом верхнем углу данного определителя, очевидно,равный 2 д2 f2 „ (u1 - Pu2)2 + (Р2 - 1)(u2 )2 2вar(c)thuu1 ■ = 2- ^ u дu1дu1 (u1)2 - (u 2)2 < 1. Таким образом, из приведенных рассу 2 u также положителен, если |В| > 1 и u ждений следует, что при |р| > 1 в области 2 u < 1 квадратичная форма u дf2 (3) дu1 дu1 %1 = 2 gi % %1 положительно определена. Если же еще учесть положительность метрической функции (1), то приходим к утверждению теоремы 2. □ Метрическая функция (2) положительна, то есть g(u) > 0, в области где и1 > 0 , причем u е Dg (R2). Теорема 3. Дуальногельмгольцева геометрия является положительно определенной двумерной финслеровой геометрией в области u1 > 0 . Доказательство. Вычисляем производные первого порядка: 2 и2 2 ди = 2(u1 - u 2)e u1: 2и! = 2ule u , 2 ди потом производные второго порядка: 2 1 \2 (u1)2 д2g2 = 2(u')2 + 2(u2)2 -2u'u2 ^ ди1ди1 2 О 1 ~u 2u 2 - u1 2т = -2-;-e u , я2 2 д g дu1дu2 д2 g 2 4 .2 „2 = 4e дu 2дu 2 Затем вычисляется определитель я2 2 д g ^2 2 д g 2 4- = 4e u > 0. дu1дu1 з2 2 д g дu1дu2 з2 2 д g Д = дu25u2 Элемент в левом верхнем углу данного определителя, очевидно, равен 2 2(u' - u2)2 + (u2)2 ^ > 0 = 2-e u > 0. (u1)2 дu 2 дu1 з2 2 д g ды1ды1 Видно, что квадратичная форма (3), в которой берем вместо f метрическую функцию g, положительно определена. Учитывая дополнительно положительность метрической функции (2) в области u1 > 0 , приходим к утверждению теоремы 3. □ 2. Псевдогельмгольцево двумерное многообразие Это многообразие определено в работе автора [6], и локальное его изучение было темой кандидатской диссертации. Ниже все индексы принимают значения 1 и 2. Рассмотрим касательную плоскость Tx (M) к двумерному многообразию M в произвольной точке x и касательное расслоение T (M). В прямом произведении M х T (M) зададим метрическую функцию, которая в координатной окрестности U с M имеет явный вид _ |3ar(c)th f (x,u) = yj(a1u' )2 - (bU )2 e a'u, (4) где u e Tx (M), а ai = ai (x), bi = bi (x) - функции класса C3, p = const, p Ф 0, p Ф 1. В каждой точке x векторы atU , b'U линейно независимы, то есть axb2 - a2b1 Ф 0 . Касательный вектор u e Tx (M) называется неизотропным, если для него определено значение метрической функции (4). Множество неизотропных касательных векторов в точке x обозначим через Dfx (M) с Tx (M). Пусть Df (M) с T(M) -расслоение неизотропных касательных векторов. Определение 2. Тройка (M, Df (M), f ) задает геометрию двумерного псевдогельмгольцева многообразия. Заметим, что для псевдогельмгольцевой плоскости a\ = 1, a2 = 0, bj = 0, b2 = 1. Теорема 4. Метрическая функция (4) положительно однородна степени один. Доказательство. Действительно, _ Par^th^ f (x, Xu) = y](atXu1 )2 - (b'Xu1 )2 e a'Xu' = Xf (x, u), для любого X > 0. □ Итак, двумерное псевдогельмгольцево многообразие является финслеровым пространством [5]. Метрическая функция (4) положительна, то есть f (x,u) > 0, в области < 1, где u e Dfx (M). bu' a^u1 Теорема 5. Псевдогельмгольцево двумерное многообразие (M, Df (M), f ) является положительно определенным двумерным финслеровым пространством в bu1 области < 1 при |p| > 1. a ju1 Доказательство. Сначала вычисляем производные первого порядка: (2) df 2(x u) 2Рar(c)th(-f = 2[(a' +eb' )(1) - (b' +рa' )(2)]e (1), g'i(x,u) ^ „ ^ 1 (5) du где для удобства введены сокращающие обозначения (1) = akuk, (2) = bkuk. Потом вычисляются компоненты финслерова метрического тензора 1 д2 f 2( x, u) 2 du'du1 псевдогельмгольцева двумерного многообразия: (6) Ail (1)2 + B'1 (2)2 + C'j (1)(2) 2Par(c)th^ (1)2 - (2)2 2 g g 4Par(c)th- g11 g12 = gllg22 -g-2g21 = (P2 - 1)(а-Ь2 -а2Ь-)2e u. (7) 21 22 Видно, что он положителен, если |р| > 1. Несложно преобразовать элемент в верхнем левом углу данного определителя: = ((а + РЬ )(1) - Ра (2))2 + ((Рд + Ь )(2) - pfr (1))2 - а12 (2)2 - Ь2 (1)2 2Р g11 = 2 2 e . где A = a1a] +ва1Ь] +$Ь1а] + (2р2 -\)Ь1Ь], Бг] = (2Р2 - 1)аа +ва,Ь} +вЬ,а} + ЬгЬ}, С = -2Р(аа +вагЬ} +вЬга} + ЬгЬ}). Затем вычисляется определитель (1)2 - (2)2 Д = Можно доказать его положительность в области ЬМ < 1 при |Р| > 1. Из полу а,и ченных результатов следует, что квадратичная форма (3) положительно определена. Учитывая еще положительность метрической функции (4) в области < 1, приходим к утверждению теоремы 5. □ а,и Предложение 1. Контравариантный финслеров метрический тензор псевдо-гельмгольцева двумерного многообразия задается формулой (2) A1 (1)2 + Б1 (2)2 + С1 (1)(2) я-2в ^^ (Р2 - 1)(а1Ь - а2Ь1)2((1)2 - (2)2) где A11 = A22, A21 = -A12, A22 = А-, Б11 = Б21, Б21 =-Бп, Б22 = Б„, С11 = С22, 21 22 С = -С12 , С = С11 . Доказательство. Контравариантный финслеров метрический тензор g11 определяется из формулы g1 gjk = d'k, где 5'k - символ Кронекера, glk - финслеров метрический тензор псевдогельмгольцева двумерного многообразия, определенный формулой (6) . Тогда ЬМ (8) „22 = An(1)2 + Бц(2)2 + С„(1)(2) ^Р (2) "(1) (Р2 - 1)(аЬ - а2Ь1)2((1)2 - (2)2) A21 (1)2 + Б21(2)2 + С21(1)(2) ^ (Р2 - 1)(а1Ь2 - а2Ь1)2((1)2 - (2)2) ^ (2) 11 = A22 (1)2 + Б22(2)2 + С22(1)(2) ^ar(c)th(1) (Р2 - 1)(а1Ь2 - а2Ь1)2((1)2 -(2)2) Если ввести обозначения: A11 = A A21 -- A A22 = A 11 21 22 B = B22 , B - -B12 , B = ^ 11 21 22 C - C22 , C - -'C12 , C - C11 , то для компонент контравариантного метрического тензора получим формулу (8). □ Основной и дополнительные финслеровы тензоры [5] определяются формулами Cjk (x,u) -1 dg (x u) -1 д3■f2(x u). , Ajk (x,u) - f(x,u)Cm (x, u). (9) 1 2 Suk 4 3u'3uJ3uk 1 1 Очевидна полная симметрия по индексам: Cijk - Cik - Ckji - Cjik и A1'k - Лук - Ak'i - Ajk . Предложение 2. Основной и дополнительный финслеровы тензоры псевдо гельмгольцева двумерного многообразия в области явный вид: bu < 1 при |р| > 1 имеют ajuJ 2Р(Р2 - 1)Pi'k 2Рar(c)th^(2) 2Р(Р2 - 1)Pi'k 3Рar(c)th-(2) (1) , а,- -=-^e (1), A* - -:-^ e (10) i1k ((1)2 -(2)2)2 ((1)2 - (2)2)3/2 где введено сокращающее тензорное обозначение: Piik - (bk (1) - ak (2))(by (1) - ay (2))(b (1) - at (2)). Доказательство. Для доказательства необходимо вычислить производные от компонент метрического тензора (6) и привести подобные. □ biui --- < 1 при |Р| > 1 можно определить единичный вектор, а также В области ajuJ ковариантный нормальный к нему вектор: mi - -eikl , где % - 0 л/Д -ТД 0 u l1 -- (11) f (x, u) Учитывая (7), приходим к выражениям для единичного вектора и ковариантного нормального вектора псевдогельмгольцева двумерного многообразия в области bu1 < 1 с условием |Р| > 1: a,u V(P2 -1) (bi (1) - at (2))e l1 - л/(1)2 - (2)2 ' 1 л/(1)2 - (2)2 В финслеровой геометрии доказано соотношение Ak- Jmimjmk, где J - скаляр [5]. R ar(c)th(-) (1) -Rar(c)th- (1) u e Предложение 3. Финслеров скаляр J псевдогельмгольцева двумерного мноbU гообразия в области < 1 при |Р| > 1 вычисляется по формуле a jU1 2р J = , = const. Vp2-1 Доказательство. Найдем сначала тройное произведение 3par(c)th^ (Р2 -1)3/2(b (1) - аг (2))(bj (1) - a] (2))(bk (1) - ak (2))e (1) mmjmk =---„ г 1 k ((1)2 - (2)2) 3Rar(c)th(-) = (P2 -1)3/2 p1]ke (1) ((1)2 - (2)2)3/2 Затем найденное и выражение для тензора Aijk, вычисленное в предложении 2, подставим в формулу (12), получаем явное выражение для скаляра J . □ Следует отметить, что в теории двумерных финслеровых пространств этот скаляр, который для двумерного псевдогельмгольцева многообразия принимает постоянное значение, является важной характеристикой. Заметим, что для рима-новых двумерных многообразий этот скаляр равен нулю. По тензорам (9) строятся новые тензоры: Cjk = gllCflk , Ajk (x,и) = f(x, u)Cjk (x,u). (13) В явном виде для двумерного псевдогельмгольцева многообразия в области buU < 1 с |р| > 1 они имеют вид ajU1 с = -2P(bk (1) - ak (2))(bj (1) - a} (2))((a' + pb1 )(1) - (b1 + Pa' )(2)) ]k (ab -a2b)((1)2 - (2)2)2 , A = -2P(bk (1) - ak (2))(bj (1) - a} (2))((a1 + pb1 )(1) - (b1 + pa' )(2)) ePAr(c)thi(2) Jk = (ah - a2bj)((1)2 - (2)2)3/2 ^ , где a2 = al,b2 = bl, a1 = a2,b1 = b2 . С помощью второго тензора из (13) можно определить финслеров специальный тензор кривизны [5]: j = AlArjh - A\Ar]k. (15) Теорема 6. Финслеров специальный тензор кривизны для псевдогельмгольцева двумерного многообразия равен нулю. Доказательство. Действительно, воспользуемся выражением (14) для тензора Ajk при вычислении финслерова специального тензора кривизны (15): . 4В2 2par(c)th(2) S1 =_ZL_e (1) х Jkh (ab - fl^W - (2)2)3 x((a1 +pb1 )(1) - (b1 +p a1 )(2))((ar +pbr )(1) - (br +Par )(2)) х x[((b; (1) - a} (2))(bk (1) - ak (2))(bh (1) - ah (2))(br (1) - ar (2)) --(b;- (1) - a} (2))(bk (1) - ak (2))(b„ (1) - ah (2))(br (1) - ar (2))] = 0. Проведенные вычисления доказывают, что S'jkl = 0. □ В работе [6] проводилось исследование кривизны двумерного псевдогельмгольцева многообразия, построенной через согласованную связность. Найден соответствующий тензор кривизны: дГ' дГ1 р! _ J* |_!L_r1 т^ ,т5 Rjkl = ' + д/ Г Г 1' +Г Г J*, где символы Кристоффеля согласованной связности определяются по формуле Г1 = 1 hlk &+15-(. +х . "Ч.), причем hi: = aia f - btb f + P(a1b f - a b), X1j-k = b, -'- - a, -'-. Оказалось, что тенj дхк ' дхк дai дb. b1 зор R1kl тождественно не обращается в нуль. 3. Дуальногельмгольцево двумерное многообразие Это многообразие, как и псевдогельмгольцево, также определено в работе автора [6]. Пусть M - двумерное многообразие. Рассмотрим Ух е M касательную плоскость Тх (M) и касательное расслоение Т (M). В прямом произведении M х Т (M) зададим метрическую функцию, которая в координатной окрестности U с M имеет явный вид ъ/ g(х,u) = (a1u1 )eau', (16) где u е Тх (M), а ai = ai (х), bi = bi (х) - функции класса C3. Векторы au', bu' линейно независимы, то есть a1b2 - a2b1 Ф 0 . Касательный вектор u е Тх (M) называется неизотропным, если для него определено значение метрической функции (16). Множество неизотропных касательных векторов в точке х обозначим через Dgх (M) с Тх (M). Пусть Dg (M) с Т(M) - расслоение неизотропных касательных векторов. Определение 3. Тройка (M, Dg (M), g) задает геометрию двумерного дуаль-ногельмгольцева многообразия. Заметим, что для дуальногельмгольцевой плоскости a1 = 1, a2 = 0, b1 = 0, b2 = 1. Справедлива теорема, аналогичная теореме 4. Теорема 7. Метрическая функция (16) положительно однородна степени один. Таким образом, двумерное дуальногельмгольцево многообразие является финслеровым пространством [5]. Метрическая функция (16) положительна, то есть g(x, u) > 0 в области aiu' > 0 , где u e Dgx (M). Теорема 8. Дуальногельмгольцево двумерное многообразие (M, Dg (M), g) является положительно определенным двумерным финслеровым пространством в области aiu1 > 0. Доказательство. Сначала вычисляем производные первого порядка: дГ(x,u) ,..........2f = 2[(аг + bi )(1) - ai (2)]e ди1 причем (1) = akuk, (2) = bkuk. Потом вычисляются компоненты финслерова метрического тензора по формулам (5) дуальногельмгольцева двумерного многообразия: aj (I)2 + Bj (2)2 + Cj (1)(2) gij =--J-2-J-e (1), (17) где aj = aaj + abj + baj + 2bibj, Bij = 2aiaj, Cij = -2(aiaj + aibj + biaj). Вычисляется определитель: (2) Д = = g11 g22 - g12g21 = (a1b2 - a2b1)2 e (1) > (18) 11 12 g21 g22 Можно доказать положительность элемента в верхнем левом углу: (2) (1) >0. ((a + bt)2 - bt2 )((1) - (2))2 + 2bt2(2)2 + (2at2 - (q + bt)2 + bt2)(2)2 2~ \2 j = AJ (1)2 + BiJ (2)2 + CiJ (1)(2) (1)2 Из полученных результатов и положительности метрической функции (16) в области aiu' > 0 следует, что квадратичная форма (3) положительно определена. □ Предложение 4. Контравариантный финслеров метрический тензор дуально -гельмгольцева двумерного многообразия задается формулой 2(2) 2 2 (ajb2 - a2bj) (1) где A11 = A22, A21 =-A12, A22 = Au, B11 = B22, B21 =- Bl2, B22 = B„, C11 = C22, 21 22 C = -C12 , C = C11 . Доказательство. Контравариантный финслеров метрический тензор gv определяется из формулы giJgjk =§k, где 5k - символ Кронекера, gij - дуально-гельмгольцев финслеров метрический тензор. Тогда ,22 = An(1)2 + Bn(2)2 + Cu (1)(2) -2 (axb2 - a2b1)2(1)2 .21 = ^2l(1)2 + B2l(2)2 + C21 (1)(2) (aib2 - a2bi)2(1)2 gU = ^22(1)2 + B22(2)2 + C22(1)(2) (ab - a2bi)2(1)2 ' Если ввести обозначения: A11 = A22, A21 = -A12, A22 = An, B11 = B22, B21 = -B12, 22 11 21 22 B = bjj, C = C22, C =-C12, C = cjj , то для компонент контравариантного метрического тензора получим искомую формулу. □ Предложение 5. Основной и дополнительный финслеровы тензоры дуальногельмгольцева двумерного многообразия задаются формулами Cm = е(1), Д = ^ е(1), (19) Ф (1)4 (1)3 где введено сокращающее тензорное обозначение рУк = (b. (1) - a. (2))(bj (1) - a} (2))(bk (1) - ak (2)). Доказательство. Для доказательства необходимо воспользоваться формулами (9). □ По формулам (11) вычисляем единичный вектор и ковариантный нормальный к нему вектор для дуальногельмгольцева двумерного многообразия, причем используем выражение (18) для определителя: (2) (2 ы'е (1) (b. (1) - at (2))е(1) Г =- (1) (1) Предложение 6. Финслеров скаляр J дуальногельмгольцева двумерного многообразия равен 2. Доказательство. Находим тройное произведение 3(2) 3(2) (!) р е (!) (b. (1) - a. (2))(bj (1) - a} (2))(bk (1) - ak (2))е (1) _pl]ke щт^тк = (1) (1) Подставляем найденное произведение и выражение для тензора Ajk, вычисленное в предложении 5, в формулу (12), получаем явное выражение для скаляра J . □ Далее по формулам (13) с использованием выражений для второго тензора из (19) вычисляем тензоры 2(bj (1) - aj (2))(bk (1) - ak (2))((d + b' )(1) - a' (2)) C = }k (ab - a2b1)(1)4 . 2(bk (1) - ak (2))(bj (1) - a (2))((a' + b' )(1) - a1 (2)) § Ajk =-J--J--3-e(1), (20) (ab - a2b )(1) (2) е (1), где a2 =-aj,b2 = bl, a1 =-a2, b1 = b2. Затем находим финслеров специальный тензор кривизны. Теорема 9. Финслеров специальный тензор кривизны для дуальногельмгольцева двумерного многообразия равен нулю. Доказательство. Действительно, воспользуемся выражением (20) для тензора Ajk при вычислении финслерова специального тензора кривизны (15): 4 2® S\ =_4_e (!) х Jkh (ab - a2b1)2(1)6 x((a' + b1 )(1) - a1 (2))((ar + br )(1) - ar (2)) х x[(b} (1) - a} (2))(bk (1) - ak {2)){bh (1) - ah (2))(br (1) - ar (2)) --(bj (1) - a} (2))(bk (1) - ak (2))(bh (1) - ah (2))(br (1) - ar (2))] = 0. Проведенные вычисления доказывают, что Sjkl = 0. □ В работе [6] проводилось исследование кривизны двумерного дуальногельмгольцева многообразия, построенной через согласованную связность. Найден соответствующий тензор кривизны: dr'jk дГгп Rjki = -f +-f -vSk г sn + г^ г slk, дХ dxk l ll где символы Кристоффеля согласованной связности определяются по формуле ^ (jkl kij -^ljk): ri = 1 hrn (j + dhki dhij гг 2 I dx1 dxj dxk daг db. причем h, = aiaj + aibj - ajbi, Xiyk = b,-- a:-. Оказалось, что тензор криj J J J J dxk J dxk визны R'ikl тождественно не обращается в нуль. Заключение Из данных исследований и работы [4] следует, что в классификации Михайли-ченко двумерных феноменологически симметричных геометрий [1] геометрии собственно гельмгольцева, псевдогельмгольцева и дуальногельмгольцева, задаваемые метрическими функциями 2 2 x - У 2Y arctg 1 ^ f (x, y) = [(x1 - y1)2 + (x2 - y2)2]e x-y , 2P ar(c)th ^^ f (x,y) = [(x1 - y1)2 - (x2 - y2)2]e x-y , f (x, y) = (x1 - yv)ex -y , где у = const, у Ф 0, p = const, P Ф 0, p Ф 1, являются финслеровыми. Других финс-леровых неримановых геометрий в той классификации нет. В работе В.Х. Лева [7] приводится классификация трехмерных феноменологически симметричных геометрий, среди которых есть собственно гельмгольцева, псевдогельмгольцева и дуальногельмгольцева трехмерные геометрии с метрическими функциями 2 - 2 2 у arctg х-- + 2 z1 + 2 z2 f (х,y) = [(х1 - y1)2 + (х2 - y2)2]e х-y , 2 - 2 2 в ar(c)th х 1 y1 + 2 z1 + 2 z 2 f (x, y) = [(x1 - y1)2 - (x2 - y2)2]e x-y , + 2 z1+2 z 2 f (x, y) = (x1 - yV- y . Для этих метрических функций не выполняется основное свойство финслеровой геометрии - свойство однородности, то есть данные геометрии не являются финс-леровыми.

Скачать электронную версию публикации