On the residual nilpotence of free products of nilpotent groups with central amalgamated subgroups.pdf 1. Введение Пусть C - некоторый класс групп. Напомним, что группа X называется аппроксимируемой группами из класса C (или, короче, C-аппроксимируемой), если для каждого неединичного элемента x из X существует гомоморфизм группы X на группу из класса C, образ элемента x относительно которого отличен от единицы. Отметим, что если C - класс всех конечных групп, то понятие C-аппроксими-руемой группы совпадает с классическим понятием финитно аппроксимируемой группы. В данной статье рассматриваются свойства аппроксимируемости классом всех нильпотентных групп, а также классом всех конечных нильпотентных групп и некоторыми его подклассами. Первым существенным продвижением в их изучении следует, по-видимому, считать результат В. Магнуса о нильпотентной аппроксимируемости произвольной свободной группы [1]. Исследование аппроксимируемости нильпотентными группами свободных конструкций групп было начато А.И. Мальцевым [2], указавшим как необходимые, так и достаточные условия нильпотентной аппроксимируемости (обычного) свободного произведения ниль-потентно аппроксимируемых групп. Полностью вопрос о нильпотентной аппроксимируемости данной конструкции был решен А. И. Лихтманом в [3]. Аппроксимируемость нильпотентными группами свободных произведений с объединенной подгруппой и HNN-расширений изучалась в работах [4-11], и этот перечень является, по-видимому, исчерпывающим. В [12] получен критерий нильпотентной аппроксимируемости фундаментальной группы произвольного графа конечных групп. Помимо этого имеется значительное число результатов об аппроксимируемости перечисленных свободных конструкций конечными р-группами (являющимися, как известно, нильпотентными), а также произвольными корневыми классами, к числу которых относится и класс всех конечных р-групп. Основой данных исследований служит работа К. Грюнберга [13], а ссылки на последние статьи в указанном направлении можно найти в обзоре [14]. Следует отметить, что в ряде случаев свойство аппроксимируемости конечными р-группами оказывается равносильным нильпотентной аппроксимируемости (см., напр., [5, 8, 9]). В целом, однако, можно утверждать, что аппроксимируемость нильпотентными группами свободных произведений с объединенной подгруппой и HNN-расшире-ний изучена достаточно мало. Перейдем теперь к описанию результатов, полученных в настоящей статье. Пусть A и B - произвольные группы, H и K - подгруппы групп A и B соответственно, ф - изоморфизм подгруппы H на подгруппу K. И пусть G = (A * B; H = K, ф) - свободное произведение групп A и B с подгруппами H и K, объединенными относительно изоморфизма ф. Напомним, что группа G порождается всеми порождающими групп A и B и определяется всеми определяющими соотношениями этих групп, а также соотношениями вида hф = h, где h е H. В случае, когда свободные множители A и B нильпотентны, а подгруппы H и K лежат в их центрах, имеет место следующий простой критерий нильпотентной аппроксимируемости группы G. Теорема 1. Пусть G - свободное произведение нильпотентных групп A и B с центральными объединенными подгруппами H и K, не совпадающими с группами A и B. Группа G аппроксимируема нильпотентными группами тогда и только тогда, когда аналогичным свойством обладает (обычное) свободное произведение групп A /H и B/K. Пусть далее п - некоторое множество простых чисел. Напомним, что элемент х группы X называется п-полным, если для любого целого положительного числа п, все простые делители которого принадлежат множеству п, существует такой элемент y е X, что yn = х. Напомним также, что конечная группа называется п-груп-пой, если все простые делители ее порядка содержатся в п. В случае, когда множество п состоит из одного простого числа р, говорят о р-полных элементах и о конечных р-группах соответственно. Как уже было отмечено выше, А. И. Мальцев указал как необходимые, так и достаточные условия нильпотентной аппроксимируемости свободного произведения нильпотентно аппроксимируемых групп. Если перемножаемые группы нильпотентны, эти условия образуют критерий, который выглядит следующим образом. Предложение 1 [2, с. 362]. Свободное произведение нильпотентных групп аппроксимируемо нильпотентными группами тогда и только тогда, когда ни один из свободных множителей не имеет кручения или для некоторого простого числа р ни один из свободных множителей не содержит р-полных элементов, отличных от 1. Поэтому теорема 1 допускает следующую равносильную формулировку. Теорема 1'. Пусть G - свободное произведение нильпотентных групп A и B с центральными объединенными подгруппами H и K, не совпадающими с группами A и B. Группа G аппроксимируема нильпотентными группами тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих утверждений: 1) группы A/H и B/K не имеют кручения, 2) для некоторого простого числа р группы A/H и B/K не содержат р-полных элементов, отличных от 1. Рассмотрим теперь вопрос об аппроксимируемости обобщенного свободного произведения G конечными нильпотентными п-группами, где п - непустое множество простых чисел (в частности, множество п может содержать все простые числа и тогда класс конечных нильпотентных п-групп совпадает с классом всех конечных нильпотентных групп). Здесь критерий удается получить при более слабых ограничениях на объединенные подгруппы, потребовав, чтобы одна из них была центральна, а другая нормальна в соответствующем свободном множителе. Теорема 2. Пусть G - свободное произведение нильпотентных групп A и B с объединенными подгруппами H и K, не совпадающими с группами A и B, подгруппа H центральна в группе A, подгруппа K нормальна в группе B. Группа G аппроксимируема конечными нильпотентными п-группами тогда и только тогда, когда она аппроксимируема конечными п-группами, а свободное произведение групп A/H и B/K - конечными нильпотентными п-группами. В отличие от случая аппроксимируемости произвольными нильпотентными группами, критерий аппроксимируемости (обычного) свободного произведения нильпотентных групп конечными нильпотентными п-группами в общем случае неизвестен, равно как и критерий аппроксимируемости конечными п-группами рассматриваемого обобщенного свободного произведения G. Однако указанные задачи удается решить при некоторых дополнительных ограничениях, накладываемых на свободные множители A и B. Напомним, что группа X называется группой конечного ранга, если существует целое положительное число r такое, что любая конечно порожденная подгруппа группы X порождается не более чем r элементами. Ранее одним из авторов было доказано, что в случае, когда выполняются предпосылки теоремы 2, а группы A и B имеют конечный ранг, аппроксимируемость конечными п-группами группы G равносильна аппроксимируемости конечными п-группами групп A, B, A/H и B/K [15]. Известно также, что нильпотентная группа конечного ранга аппроксимируема конечными п-группами тогда и только тогда, когда она не содержит п-полных элементов, отличных от 1 [16]. Отсюда вытекает Следствие 1. Пусть G - свободное произведение нильпотентных групп A и B конечного ранга с объединенными подгруппами H и K, не совпадающими с группами A и B, подгруппа H центральна в группе A, подгруппа K нормальна в группе B. Группа G аппроксимируема конечными нильпотентными п-группами тогда и только тогда, когда группы A и B не содержат п-полных элементов, отличных от 1, а свободное произведение групп A/H и B/K аппроксимируемо конечными нильпотентными п-группами. При значительно более сильном ограничении - конечной порожденности групп A и B - получаем Следствие 2. Пусть G - свободное произведение конечно порожденных ниль-потентных групп A и B с объединенными подгруппами H и K, не совпадающими с группами A и B, подгруппа H центральна в группе A, подгруппа K нормальна в группе B. Группа G аппроксимируема конечными нильпотентными п-группами тогда и только тогда, когда периодические части групп A и B являются п-груп-пами, а периодические части групп A/H и B/K - p-группами для некоторого простого числа p e п. В самом деле, легко видеть, что если отличный от 1 элемент x конечно порожденной нильпотентной группы X является п-полным, то он имеет конечный порядок q. Очевидно, что для каждого простого делителя p числа q элемент x(q/p) также отличен от 1 и является п-полным. Если p e п и n - порядок соответствующей числу p силовской подгруппы Sp периодической части группы X, то из равенства y = x(q/p) вытекает, что y e Sp и потому yn = 1, что невозможно. Если же ни один элемент множества п не делит q, то для любого числа n, все простые делители которого содержатся в п, (q, n) = 1 и, следовательно, для некоторых целых чисел u и v справедливы соотношения x = xuq + vn = (xv)n. Таким образом, в конечно порожденной нильпотентной группе отличный от 1 элемент является п-полным тогда и только тогда, когда он имеет конечный порядок, все простые делители которого не принадлежат множеству п. Отсюда следует, что если свободное произведение групп A/H и B/K аппроксимируемо конечными п-группами, то периодические части групп A/H и B/K оказываются п-группами. Из нильпотентной же аппроксимируемости данного свободного произведения в силу приведенного выше критерия А. И. Мальцева вытекает, что группы A/H и B/K либо вообще не имеют кручения, либо их периодические части являются р-группами для некоторого простого числа р. Понятно, что в случае аппроксимируемости конечными нильпотентными п-группами перечисленные ограничения накладываются друг на друга и р оказывается принадлежащим п. Обратно, если периодические части групп A/H и B/K являются р-группами для некоторого простого числа р e п, то их свободное произведение аппроксимируется конечными р-группами [13], а значит, и конечными нильпотентными п-группами. Таким образом, следствие 2 вытекает из следствия 1. Отметим также, что оно обобщает основной результат работы [7]. Доказательства теорем 1 и 2 приводятся в пункте 3. Нам понадобится также ряд вспомогательных утверждений, содержащихся в пункте 2. 2. Вспомогательные утверждения Пусть G - свободное произведение групп A и B с объединенными относительно изоморфизма ф подгруппами H и K. Хорошо известно (см., напр., [17, теорема 4.3]), что тождественные отображения порождающих групп A и B в группу G продолжаемы до инъективных гомоморфизмов. Поэтому группы A и B можно считать подгруппами в G. Подгруппы H и K при этом оказываются совпадающими с A n B. Легко видеть, что каждый элемент g e G может быть записан в виде произведения g0g1^gn, где n > 0 и для каждого i e {0, 1, ..., n} gi e A или gi e B, причем если n > 1, то gi e A\H или gi e B\K. Указанная запись называется несократимой, а количество сомножителей в ней - длиной несократимой записи. Из теоремы о нормальной форме элемента свободного произведения с объединенной подгруппой (см., напр, [17, теорема 4.4]) следует, что если элемент g e G обладает несократимой записью длины большей 1, то он отличен от единицы. Если нормальные подгруппы R < A и S < B таковы, что (R n Н)ф = S n K, то, как легко видеть, отображение ф^ S: HR/R ^ KS/S, переводящее элемент hR (h e H) в фф^, корректно определено и является изоморфизмом подгрупп. Поэтому можно рассмотреть свободное произведение GR, S фактор-групп A/R и B/S с подгруппами HR/R и KS/S, объединенными относительно изоморфизма ф^ S. Следующее утверждение хорошо известно (см., напр., [18]) и легко проверяется. Предложение 2. Пусть G = (A * B; H = K, ф), R и S - нормальные подгруппы групп A и B соответственно, такие, что (R n Щф = S n K. Тогда естественные гомоморфизмы A ^ A/R и B ^ B/S могут быть продолжены до гомоморфизма Pr, S группы G на свободное произведение GR, s = (A/R * B/S; HR/R = KS/S, фя S). Ядро этого гомоморфизма совпадает с нормальным замыканием в группе G множества R u S. Заметим, что если подгруппа H нормальна в группе A, подгруппа K нормальна в группе B, R = H и S = K, то группа GR, S представляет собой обычное свободное произведение фактор-групп A/R = A/H и B/S = B/K. Ядро гомоморфизма pR, S при этом совпадает с H, и потому имеет место соотношение GR, S = G/H. Предложение 3. Пусть G - свободное произведение групп A и B с нормальными абелевыми объединенными подгруппами H и K, не совпадающими с группами A и B, C - класс групп, замкнутый относительно взятия подгрупп и фактор-групп. Пусть также класс C вместе с каждой группой простого порядка p содержит и все конечные р-группы. Тогда из C-аппроксимируемости группы G следует, что (обычное) свободное произведение фактор-групп A/H и B/K также является C-аппроксимируемой группой. Доказательство. Напомним, что подгруппа Y некоторой группы X называется C-отделимой, если для каждого элемента x группы X, не принадлежащего Y, существует гомоморфизм с группы X на группу из класса C, такой, что xc g Yc. Хорошо известно (см., напр., [19, предл. 3]) и легко проверяется, что в случае, когда класс C замкнут относительно взятия фактор-групп, а подгруппа Y нормальна в группе X, C-отделимость Y в X равносильна C-аппроксимируемости факторгруппы X/Y. Этот факт потребуется нам в дальнейшем. Пусть группа G C-аппроксимируема. Рассмотрим два случая. Случай 1. [A : H] = [B : K] = 2. Покажем сначала, что подгруппа H C-отделима в группе A. Предположим, напротив, что H не является C-отделимой в A. Тогда найдется такой элемент a e A\H, что для любого гомоморфизма с группы A на C-группу ac e Hc. Возьмем произвольный элемент b e BK и рассмотрим коммутатор x элементов a и b^ab: x = [a, b_1ab] = a^b^a^bab^ab. Элемент x имеет в группе G несократимую запись длины 8 и поэтому отличен от 1. Поскольку G C-аппроксимируема, существует гомоморфизм у группы G на C-группу, такой, что xy Ф 1. Ввиду замкнутости класса C относительно взятия подгрупп ограничение гомоморфизма у на подгруппу A также оказывается гомоморфизмом этой подгруппы на группу из класса C. Из сделанного выше предположения заключаем, что ay e Hy, т. е. ay = hy для некоторого элемента h e H. Поскольку подгруппы H и K абелевы и нормальны в группах A и B соответственно, получаем xy = [a, b_1ab]y = [h, b_1hb]y = 1y = 1. Однако гомоморфизм y был выбран так, чтобы выполнялось соотношение xy Ф 1. Следовательно, подгруппа H C-отделима в группе A. Ввиду замкнутости класса C относительно взятия фактор-групп C-отделимость подгруппы H равносильна C-аппроксимируемости фактор-группы A/H. Отсюда и из того, что A/H - простая группа, следует, что A/H e C. Поэтому согласно условию предложения в класс C входит любая конечная 2-группа. Остается заметить, что в силу теоремы 4.1 из [13] свободное произведение конечных 2-групп A/H и B/K аппроксимируемо конечными 2-группами. Случай 2. [A : H] > 2 или [B : K] > 2. Без потери общности можно считать, что [A : H] > 2. Покажем, что подгруппа H C-отделима в группе G. Ввиду замкнутости класса C относительно взятия фактор-групп это будет означать, что фактор-группа G/H, изоморфная свободному произведению A/H * B/K, C-аппроксимируема. Предположим противное: существует такой элемент g e G\H, что для любого гомоморфизма o группы G на группу из класса C имеет место включение go e He. Поскольку g не принадлежит подгруппе H, он имеет несократимую запись вида g = gegb-.g® где n > 0 и для каждого i e {0, 1, ..., n} gi e A\H или gt e B\K. Рассмотрим четыре подслучая. (i): g0, gn e A\H. Зафиксируем произвольный элемент b e B\K и рассмотрим коммутатор x = [g, b-'gb] = g-1b-1g-1bgb-1gb. Поскольку x имеет в группе G несократимую запись длины 4n + 8, он отличен от 1. Но, с другой стороны, для любого гомоморфизма o группы G на группу из класса C go e Ho и потому найдется такой элемент h e H, что go = ho. Как и в случае 1, поскольку подгруппы H и K абелевы и нормальны в группах A и B, xo = [g, b_1gb]o = [h, b^hb]o e [Ho, Ho] = 1. Следовательно, группа G не является C-аппроксимируемой и мы получили противоречие. (ii): g0 e A\H, gn e B\K. Поскольку [A : H] > 2, существует элемент a e A\H, такой, что a и g0 лежат в разных смежных классах группы A по подгруппе H. Тогда a_1g0 g H и, следовательно, элемент a~lga = (a4g0)g1 ...gna имеет несократимую запись длины n + 2. Зафиксируем элемент b e B\K и рассмотрим коммутатор x = [a_1ga, b^a^gab] = a^g^ab^a^g^aba^gab^a^gab. Так как x имеет в группе G несократимую запись длины 4n + 12, то x Ф 1. Но, с другой стороны, для любого гомоморфизма o группы G на группу из класса C найдется такой элемент h e H, что go = ho и потому xo = [a_1ha, b~la~lhab]o e [Ho, Ho] = 1. Как и выше, получили противоречие с C-аппроксимируемостью группы G. (iii): g0 e B\K, gn e A\H. Этот подслучай рассматривается так же, как и подслучай (ii). Разница состоит лишь в том, что элемент a e A \H нужно выбрать не лежащим в одном смежном классе с элементом g„~l. (iv): g0, gn e B\K. Данный подслучай аналогичен подслучаю (i): в качестве элемента x следует взять коммутатор [g, a_1ga], где a e A\H. Итак, в каждом из подслучаев мы пришли к противоречию и потому подгруппа H C-отделима в группе G. Предложение доказано. Нам потребуется также следующий полученный ранее результат. Предложение 4 [15, предл. 3]. Пусть G - свободное произведение конечных п-групп A и B с объединенными подгруппами H и K, подгруппа H центральна в группе A, подгруппа K нормальна в группе B. Тогда группа G аппроксимируема конечными п-группами. 3. Доказательство теорем 1 и 2 Доказательство теоремы 1. Легко видеть, что необходимость условия теоремы обеспечивается предложением 3. Докажем теперь достаточность. Для этого зафиксируем произвольный неединичный элемент g е G и укажем гомоморфизм группы G на нильпотентную группу, при котором образ g будет отличен от 1. Если g

Скачать электронную версию публикации