Closedness of sums of unbounded operators acting on different variables in the spaces of square-integrable functions of .pdf Получены достаточные условия замкнутости сумм некоторых неограниченных операторов в пространствах квадратично суммируемых функций нескольких переменных. А именно: для замкнутости операторных сумм достаточно, чтобы входящие в суммы операторы действовали по разным переменным, являлись генераторами сжимающих С0-полугрупп и все, кроме, быть может, одного, были самосопряжены и имели чисто точечные спектры. То обстоятельство, что сумма генераторов коммутирующих С0-полугрупп сжатий замыкаема, хорошо известно [1, с. 269; 2, с. 88]. Но автору не встречались в литературе примеры совпадающих со своими замыканиями сумм неограниченных генераторов С0-полугрупп сжатий. Замыкание суммы генераторов сжимающих С0-полугрупп, операторы которых коммутируют друг с другом, само является генератором сжимающей С0-полугруппы [2, c. 88]. Генераторы С0-полугрупп используются для постановки задач математической физики в виде краевых задач для дифференциально-операторных уравнений, в которых генератор С0-полугруппы играет роль операторного коэффициента. Условия корректности таких краевых задач определяются на основе областей определения операторных коэффициентов. Поэтому замкнутость операторных сумм, играющих роль операторных коэффициентов, позволяет более просто описать области определения последних. В работах [3, 4] исследовались краевые задачи для двумерных дифференциально-операторных уравнений Д2u(х)=DE u(х) (х=(х1,х2)еП, Д2 ^ +д2х^х2), соответствующие начально-краевым задачам теплопроводности в прямом цилиндре Q х IY (IY = [0, Y]) на временном интервале IT = [0, T] (Y и T - конечные положительные числа). Операторный коэффициент DE является замыканием операторной суммы DE = Dt + Dy в пространстве L'2 = L2 (IY х IT). При этом оператор Dt: (Dt f) (y, t) = dtf (y, t), определен на абсолютно непрерывных по t функциях f (y, t) е L'2, таких, что dtf е L'2 и f |t=0 = 0 при y е IY , а также на эквивалентных им. Оператор Dy: (Dy f) (y, t) = -d2yf (y, t), задан на абсолютно непрерывно дифференцируемых по y функциях f (y, t) е L'2, таких, что д2 f е L'2 и (d yf-X0 f) | y=0 = (dyf + Vf) | y=y = 0 (0 ffl"(q,4)g ( q е D(B) ) (10) при некоторых фиксированных ю',ю" е R = (-да, и хотя бы одному из условий (Ap,p)н е R (p е D(A) ), (Bq,q)G е R (q е D(B) ). (11) Тогда имеет место равенство A + B = A + B . (12) Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда ю' = ю'' = 0 . Неравенства (10) при этом принимают вид Re(Ap,р)н > 0 (p е D(A)), Re(Bq,q)G > 0 (q е D(B)). (13) Поскольку выполняется одно из условий (11), то имеют место следующие оценки: || A(f,ев)g ||H 2. В соответствии с [15, с. 246] введем понятие абсолютно непрерывной функции двух переменных: Определение. Функция f (y, t) называется абсолютно непрерывной функцией на множестве IY х IT , если: (i) для любого е > 0 существует 5 > 0 , такое, что если Jk (k = 1, n) - непересекающиеся между собой множества вида J - (y1, y2) х (t1, t2) (0 < y1 < y2 < Y , 0 < t1 < t2 < T), сумма площадей которых меньше 5, то выполнено неравенство \L L f (Jk ^

Скачать электронную версию публикации