On fully closed mappings of Fedorchuk compacta.pdf Компактом Федорчука или F-компактом называется компактное хаусдорфово топологическое пространство, допускающее разложение в специальный вполне упорядоченный обратный спектр (F-спектр) с вполне замкнутыми соседними проекциями (см. [1]). Наименьшая длина такого спектра, дающего в пределе данный компакт X, называется спектральной высотой sh(X) F-компакта X. Спектральная высота любого неметризуемого F-компакта больше либо равна 3. При этом sh(X) = 3 тогда и только тогда, когда существует вполне замкнутое отображение f: X ^ K на метрический компакт K с метризуемыми слоями f _1(t), t е K . (Такое вполне замкнутое отображение мы будем называть для краткости допустимым.) Таким образом, всякий F-компакт спектральной высоты 3 изначально связан с некоторым допустимым вполне замкнутым отображением. В работе доказано, что такое отображение для любого F-компакта X является почти единственным. А именно, если имеются два допустимых вполне замкнутых отображения f : X ^ Ki, i = 1,2 , компакта X в метрические компакты Ki, то множество несовпадающих нетривиальных слоев этих отображений не более чем счетно: |{ (t) :| fr1 (t) |> 1, t е K }д{ f-1 (t) :| f-1 (t) |> 1, t е K2 }| < Юо (через Д обозначена симметрическая разность множеств). Примерами F -компактов спектральной высоты 3 являются, например, «две стрелки» D и лексикографический квадрат отрезка [0,1]2. Из основного результата данной статьи следует, что почти все нетривиальные слои любого допустимого вполне замкнутого отображения f: D ^ K являются двоеточиями, которые склеиваются при стандартном проектировании D на отрезок. Аналогично, почти все нетривиальные слои любого допустимого вполне замкнутого отображения f :[0,1]2 ^ K обязательно совпадают с «вертикальными отрезками» лексикографического квадрата [0,1]2. В дальнейшем рассматриваются только компактные хаусдорфовы топологические пространства. Непрерывное сюръективное отображение f: X ^ K является вполне замкнутым тогда и только тогда, когда для любых двух непересекающихся замкнутых подмножеств F1 и F2 в X пересечение f (F1) n f (F2) конечно (см. [2], предложение 1.6, с. 124). Это характеристическое свойство примем здесь за определение вполне замкнутости. Теорема. Пусть f : X ^ Ki, i = 1,2 , - вполне замкнутые отображения компакта X на метрические компакты Ki с метризуемыми слоями f(t), t e Kt. Тогда |{f-1 (t) :| f- (t) |> 1,t e K1} Д {f-1 (t) :| f- (t) |> 1,t e K2}| < ^. Доказательство. Рассмотрим множество A = {t: |f2 (f-\t ))| > 1} и докажем, что оно не более чем счетно. Предположим противное. Тогда в K2 получим несчетное индексированное семейство неоднототечных замкнутых подмножеств {Bt = f2(f l(t)): t e A}. Для этого семейства найдутся n e N и несчетное подмножество A1 с A , такие, что diamBt >1 при t e A1. Множество T = {Bt : t e A1} n имеет в exp K2 предельную точку B (здесь через exp K2 обозначено пространство всех непустых замкнутых подмножеств в K2 с метрикой Хаусдорфа). Ясно, что diamB > -. Возьмем в B две различные точки p1, p2 и их окрестности Op\, Op2 в n K2 с непересекающимися замыканиями. Поскольку B - предельная точка T , то, согласно определению метрики Хаусдорфа в exp K2, множество A2 ={t e A1;Bt n Op1 ^ 0, Bt n Op2 Ф 0} бесконечно. Рассмотрим в X два непересекающихся замкнутых подмножества Fi = f2l(Cl(Opt)),i = 1,2, где Cl(Opt) - замыкание множества Opt. По построению имеем: A2 с f1(F1) n f1(F2), что противоречит вполне замкнутости отображения f. Итак доказано, что почти все слои отображения f содержатся в слоях отображения f2. Аналогично, почти все слои f2 содержатся в слояхД. Покажем теперь, что любой слой f2 содержит не более чем счетное множество нетривиальных слоев fj. Предположим, что это не так и некоторый слой f2-1 (5), 5 e K2, содержит несчетное множество слоев f- (t), где | f- (t) |> 1, t е E с Кг,\ E |> ю0. Рассмотрим отображение /1/-1( s): f-Чs) ^ fi(/2\s)). Это отображение вполне замкнуто (см. [2], предложение 1.14, с.128), и все его слои fj-1(t) нетривиальны при t е E с f1(f2-1(s)),\ E \>ю0, откуда следует ([2], предложение 3.10, с. 137) неметризуемость f2-1(s). Получено противоречие. Таким образом, доказано, что: 1) множество слоев отображения f, которые не содержатся в слоях /2, не более чем счетно; 2) множество слоев отображения /2, не содержащихся в слоях /, также не более чем счетно, и каждый такой слой содержит не более чем счетное множество нетривиальных слоев /1 . Следовательно, объединенное множество нетривиальных слоев f, упомянутых в 1) и 2), не более чем счетно. Остальные нетривиальные слои / содержатся в слоях /2, которые, в свою очередь, содержатся в слоях /. Таким образом, все эти слои / совпадают со слоями /2. Поменяв местами / и /2 , получим аналогичное утверждение о нетривиальных слоях /2 . Теорема доказана. Замечание. В формулировке теоремы речь идет только о нетривиальных слоях отображений, и это ограничение принципиально. Пусть /: X ^ К - допустимое вполне замкнутое отображение F -компакта X спектральной высоты 3, и пусть точка t0 е К такова, что \ / (t0) \= 2 0. Рассмотрим следующее разбиение компакта X: R = {/-\t): t е К,t Фt0>и{{х>: хе /“Ч^)}. Фактор-пространство X / R по этому разбиению является метрическим компактом, а факторное проектирование п: X ^ X / R есть допустимое вполне замкнутое отображение (см. [2], с. 124). Но при этом все (тривиальные) слои п-1 ({х}), х е /-1 (t0), отличны от слоев отображения f В заключение приведем пример двух допустимых вполне замкнутых отображений f : X ^ К, i = 1,2 , F -компакта X спектральной высоты 3, для которых |{/1-1 (t): \ /1-1 (t) \> 1, t е К} Д {/-1 (t): \ /-1 (t) \> 1,t е К2 )| = ^. В качестве X возьмем компакт «две стрелки» D, и пусть f1: D ^ I - стандартное проектирование D на отрезок. Возьмем любое счетное замкнутое подмножество F с I и определим g : I ^ К как факторное отображение отрезка I, единственным нетривиальным слоем которого является F. Легко проверить, что композиция /2 = g о / является вполне замкнутым отображением, все слои которого метризуемы. При этом для отображений f1 и f2 выполняется равенство (1). В связи с доказанной теоремой можно сформулировать общий вопрос о «степени однозначности» разложения F-компакта спектральной высоты а в F-спектр длины а.

Скачать электронную версию публикации