On mechanical behavior of the hardening elastoplastic disk affected by a heat source.pdf Проблеме определения напряжений и деформаций в тонких дисках (в том числе вращающихся) и пластинах посвящены работы [1-4]. Учет температурных эффектов в упругих и упругопластических не вращающихся дисках приводится в работах [5, 6]. В настоящей работе, следуя [5] и [6], получено точное решение задачи о напряженно-деформированном состоянии диска из изотропного идеального упругопластического материала под действием теплового источника, помещенного в центре диска. Такой процесс может иметь место при точечной контактной сварке. Задача по исследованию напряженно-деформированного состояния нагреваемого диска является логичным продолжением ряда работ, посвященных моделированию температурного поля, возникающего при точечной контактной сварке [7, 8]. Решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела [9, 10] приближенными и численными методами, в том числе методом конечных элементов, математически дополняют друг друга. Так, в данной работе приближенное решение методом малого параметра дополнено решением с помощью пакета ANSYS и распространено на случай упрочняющегося материала. Примем, что диск будет находиться в плоском напряженном состоянии, все механические и тепловые константы материала не зависят от температуры. Вследствие осевой симметрии все искомые величины будут зависеть только от расстояния r до точечного источника. Задачу определения поля температур и напряженно-деформированного состояния будем считать несвязанной. Поскольку в окрестности теплового источника температура теоретически неограниченно высока, там сразу возникает пластическая область. Пусть r = R - граница этой области. Внешнюю границу диска обозначим r = b. Запишем систему уравнений осесимметричного плоско напряженного состояния упругопластического диска в цилиндрической системе координат (r, 9, z): - уравнение равновесия се -с dcr dr где стг, сте - компоненты тензора перемещении в цилиндрической системе координат (r, е, z); - соотношения Коши () du и er =~Г,ее =~ ■■ dr r где er, ее - компоненты тензора полных деформаций, и - компонента вектора перемещений в цилиндрической системе координат; - связь полных деформаций с пластической и упругой составляющими (3) er = е!+е ■ ее=е + ее ■ ez = ez + ez. Функцию нагружения выберем в форме, предложенной Ишлинским [7] и Прагером [8]: (4) (-се- с ( - е1)) +(стг- с ( - ePz )) + (- с ( - ер )) = )2 где ep, ep, ер - компоненты тензора пластических деформаций, с - коэффициент упрочнения, к - предел текучести. Ассоциированный закон пластического течения тогда будет иметь вид dep = 2dу (сг -се - с (2еГ - е1 - еР)), de£ = 2dу(сте - Cr - с (ер - ер - eZ! )), (5) deZ = -2d+C + с ( - ее - ep ) где d у - малый скалярный положительный множитель. Упругие деформации связаны с напряжениями законом Гука в форме C = 1-( + vee-(1 + v)aT), 12GV (6) се = -( + (-(1 + v)aT), где G - модуль сдвига, v - коэффициент Пуассона, a - коэффициент линейного температурного расширения, T - температура. Определим напряжения и перемещения в идеальном упругопластическом случае (коэффициент упрочнения равен 0) для функции температуры, зависящей от координат. Из соотношений (1), (2), (6) получим уравнение для перемещений и в упругой зоне: д 2и + 1 ди и дГ 2 r dr r 2 dT a-. dr (1 + v) (7) Решение уравнения (7) имеет вид . . A B (1 + v)a и (r) = - +-r +--- r 2 r I Trdr (8) Граничное условие, соответствующее свободному внешнему контуру диска, запишется в виде =0. (10) Из уравнений (1), (4) выводим уравнение для напряжений I ее I. 200 100 -100 а а CD N -200 -300 0 - ^ - / - Радиальные -Окружные н напряжения шряжения / / У / * £_ - 50 100 Радиус, мм 150 0 Рис. 5. Зависимость нормальных компонент напряжений от радиуса для упрочняющегося материала Fig. 5. Normal stress components as functions of the radius for a hardening material Радиус, мм Рис. 6. Пластические деформации для упрочняющегося материала Fig. 6. Plastic strains for a hardening material Таким образом, в настоящей работе получено аналитическое решение задачи об идеально упругопластическом диске с приложенным в центре точечным источником тепла постоянной интенсивности. Проведено сравнение аналитического решения и решения на основе метода конечных элементов. С помощью метода конечных элементов решена задача о кинематически упрочняющемся диске (модель Ишлинского - Прагера [11, 12]) и проведено сравнение результатов полученных решений.

Скачать электронную версию публикации